高考數學一輪復習共87節(jié)212空間向量的應用1

1、21、空間向量與立體幾何212 空間向量的應用（1）【知識網絡】1理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會用待定系數法求平面的法向量。2能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直和平行關系。3能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）；能用向量方法判斷一些簡單的空間線面的平行和垂直關系。【典型例題】例1（1）a，b是兩個非零的向量，a，b是兩個平面，下列命題正確的是（）A.的必要條件是是共面向量B.是共面向量，則C.a，b，則abD.a，b，則不是共面向量（2）關于直線、與平面、，有下列四個命題：且，則；且，則；且，則；且，則.其中真命題的序號是（）A. 、 B. 、 C.

2、、 D. 、（3）設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，則BCD是（C）A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等腰直角三角形（4）空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF，設M，N分別是BD和AE的中點，給出如下命題：ADMN；MN面CDE；MNCE；MN，CE異面則所有的正確命題為。（5）已知PD垂直正方形ABCD所在平面，AB2，E是PB的中點，>以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，則點E的坐標為；又在平面PAD內有一點F，當點F是時， EF平面PCBDBCD1C1AA1B1GEF例2 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E

3、,F,G分別是A1D1 ,D1D ,D1C1的中點，求證：平面EFG平面A B1C.例3如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，點E是PD的中點證明：PA平面ABCD，PB平面EACDEBACPACMFB例4圖DE例4ABC為邊長等于a的正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2CD,F是BE的中點，（1）求證：DF平面ABC;（2）求證：AFBD?！菊n內練習】1設是平面外一點，點滿足條件，則直線（）A與平面平行B是平面的斜線C是平面的垂線D在平面內2已知四邊形ABCD滿足，則該四邊形ABCD為（）A平行四邊形B空間四邊形

4、C平面四邊形D梯形3已知非零向量及平面，若向量是平面的法向量，則是向量所在直線平行于平面或在平面內的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4已知四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，給出下列兩個命題：；=則下列關于以上兩個命題的真假性判斷正確的為（）A真、真B真、假C假、假D假、真5AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于點A，B的任一點，連結AC，BC，PB，PC，則在四面體PABC中，共有對互相垂直的平面。6在四面體ABCD中，M，N分別是ACD與BCD的重心，則四面體的四個表面中，與MN平行的平面是。7在直三棱柱中，有下列條件：

5、；其中能成為的充要條件的是（填上該條件的序號）_第8題8如圖，已知四面體中，分別為的中點，若，求證：.9正四棱柱AC1中，E為棱D1D上的點，O是底面正方形ABCD的中心若，證明O點在面AEB1上的射影是的垂心10 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB交PB于點FBACDEFPG第10題（1）證明PA/平面EDB；（2）證明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小21、空間向量與立體幾何212 空間向量的應用（1）A組1已知=，=，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）ABC4 D82設、是平面a內的兩個非零向量，則，是

6、為平面a的法向量的（）A充分條件B充要條件C必要條件 D既非充分又非必要條件3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，PQ是異面直線A1D與AC的公垂線，則直線PQ與BD1的關系是（）A異面直線B。平行直線C。垂直不相交D。垂直且相交4若A(1，2，3)、B(2，4，1)、C(x，1，3)是直角三角形的三個頂點，則x5過一個平面的垂線和這個平面垂直的平面有個。6如圖所示，在棱長為a的正方體OABC-O1A1B1C1中，E、F分別是棱AB、BC邊上的動點，且AE=BF求證：；OA第6題圖A1FECBO1C1B1FEDCBAS第7題7如圖，在五棱錐SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE

7、=2，證明：BC平面SAB第8題8如圖，四棱錐中,平面，與平面所成的角為，在四邊形中，(1)建立適當的坐標系,寫出點的坐標；(2)若的中點為,求證：平面平面21、空間向量與立體幾何212 空間向量的應用（1）B組1ABDCACBD第1題圖如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：；BAC60°；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正確的是（）ABCD2若，（），則與一定（）A共線B相交C垂直D。不共面3已知直線a平行于平面a，且它們的距離為d，則到直線a與到平面a的距離都

8、等于d的點的集合是（ ）A兩條平行直線B空集C一條直線D一個平面4已知直線l面M，直線mÌ平面N，給出下面的命題：若面M面N，則lm；若面M面N，則lm；若lm，則面M面N；若lm，則面M面N。其中所有正確命題的序號為。5已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，則是線段EF的中點。則AM與平面BDE所成的角為，AM與平面BDF所成的角為。6已和四邊形是矩形，第6題(1)證明:；(2)若,求證:.7已知矩形，平面，分別是的中點，能否確定，使直線是直線與的公垂線？若能確定，求出的值；若不能確定，說明理由第8題8如圖所示，已知四棱錐中，底面是矩形，底面，為棱上一點，且

9、，問是否存在實數，使平面？參考答案212 空間向量的應用（1）【典型例題】例1（1）A（2）D（3）C提示：AB、AC、AD兩兩垂直用AB、AC、AD的長度分別表示BCD中三邊的長，后用余弦定理得BCD的每一個內角均為銳角（4）。（5）（1，1，1）；點F是AD的中點 例2設=a,=b,=c,則=+=+=b + a,=+= a+b,=2,故，即EGAC.又=+=+=bc,=+ = bc =2, 即EFB1C .又FGEF=F, ACB1C=C, 平面EFG平面A B1C.例3先證明PA平面ABCD建立空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），B（），D（0，a，0），P（0，0，a），于是

10、，=（），=（0，a，0）DEPBACOGH zyx=0+0+0=0，=0+0+0=0， APAB，APADAB、AD為平面ABCD內的兩相交直線，AP平面ABCD再證明PB平面EAC因為，所以、共面又PBË平面EAC，所以PB平面EAC 例4（1）取AB的中點M,連接CM.=()=()=()=()=()=。DFCM,又BFË平面ABC,CMÌ平面ABC,DF平面ABC .(2)=(),=()×()=(-) =()=() =(-a2+a2)=0,AFBD 。【課內練習】1D。2B。3C。4 A。提示：由ABAC、ABAD，得AB平面ACD，故ABCD，即

11、有同理，于是，命題為真命題又以AB、AC、AD為同一頂點出發(fā)的三條棱，構造長方體，則為自點A的出發(fā)的長方體的對角線所在的向量，從而易知命題亦真53。6平面ABC，平面ABD。7。8是的中點,連結,則有,同理,由是的中點,得.,.,即.9設O點在面AEB1上的射影為H，則是面AEB1的法向量OB1HEA易證 面BDD1B1，故于是，同理，H為的垂心10以D為坐標原點，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系。設（1）連結AC，AC交BD于G，連結EG依題意得底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故點G的坐標為，且，這表明PA/EG而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB（2）依

12、題意得，又，故由已知，且，所以平面EFD（3）設點F的坐標為，則，從而，所以由條件知，即，解得，點F的坐標為，且，即，故是二面角CPBD的平面角，得所以二面角CPBD的大小為212 空間向量的應用（1）A組1A2C。3B。4或11。5無數。6以O為原點，OA為x軸，OC為y軸，OO1為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則A1（a，0，a），C1（0，a，a）設E（a，t，0），F（a-t，a，0），0ta，7以A為原點，AB、AS邊所在的直線分別為x軸、z軸，以平面ABC內垂直于AB的直線為y軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（2，0，0），S（0，0，2），且C（2，0），8 (1)分別以射線為軸建立空間直角坐標系.,.由平面，得為與平面所成的角,.在直角三角形中，由，得，(2)為的中點,點的坐標為,.，,又,平面平面B組1B。2C。3A。提示：與a平行的在a兩側的兩條平行直線，且a與這兩條平行直線共面于一