剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律

1、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)3.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理3.2.4 例題分析例題分析3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律1. 力矩力矩對于定點轉(zhuǎn)動而言：對于定點轉(zhuǎn)動而言： MFdM rmF doFrM sinFr 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律對于定軸轉(zhuǎn)動而言：對于定軸轉(zhuǎn)動而言： zorFP/F FFrM Fr注意注意: : ( (1) )力矩是對點或?qū)S而言的力矩是對點或

2、對軸而言的; ( (2) )一般規(guī)定，使剛體逆時針繞定軸轉(zhuǎn)動一般規(guī)定，使剛體逆時針繞定軸轉(zhuǎn)動時時 ；使剛體順時針繞定軸轉(zhuǎn)動時；使剛體順時針繞定軸轉(zhuǎn)動時 . . 0 M0 M剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 對質(zhì)元對質(zhì)元 ，由，由牛頓第二運動定律得牛頓第二運動定律得 im iiamFF 內(nèi)內(nèi)力力外外力力zoir內(nèi)力內(nèi)力Fi im i 外力外力F ,其中其中 是質(zhì)元是質(zhì)元 繞繞軸作圓運動的加速度，軸作圓運動的加速度，寫為分量式如下：寫為分量式如下： iaim iiiiiniiiamFFamFFsinsincoscos內(nèi)內(nèi)力力外外力力內(nèi)內(nèi)力力外外力力剛體定軸轉(zhuǎn)

3、動的轉(zhuǎn)動定律 其中其中 和和 是質(zhì)元是質(zhì)元 繞軸作圓運動繞軸作圓運動的法向加速度和切向加速度，所以的法向加速度和切向加速度，所以 ina iaim iiiiiiiirmFFrmFFsinsincoscos2內(nèi)力內(nèi)力外力外力內(nèi)力內(nèi)力外力外力切向：切向：法向：法向： 2sinsiniiiiiirmrFrF 內(nèi)內(nèi)力力外外力力法向力的作用線過轉(zhuǎn)軸法向力的作用線過轉(zhuǎn)軸, ,其力矩為零其力矩為零. . iiiiiiiiirmrFrF2sinsin內(nèi)力內(nèi)力外力外力內(nèi)力矩為零內(nèi)力矩為零外力矩為外力矩為M J轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量是剛

4、體作轉(zhuǎn)動時對慣性的量度轉(zhuǎn)動慣量是剛體作轉(zhuǎn)動時對慣性的量度描述描述. . 3. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 iiirmJ2 mdmrJ2適用于離散分布剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算適用于離散分布剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算適用于連續(xù)分布剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算適用于連續(xù)分布剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算 在國際單位制在國際單位制（SI）中，轉(zhuǎn)動慣量的單中，轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克二次方米，即位為千克二次方米，即 . . 2mkg 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小與下列因素有關(guān)：剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小與下列因素有關(guān)： （1）形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動慣量大；轉(zhuǎn)動慣量大； （2）總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸

5、總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠轉(zhuǎn)動慣量越大；越遠轉(zhuǎn)動慣量越大； （3）對同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對軸的分布就不同，轉(zhuǎn)動慣量的大小就不同對軸的分布就不同，轉(zhuǎn)動慣量的大小就不同. . 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能( 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 ) oo irim iv對于第對于第i 個質(zhì)元個質(zhì)元, ,動能為動能為221iikivmE 2221 iirm NikikEE121221 Niiirm對于整個剛體對于整個剛體, ,動能為動能為221 J 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律2. 剛體定

6、軸轉(zhuǎn)動時力矩所做的功及功率剛體定軸轉(zhuǎn)動時力矩所做的功及功率oyxr dPrd FrdFdW dsF)cos( dFr)sin( MddW 0MdW MdtdMdtdWN 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理0kkkEEEWW 內(nèi)力內(nèi)力外力外力,0 MdW外外力力, 0 內(nèi)內(nèi)力力W,21200 JEk .212 JEk 20222121210 JJMdJdMd積分形式：積分形式：微分形式：微分形式：剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律1. 角動量角動量( 動量矩動量矩 ) 對于定點轉(zhuǎn)動而言：對于定點轉(zhuǎn)動而言

7、： LPrL rmvmP sinro vmr 在國際單位制在國際單位制（SI）中，角動量的單位為中，角動量的單位為12smkg 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 irim ivzLiiiivmrL krmii 2 對于繞固定軸對于繞固定軸oz 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動的整個剛體而言動的整個剛體而言: : 對于繞固定軸對于繞固定軸oz的的轉(zhuǎn)動的質(zhì)元轉(zhuǎn)動的質(zhì)元 而言而言: : im JrmLNiii 2 角動量的方向沿軸的正向或負向角動量的方向沿軸的正向或負向, ,所以所以可用代數(shù)量來描述可用代數(shù)量來描述. . 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律2. 角動量定理（動量矩定理）角動量定理（動量矩定理） dtdJM dtJd dtdL dL

8、JdMdt 微微分分形形式式：00 JJMdttt 積積分分形形式式：00LLMdttt 或或剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3. 角動量守恒定律角動量守恒定律 0 M若若： .0常常量量或或，則則： JLJddL即系統(tǒng)所受的合外力矩為零即系統(tǒng)所受的合外力矩為零.角動量守恒的條件角動量守恒的條件 角動量守恒的內(nèi)容角動量守恒的內(nèi)容 注意：注意：在推導(dǎo)角動量守恒定律的過程中在推導(dǎo)角動量守恒定律的過程中受到了剛體、定軸等條件的限制，但它的適受到了剛體、定軸等條件的限制，但它的適用范圍卻遠遠超過了這些限制用范圍卻遠遠超過了這些限制. . 如如: : 滑冰運動員的表演滑冰運動員的表演. .剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3

9、.2.4 例題分析例題分析 1.一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量分別為分別為m 和和M 的物體，且的物體，且 . . 滑輪可滑輪可看作是質(zhì)量均勻分布的圓盤，其質(zhì)量為看作是質(zhì)量均勻分布的圓盤，其質(zhì)量為 ，半徑為半徑為R ，轉(zhuǎn)軸垂直于盤面通過盤心，如，轉(zhuǎn)軸垂直于盤面通過盤心，如圖所示圖所示. .由于軸上有摩擦，滑輪轉(zhuǎn)動時受到由于軸上有摩擦，滑輪轉(zhuǎn)動時受到了摩擦阻力矩了摩擦阻力矩 的作用的作用. . 設(shè)繩不可伸長設(shè)繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動且與滑輪間無相對滑動. .求物體的加速度及求物體的加速度及繩中的張力繩中的張力. . mM 阻阻Mm 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律m

10、G1TMG2T1a2a阻阻MRm mMo 解解 受力分析如圖所示受力分析如圖所示. .對于上下作平動的兩物體，對于上下作平動的兩物體，可以視為質(zhì)點，由牛頓第可以視為質(zhì)點，由牛頓第二運動定律得二運動定律得 2211MaTMgMmamgTm：對對：對對 若以順時針方向轉(zhuǎn)的若以順時針方向轉(zhuǎn)的力矩為正，逆時針轉(zhuǎn)的方力矩為正，逆時針轉(zhuǎn)的方向為負，則由剛體定軸轉(zhuǎn)向為負，則由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律得動的轉(zhuǎn)動定律得 21221RmJMRTRT阻阻剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 Raaaa 21 據(jù)題意可知，繩與滑輪間無相對滑動，據(jù)題意可知，繩與滑輪間無相對滑動，所以滑輪邊緣上一點的切向加速度和物體的所以滑輪邊緣上一點

11、的切向加速度和物體的加速度相等，即加速度相等，即 聯(lián)立以上三個方程，得聯(lián)立以上三個方程，得 2)(mmMRMgmMa 阻阻剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律2)22()(1mmMRmMmgmMagmT 阻阻2)22()(2mmMRMMMgmmagMT 阻阻 注意：注意：當(dāng)不計滑輪的質(zhì)量和摩擦阻力矩當(dāng)不計滑輪的質(zhì)量和摩擦阻力矩時，此時有時，此時有 ，物理學(xué)中稱這樣的滑輪，物理學(xué)中稱這樣的滑輪為為“理想滑輪理想滑輪”，稱這樣的裝置為，稱這樣的裝置為阿特伍德阿特伍德機機. . 21TT 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 2.求長為求長為L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m 的均勻細棒的均勻細棒AB 的的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量. . （2）對

12、于通過棒的中點與棒垂直的軸對于通過棒的中點與棒垂直的軸. . （1）對于通過棒的一端與棒垂直的軸；對于通過棒的一端與棒垂直的軸；解解 （1）如圖所示，以過如圖所示，以過A 端垂直于棒的端垂直于棒的 為軸，沿棒長方向為為軸，沿棒長方向為x 軸，原點在軸上，在軸，原點在軸上，在棒上取長度元棒上取長度元 ，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有: :dxoo xo odxxdmLAB mdmxJ2端端點點 LdxLmx02231mL 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 （2）如圖所示，以過如圖所示，以過中點中點垂直于棒的垂直于棒的 為軸，沿棒長方向為為軸，沿棒長方向為x 軸，原點在軸上，在軸，原點在軸上，在

13、棒上取長度元棒上取長度元 ，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有: :dxoo mdmxJ2端端點點 222LLdxLmx2121mL xo odxxdm2LAB2L剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律Ro 3.試求質(zhì)量為試求質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的勻質(zhì)圓環(huán)的勻質(zhì)圓環(huán)對垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量對垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量. . dm解解 作示意圖如右作示意圖如右, ,由于質(zhì)由于質(zhì)量連續(xù)分布，所以由轉(zhuǎn)動量連續(xù)分布，所以由轉(zhuǎn)動慣量的定義得慣量的定義得 mdmRJ2 RdlRmR 20222mR 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律lo 4.試求質(zhì)量為試求質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的勻質(zhì)圓盤的勻質(zhì)圓

14、盤對垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量對垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量. . rRdr解解 如圖所示如圖所示, , 由于質(zhì)由于質(zhì)量連續(xù)分布，設(shè)圓盤的量連續(xù)分布，設(shè)圓盤的厚度為厚度為l，則圓盤的質(zhì)量，則圓盤的質(zhì)量密度為密度為 lRm2 mdmrJ2 Rldrrr022 lR421 221mR 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 5. 如圖所示，一質(zhì)如圖所示，一質(zhì)量為量為M 、半徑為、半徑為R 的勻的勻質(zhì)圓盤形滑輪，可繞一質(zhì)圓盤形滑輪，可繞一無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動. . 圓盤上繞有質(zhì)量可不計圓盤上繞有質(zhì)量可不計繩子，繩子一端固定在繩子，繩子一端固定在滑輪上，另一端懸掛一滑輪上，另一端懸掛一質(zhì)量為質(zhì)量

15、為m 的物體，問物的物體，問物體由靜止落下體由靜止落下h 高度時高度時, ,物體的速率為多少？物體的速率為多少？ RMh剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 物體下降的加速度的物體下降的加速度的大小就是轉(zhuǎn)動時滑輪邊緣大小就是轉(zhuǎn)動時滑輪邊緣上切向加速度，所以上切向加速度，所以GTao RMh 解法一解法一 用牛頓第二運動用牛頓第二運動定律及轉(zhuǎn)動定律求解定律及轉(zhuǎn)動定律求解. .分分析受力如圖所示析受力如圖所示. . 對物體對物體m用牛頓第二用牛頓第二運動定律得運動定律得 maTmg 對勻質(zhì)圓盤形滑輪用對勻質(zhì)圓盤形滑輪用轉(zhuǎn)動定律有轉(zhuǎn)動定律有 JTR 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律物體物體m 落下落下h 高度時的速率為高度

16、時的速率為 Ra ahv2 221MRJ 圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為 聯(lián)立以上五式，可得物體聯(lián)立以上五式，可得物體m 落下落下h 高度高度時的速率為時的速率為mMmghv22 .2gh小于物體自由下落的速率小于物體自由下落的速率剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律解法二解法二 利用動能定理求解利用動能定理求解. . 對于物體對于物體m 利用質(zhì)點的動能定理有利用質(zhì)點的動能定理有2022121mvmvThmgh 其中其中 和和 是物體的初速度和末速度是物體的初速度和末速度. . 0vv對于滑輪由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理有對于滑輪由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理有2022121 JJTR 其中其中 是在拉力矩是在拉力

17、矩TR 的作用下滑輪轉(zhuǎn)的作用下滑輪轉(zhuǎn)過的角度，過的角度， 和和 是滑輪的初末角速度是滑輪的初末角速度. . 0 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 由于滑輪和繩子間無相對滑動，所以物由于滑輪和繩子間無相對滑動，所以物體落下的距離應(yīng)等于滑輪邊緣上任意一點所體落下的距離應(yīng)等于滑輪邊緣上任意一點所經(jīng)過的弧長，即經(jīng)過的弧長，即 . . Rh, 00 v又又因因為為, 00 ,Rv .212MRJ 聯(lián)立以上各式，可得物體聯(lián)立以上各式，可得物體 m 落下落下h 高度高度時的速率為時的速率為mMmghv22 解法三解法三 利用機械能守恒定律求解利用機械能守恒定律求解. . 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 若把滑輪、物體和地球看

18、成一個系統(tǒng)，若把滑輪、物體和地球看成一個系統(tǒng)，則在物體落下、滑輪轉(zhuǎn)動的過程中，繩子的則在物體落下、滑輪轉(zhuǎn)動的過程中，繩子的拉力拉力T 對物體做負功對物體做負功（ ），對滑輪做正，對滑輪做正功功（ ）即內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，所以即內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)的機械能守恒系統(tǒng)的機械能守恒. . Th Th 若把系統(tǒng)開始運動而還沒有運動時的狀若把系統(tǒng)開始運動而還沒有運動時的狀態(tài)作為初始狀態(tài)，系統(tǒng)在物體落下高度態(tài)作為初始狀態(tài)，系統(tǒng)在物體落下高度h 時時的狀態(tài)作為末狀態(tài)，則的狀態(tài)作為末狀態(tài)，則 0212121222 mghmvRvMR解之可得物體解之可得物體 m 落下落下h 高度時的速率高度時的速率.

19、 .剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 6. 哈雷慧星繞太陽運行時的軌道是一個哈雷慧星繞太陽運行時的軌道是一個橢圓，如圖所示，它距離太陽最近的距離是橢圓，如圖所示，它距離太陽最近的距離是 , , 速率速率；它離太陽最遠時的速率；它離太陽最遠時的速率，這時它離太陽的距離，這時它離太陽的距離 m1075. 810 近近日日r1-4sm1046. 5 近近日日v1-2sm1008. 9 遠遠日日v？遠遠日日 r遠遠日日v近日近日v近日近日r遠日遠日r剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律解解 彗星受太陽引力的作用，而引力通過了彗星受太陽引力的作用，而引力通過了太陽，所以對太陽的力矩為零，故彗星在運太陽，所以對太陽的力矩為零，故

20、彗星在運行的過程中角動量守恒行的過程中角動量守恒. . 于是有于是有 遠遠日日遠遠日日近近日日近近日日vrvr 遠遠日日遠遠日日近近日日近近日日，因因為為vrvr 遠遠日日近近日日近近日日遠遠日日所所以以vvrr m1026. 512 遠遠日日r代入數(shù)據(jù)可代入數(shù)據(jù)可, 得得剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 7.如圖所示，一個長為如圖所示，一個長為l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為M 的的勻質(zhì)桿可繞支點勻質(zhì)桿可繞支點o自由轉(zhuǎn)動自由轉(zhuǎn)動. .一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 、速、速率為率為v 的子彈以與水平方向成角的子彈以與水平方向成角 的方向射的方向射入桿內(nèi)距支點為入桿內(nèi)距支點為a 處，使桿的偏轉(zhuǎn)角為處，使桿的偏轉(zhuǎn)角為 . . 問

21、子彈的初速率為多少？問子彈的初速率為多少？ 060030解解 把子彈和勻質(zhì)桿作為把子彈和勻質(zhì)桿作為一個系統(tǒng)一個系統(tǒng), , 分析可知在碰分析可知在碰撞過程中角動量守恒撞過程中角動量守恒. . 設(shè)子彈射入桿后與桿設(shè)子彈射入桿后與桿一同前進的角速度為一同前進的角速度為 , ,則則 030060lav 2203160cosmaMlavm剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 子彈在射入桿后與桿一起擺動的過程中子彈在射入桿后與桿一起擺動的過程中只有重力做功，所以由子彈、桿和地球組成只有重力做功，所以由子彈、桿和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，因此有的系統(tǒng)機械能守恒，因此有 0022230cos1230cos13121 lMgmgamaMl 聯(lián)立上述這兩個方程得子彈的初速率為聯(lián)立上述這兩個方程得子彈的初速率為 22326322maMlmaMlgmav 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律