排列組合解題技巧大全

1、排列組合解題技巧大全1相鄰問題并組法（相鄰元素捆綁法）題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組（當(dāng)作一個(gè)元素）參與排列.【例1 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果 A、B必須相鄰且B在A的右邊，那么不 同的排法種數(shù)有（）A. 60 種B. 48種C. 36 種D. 24 種【分析把A、B視為一人，且 B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于 4人全排列，有 A4 - 24種，【練1 6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須在一起的不同排法共有多少種？【分析將甲、乙兩人捆綁在一起視作一人，其余四人全排列共As種，甲乙兩人之間有 A；種，由分布可知 A?二240種。2. 相離問題插空法（不相鄰元素插空法）元素相

2、離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定相離的幾 個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端.【例2七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是（）A. 1440B. 3600C. 4820D. 4800【分析除甲、乙外，其余 5個(gè)排列數(shù)為 A種，再用甲、乙去插 6個(gè)空位有 A種，由分布 可知A U二3600種，故選B?！揪? 一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有 4個(gè)舞蹈，2個(gè)相聲，3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場。則節(jié)目的出場順序有多少種？【分析2個(gè)相聲，3個(gè)獨(dú)唱分6個(gè)空，把4個(gè)舞蹈放進(jìn)去是 A； , 2個(gè)相聲3個(gè)獨(dú)唱全排列 A , 由分布可知A A| = 360種。3. 捆

3、綁插空法【例3某人射擊8槍命中了 4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形不同種數(shù)有多少個(gè)？【分析無命中有4槍，分5個(gè)空，把命中 3槍連在一起的捆綁在一起，插入5個(gè)空擋有A2 = 20 ,【練3 A、B、C、D、E, 5人站成一排照相，A、B必須相鄰，但 A、B都不與C相鄰，貝U 不同的站法有多少種？【分析A、B捆綁在一起有 A；種在把D、E位置定下有 A；種，D、E分3個(gè)空，將A、B、C插 入3個(gè)空中有 A種，由分布可知共有 A A 識(shí)；=24種。4 定序冋題縮倍法在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法.【例4】A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果B必須站A的右邊

4、（A、B可不相鄰），那么不同的排法種數(shù)有（）A 24 種B 60 種C. 90種D 120 種【分析】B在A右邊與B在A左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，1 5即一A5 =60種，故選B。2【練4 7人排對，其中甲、乙、丙三人順序一定，有多少種不同的排法？【分析】7人全排列去掉甲、乙、丙三人全排列，即A / A； = 840種。【例5 某天課程表安排語文，數(shù)學(xué)，英語，歷史，地理，政治各一節(jié)。要求英語在數(shù)學(xué)前面，數(shù)學(xué)在語文的前面。求共有多少種不同的排法？【分析先不考慮限制條件，6節(jié)課全排列有 A；種，而歷史，政治，地理三節(jié)不固定順序有A種，而英語，數(shù)學(xué)，語文三節(jié)順序固定，

5、所以由A： / A；二120種?！揪?信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號(hào)，現(xiàn)有3面紅旗，2面白旗，把這5面旗都掛上去可表示不同的信號(hào)種數(shù)為多少種？【分析3面紅旗2面白旗分別全排列，只能做一次掛法，所以a| / A；二10種。5 標(biāo)號(hào)排位問題分步法把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.【例6將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標(biāo)號(hào)為1, 2, 3, 4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方 格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A 6種B 9種C 11 種D 23種【分析先把1填入方格，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的

6、對應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3X3X1 = 9種填法，故選B 【練6同室4人寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀卡，則四張卡不 同的分配方式有多少種？【分析同上，3X 3X 1 = 9種6 有序分配問題逐分法有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法.【例7有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需 1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這9三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有（A . 1260 種B. 2025種C. 2520 種D. 5040種【分析】先從10人中選出2個(gè)承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下8個(gè)中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任

7、務(wù)，第三步從另外7人中選1個(gè)承擔(dān)兩項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有c!0c8c7 = 2520 種，故選 C。7.多元問題分類法元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì).【例8】由數(shù)字0, 1 , 2, 3, 4, 5組成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A . 210 個(gè)B. 300個(gè)【分析】【練8】C. 464 個(gè)D. 600 個(gè)按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是 0, 1, 2, 3, 4共5種情況，分別有 A個(gè)，A4 A3 A3 個(gè),a3a3 a3個(gè)，a2a3 A33個(gè)，個(gè)，由分類可知共有 300個(gè)。故選B。從1 , 2, 3, 100這10

8、0個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種?【分析】被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，它們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被 7整除的數(shù)的集合記作A，貝y A = 7, 14,98共有14個(gè)元素，不能被7整除的數(shù)的集合 A =1 , 2, 99, 100共有86個(gè)元素，由此可知，從A中任取兩數(shù)的取法，共有 C：種從A中任取一個(gè)數(shù)又從 A中任取一個(gè)數(shù)的取法，共有【例9】C14 C&6 種，兩種情形共得符合要求的取法有C14 - CuC86二1295種。100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計(jì)順序）

9、有多少？ 有多少種不同參賽方法?【分析】將1= 1 ,2, ,100分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A = 4, 8,100;被4除余1的數(shù)集B = 1 , 5,，97;被4除余2的數(shù)集為C = 2,6,98;被4除余3的數(shù)集為D = 3, 7,99 個(gè)元素；從 A中任取兩個(gè)數(shù)符合要求；從，易見這四個(gè)集合，每一個(gè)都含B、D中各取一個(gè)數(shù)的取法也符合要求；從25中任取兩個(gè)數(shù)的取法同樣符合要求；此外其它取法都不符合要求。由此即可得符合要求的取法共有 C225 C15 c25 C；5 =1325 種。8.交叉問題集合法某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(A U B) =

10、 n(A) + n(B)n(A n B)【例10】從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4X 100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共【分析】設(shè)全集1= 6人中任取4人參賽的排列, A =甲第一棒的排列,B =乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：n（l ） n（A） n（B） n（A B） = A4 - 岸 - A" a4" = 2529 定位問題優(yōu)先法某個(gè)（或幾個(gè)）元素要排在指定位置，可先排這個(gè) （幾個(gè)）元素，再排其他元素.【例11】1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有種.【分析】老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)位置，有A

11、；種，然后4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A：種,由分布可知共有 A" a4 = 72種?！揪?1】7種不同的花種種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆， 問有多少種不同的種法？【分析】兩種葵花不在中間和兩端，那就是在4個(gè)花盆里種有 A種，剩下的全排列 A，由分布可知共有 A A； "440種。10 多排問題單排法把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理.【例12】6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（）B. 120C. 720D. 1440.【分析】前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可視為6個(gè)不同元素排成一排，共有 A

12、6=72O種【練12】8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？【分析】看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A2種，某1個(gè)元素在后半段四個(gè)位置中選一個(gè)，有 A1種，其余5個(gè)元素任意在剩余的 5個(gè)位置上有 A種，有分布可知 故共有 A；A； = 5760 種。11. “至少”問題間接法含至多”，至少”的排列組合問題，是需要分類的問題?？捎瞄g接法，即排除法（總體去 雜），但僅適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況?！纠?3】從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出 3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不 同取法共有（）B .

13、80 種A . 140 種C. 70 種D . 35 種【分析】 逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同取法共有c93 c4 c； =70種，故選c?！揪?3.1】從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同工作，若這3人中至少有一名女生，則選派方案有多少種？【分析】 從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案有a7 - A3 = 186種?！揪?3.2】從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取 3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同F(xiàn)23 D.24179A.B.C.c5C C 3C1044120【分析】可從對立面考慮，即

14、三張價(jià)格均不相同，12. 選排問題先取后排法（排列組合混合）從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法.【例14】四個(gè)不同的球放入編號(hào)為 1, 2, 3, 4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有 種?【分析】 先去四個(gè)球中的二個(gè)為一組，另兩組各一個(gè)球的方法有C：種，然后在排，在四個(gè)盒中每次排三個(gè)有 A43種，有分布可知共有 c2 A43 =144種?！揪?4】有5個(gè)不同的小球，裝入 4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球共有多少種不同的裝 法？【分析】第一步，從5個(gè)球中選出二個(gè)球裝在一個(gè)盒內(nèi)有C；種，第二步，這四個(gè)盒子的球全排列有A：種，由分布可知 C； A - 240種

15、?！纠?5】9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男 5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組 法？【分析】先取男、女運(yùn)動(dòng)員各二名，有C；C：種，這四名運(yùn)動(dòng)員混雙練習(xí)有A種排法，由分布可知共有C；C：=120種分組法?！揪?5】一個(gè)班有6名戰(zhàn)士，其中正，副班長個(gè)一名，現(xiàn)從中選四人完成四種不同的任務(wù)，每人完 成一種任務(wù)，且正，副班長有且只有1人參加，則不同的選法有多少種？【分析】從正，副班長選1人有C；種，從剩下4人種選3人有C43種，這四人全排列有 A：種，由 分布可知共有c2 C：人：=192種。13. 部分符合條件問題排除法在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求.

16、【例16】以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（）B . 64 個(gè)D. 52 個(gè)A . 70 個(gè)C. 58 個(gè)【分析】正方體8個(gè)頂點(diǎn)，從中每次去四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成 c8個(gè)四面體，但 6個(gè)表面和6個(gè)對角 面的四個(gè)頂點(diǎn)共面不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C； - 12 =58個(gè)，故選C。【練16】正六邊形中心和頂點(diǎn)共 7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有 個(gè).【分析】7個(gè)點(diǎn)中取三個(gè)點(diǎn)的取法有C；種，但有三組三點(diǎn)共線不能構(gòu)成三角形，故所求三角形有3C7 -3 = 32 個(gè)。14. 元素相同分配問題隔板法【例17.1】有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，再分給 6個(gè)班，每個(gè)班至少一個(gè)人，有多少種分配方案？【分析】6

17、個(gè)班分10個(gè)名額，用5個(gè)隔板將6個(gè)班隔開，將10個(gè)名額并成一排，名額之間有9個(gè)空，將5個(gè)隔板插入9個(gè)空中，每一種插法對應(yīng)一種分配方案，共有C； = 126種?！揪?7.1】8個(gè)相同的球裝進(jìn)5個(gè)盒中，每盒至少裝一個(gè)，有多少種方法？【分析】5個(gè)盒裝8個(gè)球進(jìn)，用4個(gè)隔板將5個(gè)盒子隔開，將 8個(gè)球并成一排，球之間有7個(gè)空，將4個(gè)隔板插入7個(gè)空內(nèi)，每一種插法對應(yīng)一種裝法，共有C； =35種?！揪?7.2】某中學(xué)準(zhǔn)備組建一個(gè) 18人的足球隊(duì)，這 18人有高一年級10個(gè)班的學(xué)生組成，每個(gè)班 至少一個(gè)，名額分配方案有多少種？【分析】10個(gè)班分18個(gè)人，用9個(gè)隔板將10個(gè)班隔開，將18個(gè)人并成一排，人之間有17

18、個(gè)空，將9個(gè)隔板插入17個(gè)空中，每一種插法對應(yīng)一種分配方案，共有C；7 = 78540種。15. 環(huán)排問題用線排策略【例18】5人圍桌而坐，共有多少種坐法？【分析】先固定一人，其余 4人全排列，共有 A：二24種?！揪?8】一個(gè)鑰匙環(huán)上有6把鑰匙，現(xiàn)將一把鑰匙插入環(huán)中，有多少種排法？【分析】6把鑰匙在環(huán)上分為6個(gè)空，選一個(gè)空有 C6 = 6種?！揪?8】7個(gè)人分兩排照相，前一排 3人，后一排4人，其中甲乙不能相鄰，丙丁必須相鄰，問有 多少種排法？【分析】把兩排看成一排，甲乙不相鄰，則將7個(gè)人分成8個(gè)空，將甲乙插入有 C；種，將7人分成兩組，在將丙丁捆綁一起有C；種，其余3人全排列有 A種，由分布可知2123C8C2A2A3 = 672 種16. 平均分組問題【例19】北京財(cái)富全球論壇期間，其高校有14個(gè)志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一個(gè)