卡爾曼濾波器輕松入門

1、卡爾曼濾波輕松入門卡爾曼濾波是一種高效率的遞歸濾波器（自回歸濾波器 ）, 它能夠從一系列的不完全包含噪聲的測(cè)量中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。簡單來說，卡爾曼濾波器是一個(gè)“ optimal recursive data processing algorithm （最優(yōu)化自 回歸數(shù)據(jù)處理算法） ”。對(duì)于解決很大部分的問題， 他是最優(yōu)， 效率最高甚至是最有用的。他 的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過 30 年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷 達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別，圖像分割， 圖像邊緣檢測(cè)等等。為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器， 這里應(yīng)用形象的描述方

2、法講解， 不像參考書那 樣羅列一大堆的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)符號(hào)。 但是，他的 5 條公式是其核心內(nèi)容。 結(jié)合現(xiàn)代的計(jì)算 機(jī)，其實(shí)卡爾曼的程序相當(dāng)?shù)暮唵危?只要你理解了他的那 5 條公式。在介紹他的 5 條公式之 前，先讓我們來根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒 定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)有上下偏差幾度。 我們把這些偏差看成是高斯白噪聲， 也就是這些偏差跟前后時(shí) 間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配。 另外， 我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)， 但是這個(gè)溫度計(jì)也 是不準(zhǔn)確的，測(cè)量值

3、會(huì)比實(shí)際值有偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系 統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值） 。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來估算 出房間的實(shí)際溫度值。假如我們要估算 k 時(shí)刻的實(shí)際溫度值。 首先你要根據(jù) k-1 時(shí)刻的溫度值， 來預(yù)測(cè) k 時(shí)刻 的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ模?所以你會(huì)得到 k 時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值是跟 k-1 時(shí)刻一樣的， 假定是 23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（ 5是這樣得到的：如果k-1 時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，你對(duì)自己預(yù)測(cè)的不確定度是4 度，他們平方相加再開方， 就是 5）

4、。然后，你從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是 25度，同時(shí)該值的偏差是 4度。由于我們用于估算 k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？究竟相信誰多一點(diǎn)，我們可以用他們的協(xié)方差（covarianee）來判斷。因?yàn)镵gA2=5A2/（5A2+4A2），所以Kg=0.78，我們可以估算出 k時(shí)刻的 實(shí)際溫度值是： 23+0.78*（25-23）=24.56 度?？梢钥闯?，因?yàn)闇囟扔?jì)的 covariance 比較小（比 較相信溫度計(jì)） ，所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到 k 時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入

5、k+1 時(shí)刻，進(jìn)行新的最 優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入k+1 時(shí)刻之前，我們還要算出 k 時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值（ 24.56 度）的偏差。算法如下： （1-Kg）*5A2）A0.5=2.35 。這 里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè) 23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻 以后 k 時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的 3）。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把 covariance 遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，而且它只保留了上一時(shí)刻的covarianee。上面的 Kg，就是卡爾曼增益(KalmanGain)。他可以隨不同的時(shí)刻而

6、改變他自己的值。Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。涉及一些基本的概念知識(shí)，包括概率( Probability )，隨機(jī) 變量(Random Variable)，高斯或正態(tài)分配( Gaussian Distribution )等。首先，要引入一個(gè)離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個(gè)線性隨機(jī)微分方程來描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系統(tǒng)的測(cè)量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃?。Z(k)是k時(shí)刻的測(cè)量值，H是測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)于多測(cè)量系統(tǒng)，H為矩陣。W(

7、k)和V(k)分別表示過程和測(cè)量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪 聲，他們的協(xié)方差(covarianee )分別是Q, R (這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變 化)。對(duì)于滿足上面的條件 (線性隨機(jī)微分系統(tǒng),過程和測(cè)量都是高斯白噪聲 ) ,卡爾曼濾波器 是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來用他們結(jié)合他們的 covariances 來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出 (類似上一節(jié)那個(gè)溫度的例子) 。首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型,來預(yù)測(cè)下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k,根據(jù)系統(tǒng)的模型,可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預(yù)測(cè)出現(xiàn)在狀態(tài)：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) . (1)式中，X(k|k-1

8、)是利用上一狀態(tài)預(yù)測(cè)的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量,如果沒有控制量,它可以為0。到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對(duì)應(yīng)于X(k|k-1)的covarianee還沒更新。我們用 P 表示 covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A ' +Q (2)式中，P(k|k-1)是 X(k|k-1)對(duì)應(yīng)的 covarianee, P(k-1|k-1)是 X(k-1|k-1)對(duì)應(yīng)的 covarianee, A'表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的covarianee。式子1, 2就是卡爾曼濾波器 5個(gè)公式 當(dāng)中的前

9、兩個(gè)，也就是對(duì)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測(cè)結(jié)果, 然后我們?cè)偈占F(xiàn)在狀態(tài)的測(cè)量值。 結(jié)合預(yù)測(cè)值和 測(cè)量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k)的最優(yōu)化估算值X(k|k):X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)(3)其中 Kg 為卡爾曼增益 (Kalman Gain) ：Kg(k)= P(k|k-1) H '/ (H P(k|k-1) H '+ R) (4)到現(xiàn)在為止， 我們已經(jīng)得到了 k 狀態(tài)下最優(yōu)的估算值 X(k|k) 。但是為了要另卡爾曼濾波 器不斷的運(yùn)行下去直到系統(tǒng)過程結(jié)束，我們還要更新 k 狀態(tài)下 X(k|k) 的 covaria

10、nce：P(k|k)= (I-Kg(k) H ) P(k|k-1) (5)其中I為1的矩陣，對(duì)于單模型單測(cè)量，1=1。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入k+1狀態(tài)時(shí)，P(k|k)就是式子 的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自回歸的運(yùn)算下去?？柭鼮V波器的原理基本描述了，式子 1， 2， 3， 4和 5就是他的 5 個(gè)基本公式。根據(jù) 這 5 個(gè)公式，可以很容易的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的程序。這里舉一個(gè)簡單的例子來說明卡爾曼濾波器的工作過程。把房間看成一個(gè)系統(tǒng)， 然后對(duì)這個(gè)系統(tǒng)建模。 房間的溫度是跟前一時(shí)刻的溫度相同的， 所以 A=1 。沒有控制量， 所以 U(k)=0。 因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1) .

11、(6)式子( 2)可以改成：P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q (7)因?yàn)闇y(cè)量的值是溫度計(jì)的，跟溫度直接對(duì)應(yīng)，所以H=1。式子3, 4, 5可以改成以下：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1) (8)Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) (9)P(k|k)= (1-Kg(k) ) P(k|k-1) (10)現(xiàn)在模擬一組測(cè)量值作為輸入。假設(shè)房間的真實(shí)溫度為 25度,模擬 200個(gè)測(cè)量值,這 些測(cè)量值的平均值為 25度,但是加入了標(biāo)準(zhǔn)偏差為幾度的高斯白噪聲。為了令卡爾曼濾波器開始工作，需要告訴卡爾曼兩個(gè)零時(shí)刻的初始值，是X(

12、0|0)和P(0|0)。他們的值不用太在意，隨便給一個(gè)就可以了，因?yàn)殡S著卡爾曼的工作，X會(huì)逐漸的收斂。但是對(duì)于 P, 般不要取 0,因?yàn)檫@樣可能會(huì)令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0)是系統(tǒng)最優(yōu)的,從而使算法不能收斂。選取 X(0|0)=1 度, P(0|0)=10。該系統(tǒng)的真實(shí)溫度為 25 度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優(yōu)化 結(jié)果(該結(jié)果在算法中設(shè)置了Q=1e-6 ，R=1e-1 )。附 matlab 下面的 kalman 濾波程序：clearN=200;w(1)=0;w=randn(1,N)x(1)=0;a=1;for k=2:N;x(k)=a*x(k-1)+w(k-1)

13、;endV=randn(1,N);q1=std(V);Rvv=q1.A2;q2=std(x);Rxx=q2.A2;q3=std(w);Rww=q3.A2;c=0.2;Y=c*x+V;p(1)=0;s(1)=0;for t=2:N;p1(t)=a42*p(t-1)+Rww;b(t)=c*p1(t)/(c.A2*p1(t)+Rvv);s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1);p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);endt=1:N;plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');function x,

14、 V, VV , loglik = kalman_filter(y, A, C, Q, R, init_x, init_V , varargin) % Kalman filter.% x, V, VV, loglik = kalman_filter(y, A, C, Q, R, init_x, init_V, .)% INPUTS:% y(:,t) - the observation at time t% A - the system matrix% C - the observation matrix% Q - the system covariance% R - the observati

15、on covariance% init_x - the initial state (column) vector% init_V - the initial state covariance% OPTIONAL INPUTS (string/value pairs default in brackets)% 'model' - model(t)=m means use params from model m at time t ones(1,T) % In this case, all the above matrices take an additional final d

16、imension,% i.e., A(:,:,m), C(:,:,m), Q(:,:,m), R(:,:,m).% However, init_x and init_V are independent of model(1).% 'u' - u(:,t) the control signal at time t % 'B' - B(:,:,m) the input regression matrix for model m% OUTPUTS (where X is the hidden state being estimated)% x(:,t) = EX(:,

17、t) | y(:,1:t)% V(:,:,t) = CovX(:,t) | y(:,1:t)% VV(:,:,t) = CovX(:,t), X(:,t-1) | y(:,1:t) t >= 2% loglik = sumt=1T log P(y(:,t)% If an input signal is specified, we also condition on it:% e.g., x(:,t) = EX(:,t) | y(:,1:t), u(:, 1:t)% If a model sequence is specified, we also condition on it:% e.

18、g., x(:,t) = EX(:,t) | y(:,1:t), u(:, 1:t), m(1:t)os T = size(y);ss = size(A,1); % size of state space% set default paramsmodel = ones(1,T);u = ;B = ;ndx = ;args = varargin;nargs = length(args);for i=1:2:nargsswitch argscase 'model', model = argsi+1;case 'u', u = argsi+1;case 'B&

19、#39;, B = argsi+1;case 'ndx', ndx = argsi+1;otherwise, error('unrecognized argument ' args)endendx = zeros(ss, T);V = zeros(ss, ss, T);VV = zeros(ss, ss, T);loglik = 0;for t=1:Tm = model(t);if t=1%prevx = init_x(:,m);%prevV = init_V(:,:,m);prevx = init_x;prevV = init_V;initial = 1;elseprevx = x(:,t-1);prevV = V(:,:,t-1);initial = 0;endif isempty(u)x(:,t), V(:,:,t), LL, VV(:,:,t) = .kalman_update(A(:,:,m), C(:,:,m), Q(:,:,m), R(:,:,m), y(:,t), prevx, prevV , 'initia