高考數(shù)學理二輪復習專題講解講義專題三高考中的數(shù)列

1、第二講高考中的數(shù)列(解答題型)1(2014·新課標全國卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解：(1)由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11.兩式相減得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此

2、存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列2(2014·江西高考)已知首項都是1的兩個數(shù)列an，bn(bn0，nN*)，滿足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求數(shù)列cn的通項公式；(2)若bn3n1，求數(shù)列an的前n項和Sn.解：(1)因為anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以2，即cn1cn2.所以數(shù)列cn是以首項c11，公差d2的等差數(shù)列，故cn2n1.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，于是數(shù)列an前n項和Sn1·303·315·32(2n1)·3n1，3Sn1·313·32(2n

3、3)·3n1(2n1)·3n，相減得2Sn12·(31323n1)(2n1)·3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.數(shù)列求和常用的方法1分組求和法：分組求和法是解決通項公式可以寫成cnanbn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列2裂項相消法：將數(shù)列的通項分成兩個代數(shù)式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通過累加抵消中間若干項的求和方法形如(其中an是各項均不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列等3錯位相減法：形如an·bn(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分三步：巧拆分

4、；構(gòu)差式；求和4倒序求和法：距首尾兩端等距離的兩項和相等，可以用此法，一般步驟：求通項公式；定和值；倒序相加；求和；回顧反思熱點一等差、等比數(shù)列的綜合問題命題角度(1)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明；(2)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運算.例1(1)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1t，an12Sn1(nN*)若t，求證：數(shù)列Sn不是等差數(shù)列；當t為何值時，數(shù)列an是等比數(shù)列，并求出該等比數(shù)列的前n項和Sn.(2)(2014·重慶高考)已知an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示an的前n項和求an及Sn；設(shè)bn是首項為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2(a41)qS40，求bn的

5、通項公式及其前n項和Tn.師生共研(1)假設(shè)數(shù)列Sn為等差數(shù)列，則必有2S2S1S3，即2(a1a2)a1a1a2a3，所以a2a3，又a22S112a112t1，a32S212(a1a2)12(t2t1)16t3，所以由a2a3得2t16t3，即t，這與t矛盾故數(shù)列Sn不是等差數(shù)列由an12Sn1得an2Sn11(n2)，兩式相減得an1an2an，即an13an(n2)，所以當n2時，數(shù)列an是等比數(shù)列要使n1時，數(shù)列an是等比數(shù)列，只需3，從而得t1.故當t1時，數(shù)列an是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列所以an3n1，所以Sn(3n1)(2)因為an是首項a11，公差d2的等差數(shù)列，所以

6、ana1(n1)d2n1.故Sn13(2n1)n2.由得a47，S416.因為q2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，從而q4.又因為b12，bn是公比q4的等比數(shù)列，所以bnb1qn12·4n122n1.從而bn的前n項和Tn(4n1)證明(或判斷)數(shù)列是等差(比)數(shù)列的四種基本方法(1)定義法：an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列；q(q是非零常數(shù))an是等比數(shù)列；(2)等差(比)中項法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列；aan·an2(nN*，an0)an是等比數(shù)列；(3)通項公式法：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列；an

7、a1·qn1(其中a1，q為非零常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列；(4)前n項和公式法：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列；SnAqnA(A為非零常數(shù)，q0,1)an是等比數(shù)列1已知數(shù)列an滿足a11，|an1an|pn，nN*.(1)若an是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值；(2)若p，且a2n1是遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式解：(1)因為an是遞增數(shù)列，所以an1an|an1an|pn.而a11，因此a2p1，a3p2p1.又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以4a2a13a3，因而3p2p0，解得p或p0.當p0時，an1an，這與

8、an是遞增數(shù)列矛盾，故p.(2)由于a2n1是遞增數(shù)列，因而a2n1a2n1>0，于是(a2n1a2n)(a2na2n1)>0.但<，所以|a2n1a2n|<|a2na2n1|.由，知，a2na2n1>0，因此a2na2n12n1.因為a2n是遞減數(shù)列，同理可得a2n1a2n<0，故a2n1a2n2n.由，即知，an1an.于是ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11··.故數(shù)列an的通項公式為an·.熱點二數(shù)列求和問題命題角度(1)考查利用錯位相減法或裂項相消法求和；(2)考查與奇偶項有關(guān)的分組求和.例2下表是一個由

9、正數(shù)組成的數(shù)表，數(shù)表中各行依次成等差數(shù)列，各列依次成等比數(shù)列，且公比都相等，已知a1,11，a2,36，a3,28.a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4(1)求數(shù)列an,2的通項公式；(2)設(shè)bn，n1,2,3，求數(shù)列bn的前n項和Sn.師生共研(1)設(shè)第一行組成的等差數(shù)列的公差是d，各列依次組成的等比數(shù)列的公比是q(q>0)，則a2,3qa1,3q(12d)q(12d)6，a3,2q2a1,2q2(1d)q2(1d)8，解得d1，q2.a1,22an,22×2n12n.(2)bn，則S

10、n，則Sn，兩式相減得Sn1，所以Sn2.若本例(2)中bn(1)na1，n，如何求Sn?解：由例題可知bn(1)nn，Sn123(1)nn設(shè)Tn，則Tn，兩式相減得Tn1，所以Tn2.又123(1)n·n故Sn六招解決數(shù)列求和問題(1)轉(zhuǎn)化法：將數(shù)列的項進行分組重組，使之轉(zhuǎn)化為n個等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應用公式求和(2)錯位相減法：(見主干整合)(3)裂項相消法：(見主干整合)(4)倒序相加法：(見主干整合)(5)并項求和法：先將某些項放在一起求和，然后再求Sn.(6)歸納猜想法：通過對S1，S2，S3，的計算進行歸納分析，尋求規(guī)律，猜想出Sn，然后用數(shù)學歸納法給出證明2已知數(shù)列

11、an的前n項和Snann12(nN*)，數(shù)列bn滿足bn2nan.(1)求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)cnlog2，數(shù)列的前n項和為Tn，求滿足Tn<(nN*)的n的最大值解：(1)在Snann12中，令n1，可得S1a112a1，即a1.當n2時，Sn1an1n22，anSnSn1anan1n1，2anan1n1，即2nan2n1an11.bn2nan，bnbn11，即當n2時，bnbn11.又b12a11，數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列故bn1(n1)·1n2nan，an.(2)cnlog2log22nn，Tn1，由Tn<，得1<

12、，即>，由于f(x)在(0，)上為單調(diào)遞減函數(shù)，f(4)，f(5)，n的最大值為4.熱點三數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合應用命題角度(1)以函數(shù)為背景給出數(shù)列的相關(guān)信息，考查數(shù)列的通項及前n項和等內(nèi)容；(2)以與數(shù)列的通項an，前n項和Sn及項數(shù)n有關(guān)的關(guān)系式給出數(shù)列的信息，考查數(shù)列的有關(guān)計算及推理論證.例3(2014·南昌模擬)設(shè)曲線Cn：f(x)xn1(nN*)在點P處的切線與y軸交于點Qn(0，yn)(1)求數(shù)列yn的通項公式；(2)求數(shù)列yn的前n項和Sn.師生共研(1)f(x)(n1)xn(nN*)，曲線Cn在點P處的切線斜率kn(n1)n，切線方程為yn1(n1)·

13、;n，令x0，得ynn1·n，故數(shù)列yn的通項公式為yn·n.(2)Sn××2×3·n，兩邊同乘得，·Sn×2×3×4·n1，得·Sn××2×3·n·n1，3Sn23nn·n1n·n1n·n1，Sn.解決數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合問題的三個轉(zhuǎn)化方向(1)函數(shù)條件的轉(zhuǎn)化直接利用函數(shù)與數(shù)列的對應關(guān)系，把函數(shù)解析式中的自變量x換為n即可；(2)方程條件的轉(zhuǎn)化一般要根據(jù)方程解的有關(guān)條件進行轉(zhuǎn)化；(3)數(shù)列向函

14、數(shù)的轉(zhuǎn)化可將數(shù)列中的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的相應問題求解，但要注意自變量取值范圍的限制對于數(shù)列中的最值、范圍等問題的求解，可轉(zhuǎn)化為相應函數(shù)的單調(diào)性或利用方程有解的條件來求解3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，對一切正整數(shù)n，點Pn(n，Sn)都在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，且過點Pn(n，Sn)的切線的斜率為kn.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)集合Qx|xkn，nN*，Rx|x2an，nN*，等差數(shù)列cn的任一項cn(QR)，其中c1是QR中的最小的數(shù)，110<c10<115，求cn的通項公式解：(1)點Pn(n，Sn)都在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，Snn22n(nN*)，當n2時

15、，anSnSn12n1.當n1時，a1S13滿足上式，數(shù)列an的通項公式為an2n1.(2)對f(x)x22x求導，得f(x)2x2.過點Pn(n，Sn)的切線的斜率為kn，kn2n2.Qx|x2n2，nN*，Rx|x4n2，nN*，QRR.又cn(QR)，其中c1是QR中的最小的數(shù)，c16.c104m2(mN*)110<c10<115，解得m28，c10114.設(shè)等差數(shù)列cn的公差為d，則d12，cn6(n1)×1212n6，cn的通項公式為cn12n6.課題4數(shù)列與不等式的綜合應用典例(2013·江西高考)正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(

16、n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn.證明：對于任意的nN*，都有Tn<.考題揭秘本題主要考查特殊數(shù)列的求和問題，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力以及運算求解能力審題過程第一步：審條件S(n2n1)Sn(n2n)0.第二步：審結(jié)論(1)求an；(2)證明不等式Tn<.第三步：建聯(lián)系(1)題設(shè)中等式左邊為關(guān)于Sn的二次三項式，故可將其分解因式，求出Sn，再利用數(shù)列和項互化公式求出an；(2)根據(jù)(1)可得bn，故自然聯(lián)想到用裂項法求Tn.規(guī)范解答(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項數(shù)列，所以Sn

17、>0，Snn2n.于是a1S12，當n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)證明：由于an2n，故bn，Tn<.故對于任意的nN*，都有Tn<.模型歸納數(shù)列與不等式的綜合問題多以數(shù)列的通項或求和問題為背景，主要考查數(shù)列中最值的求解或不等式的證明解決此類問題的模型示意圖如下：跟蹤訓練已知數(shù)列an是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足aS2n1，nN*.數(shù)列bn滿足bn，nN*，Tn為數(shù)列bn的前n項和(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若對任意的nN*，不等式Tn<n8·(1)n恒成立，求

18、實數(shù)的取值范圍解：(1)aS1a1，a10，a11.aS3a1a2a3，(1d)233d，解得d1或2.當d1時，a20不滿足條件，舍去，d2.數(shù)列an的通項公式為an2n1.(2)bn，Tn1.當n為偶數(shù)時，要使不等式Tn<n8·(1)n恒成立，只需不等式<2n17恒成立即可2n8，等號在n2時取得，<25.當n為奇數(shù)時，要使不等式Tn<n8·(1)n恒成立，只需不等式<2n15恒成立即可2n是隨n的增大而增大，n1時，2n取得最小值6，<21.綜上可得的取值范圍是(，21)1已知等差數(shù)列an滿足a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列(1

19、)求數(shù)列an的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意，2,2d,24d成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡得d24d0，解得d0或d4.當d0時，an2；當d4時，an2(n1)·44n2，從而得數(shù)列an的通項公式為an2或an4n2.(2)當an2時，Sn2n.顯然2n<60n800，此時不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800成立當an4n2時，Sn2n2.令2n2>60n800，即n230n400>0，解得n>4

20、0或n<10(舍去)，此時存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800成立，n的最小值為41.綜上，當an2時，不存在滿足題意的n；當an4n2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.2已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S53a52，a1，a2，a5依次成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn(nN*)，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若an1Tn對任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)的取值范圍解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則S55a110d，S53a523(a14d)23a112d2，5a110d3a112d2，a1d1.a1，a2，a5依次成等比數(shù)列，aa1a5，即(a

21、1d)2a1(a14d)，化簡得，d2a1，a11，d2，ana1(n1)d2n1.(2)bn，Tn.由an1Tn得2n1×對任意正整數(shù)n都成立，(2n1)2n，4n4.令f(x)4x(x1)，則f(x)4>0，f(x)在1，)上遞增，對任意正整數(shù)n,4n的最小值為5，9.3(2014·江蘇高考)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則稱an是“H數(shù)列”(1)若數(shù)列an的前n項和Sn2n(nN*)，證明：an是“H數(shù)列”；(2)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項a11，公差d<0.若an是“H數(shù)列”，求d的值；(3)證明：對任意的等差

22、數(shù)列an，總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立解：(1)由已知，當n1時，an1Sn1Sn2n12n2n.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)mn1，使得Sn2nam.所以an是“H數(shù)列”(2)由已知，得S22a1d2d.因為an是“H數(shù)列”，所以存在正整數(shù)m，使得S2am，即2d1(m1)d，于是(m2)d1.因為d<0，所以m2<0，故m1.從而d1.當d1時，an2n，Sn是小于2的整數(shù)，nN*.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m2Sn2，使得Sn2mam，所以an是“H數(shù)列”因此d的值為1.(3)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令b