高考數(shù)學(xué)平面解析幾何時拋物線更多資料關(guān)注微博高中學(xué)習(xí)資料庫

1、第九章 平面解析幾何第9課時拋 物 線考情分析考點新知建立并掌握拋物線的標準方程，能根據(jù)已知條件求拋物線的標準方程；掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)，能運用拋物線的幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題 了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，了解它們的簡單幾何性質(zhì).掌握拋物線的簡單應(yīng)用.1. 已知拋物線的焦點坐標是(0，3)，則拋物線的標準方程是_答案：x212y解析： 3， p6， x212y.2. 拋物線y28x的準線方程是_答案：x2解析： 2p8， p4，故所求準線方程為x2.3. 拋物線yax2的準線方程是y2，則a的值是_答案：解析：拋物線的標準方程為x2y.則a0且2，得a.4. (選修11P4

2、4習(xí)題2改編)拋物線y24x上一點M到焦點的距離為3，則點M的橫坐標x_答案：2解析： 2p4， p2，準線方程x1.由拋物線定義可知，點M到準線的距離為3，則x13，即x2.5. 已知斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點F，且與y軸相交于點A，若OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線方程為_答案：y28x解析：依題意得，OF，又直線l的斜率為2，可知AO2OF，AOF的面積等于·AO·OF4，則a264.又a0，所以a8，該拋物線的方程是y28x.1. 拋物線的定義平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)距離相等_的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的

3、焦點，直線l叫做拋物線的準線2. 拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)(如下表所示)標準方程y22px(p>0)y22px(p>0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yR準線方程xx焦點對稱軸關(guān)于x軸對稱頂點(0，0)離心率e1標準方程x22py(p>0)x22py(p>0)圖形性質(zhì)范圍y0，xRy0，xR準線方程yy焦點對稱軸關(guān)于y軸對稱頂點(0，0)離心率e1題型1求拋物線的基本量例1拋物線y28x的焦點到準線的距離是_答案：4解析：由y22px8x知p4，又焦點到準線的距離就是p，所以焦點到準線的距離為4.拋物線y28x的準線方程是_答案：x2解析：2p8，p4，準線方程為x2.

4、題型2求拋物線的方程例2(選修11P44習(xí)題5改編)已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線2xy40上，求拋物線的標準方程解：直線2xy40與x軸的交點是(2，0)，與y軸的交點是(0，4)由于拋物線的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，則若拋物線焦點在x軸上，則拋物線的標準方程是y28x；若拋物線焦點在y軸上，則拋物線的標準方程是x216y；故所求拋物線方程為y28x或x216y.已知RtAOB的三個頂點都在拋物線y22px上，其中直角頂點O為原點，OA所在直線的方程為yx，AOB的面積為6，求該拋物線的方程解： OAOB，且OA所在直線的方程為yx，OB所在直線的方程為yx，由得A點坐

5、標為，由得B點坐標為(6p，2p)， OA|p|，OB4|p|，又SOABp26， p±.該拋物線的方程為y23x或y23x.題型3拋物線的幾何性質(zhì)探究例3在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A(2，2)，其焦點F在x軸上(1) 求拋物線C的標準方程；(2) 求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；(3) 設(shè)過點M(m，0)(m>0)的直線交拋物線C于D、E兩點，ME2DM，記D和E兩點間的距離為f(m)，求f(m)關(guān)于m的表達式解：(1)由題意，可設(shè)拋物線C的標準方程為y22px.因為點A(2，2)在拋物線C上，所以p1.因此拋物線C的標準方程為y22x.(

6、2)由(1)可得焦點F的坐標是，又直線OA的斜率為1，故與直線OA垂直的直線的斜率為1，因此所求直線的方程是xy0.(3)(解法1)設(shè)點D和E的坐標分別為(x1，y1)和(x2，y2)，直線DE的方程是yk(xm)，k0.將xm代入y22x，有ky22y2km0，解得y1，2.由ME2DM知12(1)，化簡得k2.因此DE2(x1x2)2(y1y2)2(y1y2)2(m24m)，所以f(m)(m>0)(解法2)設(shè)D，E.由點M(m，0)及2，得t2m2，t02(0s)因此t2s，ms2.所以f(m)DE(m>0)拋物線y22px的準線方程為x2，該拋物線上的每個點到準線x2的距離都

7、與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線l1：yx和l2：yx 相切的圓，(1) 求定點N的坐標；(2) 是否存在一條直線l同時滿足下列條件： l分別與直線l1和l2交于A、B兩點，且AB中點為E(4，1)； l被圓N截得的弦長為2.解：(1) 因為拋物線y22px的準線方程為x2.所以p4，根據(jù)拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，所以定點N的坐標為(2，0)(2) 假設(shè)存在直線l滿足兩個條件，顯然l斜率存在，設(shè)l的方程為y1k(x4)，k±1.以N為圓心，同時與直線l1：yx和l2：yx 相切的圓N的半徑為.因為l被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1, 即d1

8、，解得k0或，當k0時，顯然不合AB中點為E(4，1)的條件，矛盾，當k時，l的方程為4x3y130.由，解得點A的坐標為(13，13)；由，解得點B的坐標為.顯然AB中點不是E(4，1)，矛盾，所以不存在滿足條件的直線l. 1. 拋物線yx2上的點到直線4x3y80的距離的最小值是_答案：解析：設(shè)拋物線yx2上一點為(m，m2)，該點到直線4x3y80的距離為，當m時，取得最小值.2. 已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為_答案：x216y解析： 雙曲線C1：1(a0，

9、b0)的離心率為2，2， ba，雙曲線的漸近線方程為x±y0，拋物線C2：x22py(p0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2， p8. 所求的拋物線方程為x216y.3. 已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)若點M到該拋物線焦點的距離為3，則OM_答案：2解析：依題意，設(shè)拋物線方程是y22px(p>0)，則有23，得p2，故拋物線方程是y24x，點M的坐標是(2，±2)，OM2.4. 已知拋物線D的頂點是橢圓C：1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合(1) 求拋物線D的方程；(2) 過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點若直線l的

10、斜率為1，求MN的長；是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由解：(1) 由題意，可設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)由a2b2431，得c1，拋物線的焦點為(1，0)， p2.拋物線D的方程為y24x.(2) 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)直線l的方程為yx4，聯(lián)立整理得x212x160，即M(62，22)，N(62，22)， MN4.設(shè)存在直線m：xa滿足題意，則圓心E，過E作直線xa的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓E的一個交點為G.可得|EG|2|EG|2|EE|2，即|EG|2|EA|2|EE|2ya(x1

11、4)a2x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2.當a3時，|EG|23，此時直線m被以AM為直徑的圓E所截得的弦長恒為定值2，因此存在直線m：x3滿足題意5. 如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x22py(p>0)上(1) 求拋物線E的方程；(2) 設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y1相交于點Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點解：(1) 依題意，OB8，BOy30°.設(shè)B(x，y)，則xOBsin30°4，yOBcos30°12.因為點B(4，12)在x22py上，所以(4)22p×12，解得p2.故

12、拋物線E的方程為x24y.(2) 由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為.設(shè)M(0，y1)，令·0對滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由·0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式對滿足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0，1)1. (文)已知拋物線y22px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關(guān)系是_答案：相切解析：設(shè)拋物線焦點弦為AB，中點為M，準線為l，A1、B1分別

13、為A、B在直線l上的射影，則|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距離d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半徑，故相切(理)下圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m水位下降1 m后，水面寬_ m.答案：2解析：設(shè)拋物線的方程為x22py，則點(2，2)在拋物線上，代入可得p1，所以x22y.當y3時，x26，即x±，所以水面寬為2.2. (文)已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩個點，若PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是_答案：2±解析：依題意得F，設(shè)P，Q(y1y2)由拋物線定義及PFQF，得，所

14、以yy，所以y1y2.又PQ2，因此|y1|y2|1，點P.又點P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得PF2，由此解得p2±.(理)拋物線頂點在原點，它的準線過雙曲線1(a0，b0)的一個焦點，并與雙曲線實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個交點為，求拋物線與雙曲線方程解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點為焦點，準線過雙曲線的左焦點，p2c，設(shè)拋物線方程為y24c·x.拋物線過點，64c·.c1，故拋物線方程為y24x.又雙曲線1過點，1.又a2b2c21，1.a2或a29(舍)b2，故雙曲線方程為4x21.3. (文)如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點F

15、的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C.若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_答案：y23x解析：由拋物線定義，|BF|等于B到準線的距離由|BC|2|BF|，得BCM30°.又|AF|3，從而A.由A在拋物線上，代入拋物線方程y22px，解得p.(理)如圖所示，直線l1和l2相交于點M，l1l2，點Nl1，以A、B為端點的曲線段C上任一點到l2的距離與到點N的距離相等若AMN為銳角三角形，|AM|，|AN|3，且|NB|6，建立適當?shù)淖鴺讼担笄€段C的方程解：以直線l1為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，由條件可知，曲線段C是以點N為焦點，以

16、l2為準線的拋物線的一段其中A、B分別為曲線段C的端點設(shè)曲線段C的方程為y22px(p0)(xAxxB，y0)，其中xA、xB為A、B的橫坐標，p|MN|，M、N.由|AM|，|AN|3，得2pxA17，2pxA9.聯(lián)立，解得xA，代入式，并由p0，解得或AMN為銳角三角形，xA.由點B在曲線段C上，得xB|BN|4.綜上，曲線C的方程為y28x(1x4，y>0)4. (文)求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應(yīng)拋物線的準線方程(1) 過點(3，2)；(2) 焦點在直線x2y40上解：(1) 設(shè)所求拋物線的方程為y22px或x22py(p0)過點(3，2)，42p(3)或92p

17、83;2.p或p.所求拋物線的方程為y2x或x2y，前者的準線方程是x，后者的準線方程是y.(2) 令x0得y2，令y0得x4，拋物線的焦點為(4，0)或(0，2)當焦點為(4，0)時，4，p8，此時拋物線的方程為y216x；焦點為(0，2)時，2，p4，此時拋物線的方程為x28y.所求拋物線的方程為y216x或x28y，對應(yīng)的準線方程分別是x4，y2.(理)已知定點F(0，1)和直線l1：y1，過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C.(1) 求動點C的軌跡方程；(2) 過點F的直線l2交軌跡于兩點P、Q，交直線l1于點R，求·的最小值解：(1) 由題設(shè)點C到點F的距離等于它到l1的距離，點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線所求軌跡的方程為x24y.(2) 由題意直線l2的方程為ykx1，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x24kx40.記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x24k，