常用放縮方法技巧

1、常用放縮方法技巧Prepared on 22er 2020常用放縮方法技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性， 能全而而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好 素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī) 律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種:添加或舍去一些項(xiàng)，如：j同:將分子或分母放大（或縮?。﹍a 3+ la S.十” 4利用基本不等式，如：Ig3lg5<（q工）2=ig而VigJid = ig4：22二項(xiàng)式放縮：2, =（1 + 1尸=C

2、：+C： + + C2tC：+C： = + 1,2n >C；+q+C; = 一" + 22" > 1）（/? > 2）利用常用結(jié)論："I . _L 的放縮：?<3<一?y/k«+Jk +1 2y/k 尿+二-1II. L的放縮（1） :（程度大）k-k（kl） k2 k（k-l）此4的放縮：M!（，+，）（程度?。﹌k k -l 僅 + 1）儀一1） 2 A-l 4 + IIV. _L的放縮（3） ： L<q = 2（'+）（程度更?。?k2k2 必2 12k- 2k + lV .分式放縮還可利用真（假）分?jǐn)?shù)的

3、性質(zhì)：2>婦?“>0）和與士 a u + ma a + m記憶口訣“小者小,大者大”。解釋:看6,若6小,則不等號是小于號,反之亦然.VI .構(gòu)造函數(shù)法 構(gòu)造單調(diào)函數(shù)實(shí)現(xiàn)放縮。例：/（x） = -（a >0）,從而實(shí)現(xiàn)利用函數(shù)單調(diào)性 1+X質(zhì)的放縮：f（a+b）<f（a+b）o-先求和再放縮例1. an =!一-,前n項(xiàng)和為Sn ,求證：<111 （ +1）例2.冊=（；）",前n項(xiàng)和為Sn ,求證：“<； JN先放縮再求和(-)放縮后裂項(xiàng)相消a _(_ s < e例3 ,數(shù)列伽也 ”一 ，其前項(xiàng)和為力，求證：2(-)放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。例

4、 4.色)滿足：仇 1 也+i = bn2-(n-2)bn + 3(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：勾之_ 1 , 1, 1 1 1Tn =11H. HT < (2)3 + 4 3 + & 3 + 仄 3 + 4,求證2三、裂項(xiàng)放縮例5.(1)求里“J的值;例6.求證："¥*71+r > (H > 2)(2n-l)2 6 2(2+ 1)求證:4 16 364 工 2 4(3)求證：2(、信-1)<1 + 4= + 工 + +,<寸2(771 1)y/2 J3 6例7.求證:-g金+ 、1+.+<3( + 1乂2 + 1)4 9. 3例8已知

5、/ = 4” - 2,，工=z>求證：£ +4+4+( < 二“6+外 + + ,內(nèi)-2四、分式放縮姐妹不等式心 > "+ "I (b> a > O./k > 0)和七 < "+ 叫(a >h>Q. m > 0)a a + ma a + m記憶口訣”小者小，大者大”解釋:看4若8小,則不等號是小于號,反之亦然.例9.姐妹不等式:(i+i)(i+3(i+，)(i+!)>而不和35 2n-ld . , d. 1也可以表示成為246 In yflnTl2-4-6-2/IJO 1 - 3 5 (2

6、n - 1)11.35(2n-l)2462n%/2/t + l例 10.證明：(1 +1)(1 + -)(1+1) - (1 + !)>例，+ L473 - 2五、均值不等式放縮工 手例1L設(shè)s“ =42+"3+.+，（+1）.求證"包例12.已知函數(shù)p）= _L, ”0,b0,若,，且/在10，1上的最大值為。，l + u-26152求證：/+/（2）+ +/（）+T六、二項(xiàng)式放縮2n =(i + ir Y + c： + +禺，2w>c； + c,!=/t + i,2“*+C：+C： =例 13.設(shè) >G如 + + 2 2n >n(H-lXn>2)(n +1X + 2)例14.勺=23” ,試證明：.，<2_ + _1+.+，J4/?+ 2/ a2 aK 4七、部分放縮（尾式放縮）例15 .求證：JL_3+1 3x2+13-2nH+l 7例應(yīng)設(shè)+3八、函數(shù)放縮例17.求證：吧+歸+吧+234In 3內(nèi)f 5+ 6 /*,、<3"-(neN )6例電求證：a*.叱+叱3aln° 2，/一一1,、小+ +<(n > 2)M 2(n + l)例 19-求證:！ + + !<皿 + 1)<