高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題

1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題 一、 有關(guān)外接球的問(wèn)題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例1若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi) .例2一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，

2、若該正方體的表面積為，則該球的體積為_(kāi).2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例3一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為，則此球的表面積為.例4已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）.A. B.C. D.3.求多面體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例5一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為 .解 設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則有正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.外接球的半徑.體積：.小結(jié) 本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、構(gòu)

3、造法(補(bǔ)形法)1、構(gòu)造正方體例5 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是_.例3 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 .故其外接球的表面積.小結(jié)：一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體。【原理】：長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，幾何體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng) 即練習(xí)：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，

4、求這個(gè)球的表面積。球的表面積為例 6一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D.例7 已知球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，則球的體積等于.圖5解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于，聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長(zhǎng)方體，又因?yàn)?，則此長(zhǎng)方體為正方體，所以長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的體積等于.（如圖4）圖42、 例8（2008年安徽高考題）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，若，則球的體積是解析：首先可聯(lián)想到例7，構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是為球的直徑，O為球心，為半徑

5、，要求B、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C兩點(diǎn)間的球面距離是.（如圖5）本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問(wèn)題。三.多面體幾何性質(zhì)法例.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A. B. C. D.小結(jié):本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為解:設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得.又，球心必在所在的直線上.的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是

6、外接球的半徑.在中，由，.是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.小結(jié):根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).五 .確定球心位置法例5 在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為A. B. C. D.解:設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知.點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示

7、.外接球的半徑.故.出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)。【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且求球的體積。解：且因?yàn)?所以知:所以 所以可得圖形為：在中斜邊為在中斜邊為取斜邊的中點(diǎn)，在中在中所以在幾何體中，即為該四面體的外接球的球心所以該外接球的體積為【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。1. （陜西理6）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D答案B2. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于。解

8、:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.3正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為答案 84.表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為A B C D答案A【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。5.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D6.（2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( )A. 1B. 13 C. 13D. 19答案C7.（2008海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊 形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為答案8. （2007天津理12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為答案9.（2007全國(guó)理15）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積為cm2.答案ABCPDEF10.（2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_答案11.（遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四