等積變比例 構(gòu)造相似形

1、等積變比例 構(gòu)造相似形例談一類平面幾何題的證明方法張巧俊在初中數(shù)學習題中，有一類平面幾何題，一般要應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)，來證明線段乘積相等的結(jié)論。例如，若用a、b、c、d分別表示四條線段的長度，則或都是表示線段乘積相等的式子，可統(tǒng)稱為等積式。我們證明線段等積式成立的基本思路是：首先將等積式變形為比例式，即由，由或；然后構(gòu)造兩個相似三角形，使要求證的等積式中的線段分別為對應(yīng)邊，再根據(jù)兩相似三角形中對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，很容易得到證明。簡言之，我們的思路是：先將等積式變?yōu)楸壤剑瑯?gòu)造相似三角形；再由對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，將比例式化為等積式，便可得證。下面舉例說明。一、等積變比例，直接構(gòu)造相似形例1 如

2、圖1所示，已知ABC是直角三角形，ACB=90，CD是斜邊AB上的高。求證：（1）斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項，即（2）每條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項，即圖1分析：本題要證明的是直角三角形中的3個比例中項式，都是線段的等積式。在式中，欲證成立須證明比例式成立，由分子上的兩條線段和分母上的兩條線段可直接構(gòu)造兩個相似三角形，即BCD和CAD必相似。同理，在式和式中，欲證成立須證比例式成立，由分子、分母上的兩條線段可直接構(gòu)造兩個相似三角形，即ABC。欲證成立須證明比例式成立，由分子、分母上的兩條線段可直接構(gòu)造兩個相似三角形，即CBDABC。證明：（1）BCDCAD（2

3、）ACDABC同理CBDABC例2 （2005年黃岡中考試題）如圖2所示，已知圓O的弦AB垂直于直徑CD于F，點E在AB上，且EA=EC。（1）求證：（2）延長EC到點P，連結(jié)PB，若PB=PE，試判斷PB與圓O的位置關(guān)系，并說明理由。圖2分析：欲證須證可直接構(gòu)造兩個相似三角形，即ABCACE。解答：（1）因為ABCD所以又因為AE=EC，AC=BC所以1=2=3故ABCACE（證畢）（2）因為PE=PB所以PEB=1+2=23PBE=4+3=23所以4=3連結(jié)BO，因為OB=OC所以O(shè)CB=OBC在RtBFC中，OCB+3=90所以O(shè)BC+4=OBC+3=90即PBOB，故PB切圓O于B點。

4、二、采用等量代換法，間接構(gòu)造相似形有些習題，將線段的等積式化為比例式后，難以直接構(gòu)造相似三角形，為此要采用線段的等量代換，可間接獲得相似形。舉例說明。例3 （2001年甘肅省中考試題）如圖3所示，圓O與圓A相交于C、D兩點，A點在圓O上，過A點的直線與CD、圓A、圓O分別交于F、E、B，求證：。圖3分析：欲證須證，但AE、EF和AB都在同一直線上，不能直接構(gòu)成兩個相似三角形，因此須采用線段的等量代換法，間接構(gòu)造相似形。因為C、D、E三點都在圓A上，故AC=AD=AE，可用AD代換AE。欲證明成立可證AB須證可構(gòu)造兩個相似三角形，即ABDADF。證明：連結(jié)AD、BD、BC在圓O中ABDADF（證

5、畢）例4 （2004年哈爾濱市中考題）如圖4所示，BD是圓O的直徑，弦ACBD，垂足是E，BA和CD的延長線交于點P。求證：（1）AB=BC；（2）CDPC=PAAB。圖4分析：（1）由垂直于弦的直徑必平分弦，并且平分弦所對的弧，故AE=EC，故AB=BC，AD=CD。（2）欲證明CDPC=PAAB須證為此要構(gòu)造兩相似三角形，分母上的兩線段可構(gòu)成PAC，但分子上的兩條線段無法構(gòu)成三角形，故采用等量代換法，AB=BC，可將AB用BC代換得，分子上的兩線段構(gòu)成RtBCD，與鈍角PAC不相似。再由CD=AD，可用AD代換CD，得可得PDAPBC，于是兩次應(yīng)用等量代換，便構(gòu)成兩相似三角形，使結(jié)論得證。證明：（1）因為BDAC于E所以故AD=CD，AB=BC（等弦對等?。?）連結(jié)AD，在PDA和PBC中，P為公共角，ADP=ABC（圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角），故PDAPBC將AD=CD，BC=AB代入上式得CDPC=PAAB（證畢）例5 （2002年鄂州市中考題）如圖5所示，在圓O的內(nèi)接等邊三角形ABC中，經(jīng)過A點的弦與弦BC和分別交于點D和P，連結(jié)PB、PC。求證：。圖5分析：本題所求證的結(jié)論是關(guān)于線段長度乘積的多項式，涉及6條線段，故須采用等量代換法進行化簡，最后納入等積變比例，構(gòu)造相似形的思路解決。證明：因為，在APC和BPD中，