向量代數(shù)與空間解析幾何期末復(fù)習(xí)題高等數(shù)學(xué)下冊(cè)

1、第七章空間解析幾何、選擇題1 .在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1,-2, 3）在D A.第一卦限B.第二卦限C.第三卦限D(zhuǎn).第四卦限222 .萬(wàn)程2x y2在空間解析幾何中表示的圖形為 CA. 橢圓 B. 圓 C. 橢圓柱面 D. 圓柱面一 ,、 x 1 y 1 z 1, x y 1 03 .直線(xiàn)I-與l2：，的夾角是C 423 xyz20A. - B. C.4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（ D. 021, 2,3）關(guān)于xoy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是D A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)5.將xoz坐標(biāo)面上的拋物線(xiàn) z24x繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面方程是

2、B 2A. z 4(x y) B.2222C. y z 4x d. y z 4x6.平面2x-2y+z+6=0與xoy平面夾角的余弦是B A.B.C.D.7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1, 2,3）關(guān)于yoz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)、 x2 y228.方程2 Tz表示的是B a2b29.已知 a =0, 3, 4,A.橢圓拋物面 B.橢圓錐面C. 橢球面 D. 球面b=2, 1,-2, 則 projab C A. 3 B. 1 C. -1310.已知a,b為不共線(xiàn)向量，則以下各式成立的是DA. a2b2 (a?b

3、)2B.222a b (a b)22C. (a?b) (a b)D._222 2(a?b) (a b) a b，八x y z 0，八x y z 011 .直線(xiàn)11的方程為，直線(xiàn)l2的方程為，則11與31x 30y 29z 030x 31y 30z 012的位置關(guān)系是DA.異面 B. 相交 C. 平行 D. 重合12 .已知A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于XO評(píng)面對(duì)稱(chēng)，B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于Z軸對(duì)稱(chēng)，那么 A點(diǎn)與C點(diǎn)是CA.關(guān)于XOZ平面對(duì)稱(chēng)B. 關(guān)于YOZ平面對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)x y z對(duì)稱(chēng)13 .已知A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于YOZ平面對(duì)稱(chēng)，B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，那么 A點(diǎn)與C點(diǎn)CA.關(guān)于XOZ平面對(duì)稱(chēng)B. 關(guān)于

4、XO竹面對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)x y z對(duì)稱(chēng)14 .下列那個(gè)曲面不是曲線(xiàn)繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的C.222/22/2/22)A. x y z 1 B. x y z 1 C. x y z 1 D. x y z 115 .已知a,b為不共線(xiàn)向量，則下列等式正確的是 C_2_2_222_2A. a a a B. a?(a?b) a b C. a?(b?b) ab D. a b (a?b)16 .已知向量a (1,2,1), b ( 3,4, 3),那么以a,b為兩邊的平行四邊形的面積是BB. 10、.2D.5,2，x 2y 3z 0 , 一、，、一17 .已知直線(xiàn)l方程y與平面 方程 x z 2

5、 0,那么l與 的位置關(guān)系3x 4y 5z 0是CA. l在內(nèi) B. l垂直于 C. l平行于 D.不能確定18.兩向量a,b所在直線(xiàn)夾角一，ab40 ,那么下列說(shuō)法正確的是A. a,b 夾角一B.419.已知 |a| 1 , |b |(A) 1(B).33a,b夾角 C.a,b夾角可能或一444J2,且(Mb) 一，則 |a b |(D ).412(C)2(D).5BD.以上都不對(duì)20.設(shè)有直線(xiàn)L：x 3y2x y2z 1 0及平面10z 3 02y z0,則直線(xiàn)L ( C )o(A)平行于(B) 在上 (C) 垂直于(D) 與斜交21.雙曲線(xiàn)1 _ J -A)1繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方

6、程為(22(A) 一4(B)2(C) (x y)4(D)(y z)2522.點(diǎn)（a, b, c）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是（(A) ( a, b, c) (B)(a, b, c)(C)(a,b, c)(D)(a, b, c)23.已知a 4, 3,4, b 2,2,1,則 Prjb(a)(A)(A)2(B)2(C)24. x2y21在空間表示（D ）.(A)雙曲線(xiàn)（B） 雙曲面25.設(shè)a與b為非零向量，則(A)(C)a b的充要條件 a/b的充要條件a b(B)(D)(C)0是旋轉(zhuǎn)雙曲面C ）.(D)雙曲柱面a b的充要條件a/b的必要但不充分條件26.設(shè)平面方程為AxCzA,C,D均不為零，則平面（

7、B）.(A)平行于X軸（B）平行于y軸 （C）經(jīng)過(guò)x軸(D)經(jīng)過(guò)y軸27.已知等邊形 ABC的邊長(zhǎng)為1 ,uuv 且BCuuvCAuuv AB(A)(B)(C)(D)28.點(diǎn)M（2, -3, 1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(A) (-2,3,-1)(C) (2,-3, -1)(B) (-2(D) (-2,-3 , ,，3, 1)-1)29.平面2x-3y-5=0的位置是（A） 平行于XO評(píng)面（C） 平行于YOZ平面30.點(diǎn)A（-2, 3, 1）關(guān)于啜由的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(B)(D) (D平行于Z軸垂直于Z軸(A) (2 ,-3,1)(C) (2 , 3,-1)(B) (-2(D) (2,-3 , -1),

8、-3, -1)31.過(guò)點(diǎn)（0, 2, 4）且與平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直線(xiàn)方程是 （Cz 4 x 2(B)(A) y zx y 2(C)23(D)2x 3( y2) z 432.二個(gè)平面Jx22x+3y-4z=1 位置關(guān)系是(A)相交但不垂直(C.)平行但不重合(B)重合(D.)垂直33.過(guò)點(diǎn)(2,0,-3)且與直線(xiàn)34.cos(A)35.中的(A)(B)(C)(D)=(A16(x(x 2)3(x 2)16(xa,b,c已知曲面方程 zA.拋物線(xiàn);36.點(diǎn)(3 ,)B.3x2y5y4z2z2) 14(y2(y 0)5(y 0)2) 14( y(B)0)4(z11(z3)2(z 3

9、)0) 11(z3)3)0垂直的平面方程是坐標(biāo)軸的夾角分別為的方向余弦中的2 x -2 a2 y b2雙曲線(xiàn);c (C)(馬鞍面)C.1, 2)關(guān)于XOZF面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(B(A)(C) (3(-3,1, 2) 1,-2)4x29y23637.曲線(xiàn)z(A)(C)4x2 9(D),這曲面與平面橢圓;)(B) (3(D) (-3繞期由旋轉(zhuǎn)一周,9y2 36 (B)z236 (D)38.準(zhǔn)線(xiàn)為XO用面上以原點(diǎn)為圓心、半徑為(B )形成的曲面方程是4x2z2 9 y4x2 9y2 36相截,其截痕是空間D.直線(xiàn)。，-1，2的圓周，母線(xiàn)平行于2222(A) x y 0(B)x y 42)2)36Z軸的圓柱

10、面方程是(C)(D)39. 球面k2z a的交線(xiàn)在XOY面上的投影曲線(xiàn)方程是（k2(A)(B)(C)40.向量a(A)(C)1.2.3.4.5、6.7、8.k2(D)Ax, Ay , Az、3=Bx,By,Bz垂直的充分必要條件是AxAyAzBxBy Bz填空題3,b有曲面方程母線(xiàn)平行于(B)(D)a X 3 =0a - 3 =04, ax2y2q7,則2z,當(dāng)pq<0時(shí)，方程表示的曲面稱(chēng)為雙曲拋物面x軸且通過(guò)曲線(xiàn)2x2 x222 z216y z 16的柱面方程是3yy2 z202 z2 16已知a , b , c都是單位向量,XOZ平面內(nèi)曲線(xiàn)uuu已知向量OA已知平面1 : x且滿(mǎn)足a

11、 + b + c =0,則2x z繞X軸旋轉(zhuǎn),uuu(1,2,3),向量 OB2yz 3 0與所得曲面方程為（2,3, 4）,那么三角形OAB的面積是2: 3x y z 1 0,則其夾角為點(diǎn)（1,2,0）在平面上x(chóng) 2y z 1 0的投影為(51,2)3 3 39.設(shè)有直線(xiàn)L1 :L2:2yyz.6 66 arccos一 33，則Li與L2的夾角為一310 .已知 |a| 2, |b | 2 , (?,b)三，則 u 2a 3b 的模 |u |2a11 .已知向量 a 3i 2j k 與 b 2i 3j ,則(2a) (3b) 0 ； a br r r3i 2j 13k12、平面x+2y-z+

12、3=0和空間直線(xiàn) 上y-2的位置關(guān)系是直線(xiàn)在平面上31113. 過(guò)點(diǎn)(2,-3, 6)且與Y軸垂直的平面為y 3,此點(diǎn)關(guān)于 XO什面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是2, 3，6,它與原點(diǎn)的距離為7三：計(jì)算與證明1.求過(guò)點(diǎn)M(3, 1-2)且通過(guò)直線(xiàn) J43 4的平面方程521解：設(shè) N(4,-3, 0), s (5,2,1),由已知，MN (1, 4,2)是所求平面內(nèi)的向量又設(shè)所求平面的法向量是n ,取n MN s,ijk即： n 14 2 8i 9j 22k521故，所求平面的方程為：一 8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0即：一8x+9y+22z+59=02.求與直線(xiàn)L1: 心 U 孑相交且與直線(xiàn)L2

13、： 土0 上上 孑相交，與直線(xiàn)12312541L3：人上 U U平行的直線(xiàn)方程871解：將L1, L2分別化為參數(shù)方程：x2t3x510y3t5,y47z tz對(duì)于某個(gè)t及 值，各彳導(dǎo)L1 , L2上的一點(diǎn)，分別記為Mt, M則向量 MtM =(2t-3)-(5+10)i+(3t+5)-(4-7)j+(t- )k=(2t-5-13) i+(3t-4+12)j+(t- )k令向量MtM 平行于L3,即有2t-5 -13 3t-4 +12 t-一 25解得t= 252Mt(-28 ,65125)2故所求直線(xiàn)為：x 28865-21252213.直線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)M(2, 6,3),平行于平面:x-2y+3

14、z-5=0且與直線(xiàn)L1:y 2 z 68相交，求L的方程解：過(guò)點(diǎn)M平行于的平面方程為(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0即:x-2y+3z=0再求它與直線(xiàn)L1的交點(diǎn)，將L1寫(xiě)成參數(shù)方程x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t代入上述平面方程得：t=-1所以交點(diǎn)為P(7, 10, 4), 又L過(guò)M, P兩點(diǎn)故：L的方程為x 27-2y-610-6即：254.求過(guò)直線(xiàn)y-64x 12z-31y ,且平行于直線(xiàn)11z-34-3X y2 1z 1 , 一 、一 幺的平面方程。2解：設(shè)平面法向量(a,b,c),則有方程2a b c 02ab 2c 0c0口"，一解得，于是可取法向量

15、(1,2,0)2a b 0所以平面方程為(x 1) 2y 05、設(shè)a, b是平面上兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量,c a b為已知非零向量，求解：方程兩邊同與a,b作數(shù)量積得agcbgcagbagb,解此兩元一次方程組，得 b2ac ab bc b2 a2 ab ab b22a acab bca2 abab b2, 2x y z 1 0 6.求直線(xiàn)l：y在平面3x y z 3 0上的投影x 2y 2z 2 0解：設(shè)平面束方程為(2x y z 1) (x 2y 2z 2) 0其法向量為(22 ,2 ),于是由題意有3(2) (2 )(2 ) 0 ,即 470取 7,4。直線(xiàn)方程為3x10x 15y 15z

16、 1 0,-x 2y 3z 4 0一 八 7 .求原點(diǎn)到直線(xiàn)i ：，的垂線(xiàn)與垂足，垂線(xiàn)要求參數(shù)方程。2x 3y 4z 5 0解：設(shè)為過(guò)原點(diǎn)且垂直于l的平面，則的一個(gè)法向量與l的方向一致。l的方向：()(1,2, 1)。的方程 x 2y z 0214將其與i方程聯(lián)立，解得垂足坐標(biāo) (£, -, 4)3 3 3于是垂線(xiàn)參數(shù)方程2t31 t3338 .已知直線(xiàn)一般方程為2x4x3y z 4 0y,求其點(diǎn)向式方程。6y 5z 1 0解：兩平面法向量分別為(2, 3, 1),(4, 6,5),故直線(xiàn)方向?yàn)?)(21, 14,0) 63y z 4 019 9令x 0, y，得直線(xiàn)上一點(diǎn)(0,19

17、,9)6y 5z 1 021 7故點(diǎn)向式方程為x2119149 z 一 _70x y z 19.在直線(xiàn)l：y 上求一點(diǎn)A,使得它與原點(diǎn)所決定的直線(xiàn)與l的夾角為,6 arccos 3解：直線(xiàn) l 方向(1,1, 1) (1,0, 1) ( 1,0, 1)設(shè)直線(xiàn)上一點(diǎn) A(x,1,x),則OA (x,1,x),據(jù)題意有 12x1圾 解. 2g 2x2 13此方程得x 1。故A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1)或(1,1, 1)。7 3x 2y 110.證明：直線(xiàn)11及直線(xiàn)12:y 共面。6 j kn n1 nMuMv 211 i 8j 6k (3分). 23又M1( 1, 2,1)為已知平面上的點(diǎn)，所求平面的

18、點(diǎn)法式方程為(x 1) 8( y 2) 6(z 1) 0,即 x 8y 6z 11 0(2 分)。 y z 2l2的方向向量n21,2,0 0,1,1 2, 1,1(2分)，l1的方向向量n1 3, 2,6(2分)。點(diǎn) A (2, 1,3)uuv1i,B (1,0, 2) l2, AB 1,1, 5,由于這三個(gè)向量?jī)蓛刹黄叫?，? uuu(n1 n2) AB 21所以l1與l2共面(因?yàn)橛缮鲜街?6110 (4 分),15uuivn1, n2, AB三向量共面)。證法2： 11與12有交點(diǎn)：M ( 1,1, 3),故11與12共面。11 .求通過(guò)直線(xiàn):口 -y2 巳及直線(xiàn)1,： x 2y 1的

19、平面方程。 12 211y z 2解：12 的方向向量為 n21,2,0 0,1,1 2, 1,1/ n1，所以 11 與 12 平彳T(3分)。點(diǎn) M1( 1, 2,1)平面就是兩相交直線(xiàn)11,且易知M2(1,0, 2) 12, M2不在直線(xiàn)11上(2分)。故所求uuuuv ,11與M1M 2確定的平面。它的法向量可取為uuvuuuABC的面積。12 .已知 ABC的兩邊構(gòu)成的向量 AB 2i j k, BC 3i 2j k ,求1 uuv uuv 1 uuv uuv斛：S ABC-|BA BC| 51AB BC|（2分）,uuv uuv i j而 AB BC 2 13 2k1 3i 5jk（2 分）,112735 （2分）.uuv uuv -所以 | AB BC | J35 ,從而 S ABCABCx z 213.求直線(xiàn)在平面x y z 0上