電磁導(dǎo)軌類問題知識詳解例題類析

1、電磁導(dǎo)軌類問題知識詳解例題類析電磁導(dǎo)軌問題涉及力學(xué)、功能關(guān)系、電磁學(xué)等一系列基本概念、基本規(guī)律和科學(xué)思維方法。分清不同 性質(zhì)的導(dǎo)軌，熟悉各種導(dǎo)軌中導(dǎo)體的運動性質(zhì)、能量轉(zhuǎn)化特點和極值規(guī)律，對于吃透基本概念，掌握基本 規(guī)律，提高科學(xué)思維和綜合分析能力，具有重要的意義。發(fā)電式導(dǎo)軌的基本特點和規(guī)律如圖1所示，間距為I的平行導(dǎo)軌與電阻 R相連，整個裝置處在大小為 B、垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強 磁場中。質(zhì)量為 m、電阻為r的導(dǎo)體從靜止開始沿導(dǎo)軌滑下，已知導(dǎo)體與導(dǎo)軌的動摩擦因數(shù)為。導(dǎo)體為發(fā)電邊，與電源等效。當(dāng)導(dǎo)體的速度為2 安培力的特點v時，其中的電動勢為 E二 Blv安培力為運動阻力，并隨速度按正比規(guī)律增大

2、。FbBlvBII =BR + r2. 2B I voc vR r53 加速度特點加速度隨速度增大而減小，導(dǎo)體做加速度減小的加速運動。2 2mg sin 日-4mg cos 日-a =4兩個極值的規(guī)律 當(dāng)V =0時，F(xiàn)b=0，加速度最大為 am =g(si-cosRF = 0，速度最大。根據(jù)平衡條件有mgsin： - 'mgcos2|2B l vm-，所以,(R r)mg(sin- cos )(R r)最大速度為vB I5.勻速運動時能量轉(zhuǎn)化規(guī)律當(dāng)導(dǎo)體以最大速度勻速運動時，重力的機械功率等于安培力功率(即電功率)和摩擦力功率之和，并均到 達(dá)最大值。=mgvm sin 二Pg =Pf +

3、Pf <Pf二 F-v- “mEmPf=Jmgvm cos當(dāng)=o時，重力的機械功率就等于安培力功率，也等于電功率，這是發(fā)電導(dǎo)軌在勻速運動過程中，最基本的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律。mgv-sin =F-v- F-E-(R r)電動式導(dǎo)軌的基本特點和規(guī)律如圖2所示，間距為I的平行導(dǎo)軌水平放置，與電動勢為E、內(nèi)阻為r的電源連接，處在大小為 B方向豎直向上的勻強磁場中。當(dāng)電路閉合時，質(zhì)量為m、電阻為R的導(dǎo)體從靜止開始沿導(dǎo)軌運動，與導(dǎo)軌的動摩擦因數(shù)為- O導(dǎo)體為電動邊，與反電動勢用電器（電動機）等效。2 安培力的特點安培力為運動動力，并隨速度增大而減小。Fb = BII = B（E 三反 I =R +

4、rR + r3 加速度特點FB kmg加速度隨速度增大而減小，導(dǎo)體做加速度減小的加速運動。a m4 兩個極值的規(guī)律當(dāng)v =0時，E反 =0，電流、安培力和加速度最大且分別為，F(xiàn)m二 BJI_ Fm -、mgmE 一 BMm，f .= Bl i Iinmin 這就是大型電動機啟動時，為了防止電流過大而燒壞繞組線圈時串聯(lián)啟動電阻的原因 當(dāng)a = 0時，二.F = 0，速度最大，電流最小，安培最小。根據(jù)平衡條件有丄mg二Fmin二Bl min丨二B 1，所以最大速度為R + rvmE -一r）。當(dāng)丄=0時，vm ，即E = Blvm = E反，這時電路中電流為零。Bl B2|2Bl5.勻速運動時的能

5、量轉(zhuǎn)化規(guī)律當(dāng)導(dǎo)體以最大速度勻速運動時，電源功率等于導(dǎo)體的機械功率（即安培力功率）、焦耳熱功率和摩擦力功率之和。IminE二Imin E反 Imin2（R r）mgvm。當(dāng)=°時，電源功率等于導(dǎo)體的機械功 率和焦耳熱功率之和，這是電動式導(dǎo)軌在勻速運動過程中，最基本的能量轉(zhuǎn)化和守恒規(guī)律。2Imin E = lmin E反-Imin （R r）。式中導(dǎo)體的機械功率等于反電動勢功率，即安培力功率，也可以定量地證明如下：PjI min E反I minBIVm 二 FmmVm雙動式發(fā)電導(dǎo)軌的基本特點和規(guī)律f作用下，以速如圖2所示，間距為|的光滑平行導(dǎo)軌水平放置，處在大小為B、方向豎直向上的勻強磁

6、場中。質(zhì)量均為m、電阻均為r的兩根導(dǎo)體分別在平行導(dǎo)軌方向的兩個大小相等、方向相反的水平拉力度v向左右兩側(cè)反向勻速運動1 電路特點' E _ 2BIv _ BlvR 2r r兩導(dǎo)體反方向（相向或背向）運動，均為發(fā)電邊，與兩個同樣的電源串聯(lián)等效。2.回路中電動勢和電流的計算根據(jù)歐姆定律，電動勢和電流分別為二E =2E =2Blv3拉力和安培力的特點和計算拉力為動力，安培力為阻力；在勻速運動的條件下，兩者為平衡力BlvB2I2vF 二 Fb 二 BII 二 B l rr4.拉力的機械功率、安培力功率和電動率的計算在勻速運動的條件下，拉力的機械功率、安培力功率和電功率的大小均相等，即P=2Fv

7、=2Fb八皿二込二r2rR5在兩導(dǎo)體間距離增加L的過程中，產(chǎn)生的焦耳熱和感應(yīng)電量的計算根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律，在勻速運動的過程中，兩拉力反抗安培力做的功，等于電路中產(chǎn)生的焦耳熱。2F L .QF - L2 (送 E)2Ptt2rB2|2v.丄所以，產(chǎn)生的焦耳熱為B 2121 IB 1 v 。這一結(jié)果，還可以根據(jù)下列的方法計算r2v' E 二 2Blv2r2v而通過導(dǎo)體的感應(yīng)電量為丄Bl .丄2v2rB雙動式綜合導(dǎo)軌的基本特點和規(guī)律R的導(dǎo)如圖4所示，寬為l的光滑平行導(dǎo)軌的水平部分處于方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場中。質(zhì)量為 m、電阻為r的導(dǎo)軌從高h(yuǎn)處由靜止開始滑下，而且與原來靜止的水平

8、軌道質(zhì)量為M、電阻為體始終沒有碰撞。電路特點兩導(dǎo)體同方向運動，開始電動勢較大的為發(fā)電邊，與電源等效；電動勢較小的為電動邊，與電動機等效。 電流特點導(dǎo)體m進(jìn)入磁場后，開始切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，并在回路中形成感應(yīng)電流；同時，在安培力的 作用下，導(dǎo)體 M液同方向運動，產(chǎn)生反電動勢。根據(jù)歐姆定律，電路中的電流可以表示為Blvm BIvm Bl (vm Vm )R rR rV =(Vm -Vm )減小而減?。寒?dāng)相對速度最大，即Vm 二 Vm 二 V 時，I =0。安培力特點 安培力對發(fā)電邊為阻力，對電動邊為動力；在軌道寬度不變的條件下，兩安培力的大小相等，方向相反，2 2即矢量和為零。安培力的大小

9、可以表示為FB = BII = B一一二(vm - vM )。所以，安培I一-一 一- (vm -vM )。所以，電流隨兩導(dǎo)體的相對速度Vm = 0時，I = I m ；當(dāng)相對速度為零,力也隨兩導(dǎo)軌的相對速度 v = (v -vM )減小而減小。當(dāng)相對速度最大，即vM =0時，F(xiàn)b = Fm ；當(dāng)相對速度為零，即 Vm = Vm = v時，F(xiàn)b =0。加速度特點在同樣大小的安培力作用下，發(fā)電邊做加速度減小的減速運動，電動邊做加速度減小的加速運動；兩導(dǎo)體F 1的加速度之比為恒量，并與質(zhì)量成反比。根據(jù)牛頓第二定律得a 旦，所以加速度之比為m mamM 。aMm速度極值根據(jù)機械能守恒定律，發(fā)電邊進(jìn)入

10、水平導(dǎo)軌時速度最大為Vmax = Vo = . 2gh，當(dāng)兩者達(dá)到共同速度時，發(fā)電邊的速度達(dá)到最小值，電動邊的速度達(dá)到最大值。根據(jù)系統(tǒng)動量守恒，所以最終速度的極值就是兩者的共同速度。mvo = (m M )v，vmVo(m M )全過程系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量當(dāng)相對速度為零，即 vm =vM =v時，電流為零，回路不再消耗電能 一一兩導(dǎo)體開始以共同速度 V勻速一 一 1 2運動。根據(jù)全過程中能量轉(zhuǎn)化和守恒定律，有mgh (m M )v2 Q。所以，全過程系統(tǒng)產(chǎn)生的2熱量為 Q = mgh -l(m M )v2 = Mmgh2m +M全過程兩導(dǎo)體產(chǎn)生的熱量之比與電阻成正比根據(jù)兩導(dǎo)體串聯(lián)電路中，每時每刻通過

11、的電流相等，從而有Q = 12Rt= R，所以，全過程兩導(dǎo)體產(chǎn)生的熱量之比為QrQr R電容放電式導(dǎo)軌的基本特點和規(guī)律如圖5所示，光滑水平軌道的間距為 I，處在大小為B、方向豎直向上的勻強磁場中。導(dǎo)軌上接有電動 勢為E的電源和電容為 C的電容器，其極板間距為 d。一根質(zhì)量為 m的導(dǎo)體靜止在導(dǎo)軌上。若將單刀 然后擲于位置 2，讓電容器對導(dǎo)體放電。圏5電路特點電容器放電，導(dǎo)體為電動邊。電流特點當(dāng)電容器對導(dǎo)體放電時，導(dǎo)體在安培力的作用下開始向右運動，同時產(chǎn)生阻礙放電的反電動勢，使放電電 流減小，直到電流為零為止。運動特點導(dǎo)體在安培力作用下，先做加速度減小的加速運動；當(dāng)電流為零時，運動達(dá)到最大值，然后

12、開始做勻速運 動。勻速運動的條件電流I = 0，即導(dǎo)體的反電動勢等于電容器上的電壓。U = E反=Blvm。電容器的充電電壓為 E，放電過程中電壓降低；導(dǎo)體在加速過程中速度增大，反電動勢增大。當(dāng)導(dǎo)體中的反電動勢等于電容器的電壓 時，電路中電流為零，導(dǎo)體開始以最大速度(vm)勻速運動。最大速度的計算根據(jù)電容器的充電量為 Q0 = CE，放電結(jié)束時的電量為 Q =CU =CBIvm，所以電容器的放電量為=Q = Q0 -Q = CE -CBIvm，根據(jù)動量定理，有 mvm = ' F=t = ' Bil =t 二 Bl - Q，所以，導(dǎo)體的最大速度為vm。隨便指出，將此結(jié)果代入m

13、m+CB2l2=Q0 -Q =CE -CBIvm，還可以計算出電容器的放電量。安培力對導(dǎo)體的沖量和對導(dǎo)體作的功的計算根據(jù)動量定理和動能定理，安培力對導(dǎo)體的沖量和做的功分別為mBlCEmV(m CB2l2)12m(BlCE)2Wmvm“2(m CB2l2)電容起電場強度的計算電容器充電時的電場強度為 E0電容器放電結(jié)束時的電場強度為BlVmCB2l2E-(m CB2l2)d電容充電式導(dǎo)軌的基本特點和規(guī)律如圖6所示，寬為l的光滑豎直導(dǎo)軌， 處于此感應(yīng)強度為B、方向垂直導(dǎo)軌 平面的勻強磁場中，上端接有電容為 C的電容器。一根質(zhì)量為 m的導(dǎo)體， 從靜止開始沿導(dǎo)軌滑下。電路特點導(dǎo)體為發(fā)電邊，在加速運動過

14、程中不斷對電容器充電, 三個基本關(guān)系h*mg*電路中始終存在充電電流。在重力和安培力的作用下，導(dǎo)體的加速度可以表示為mq - FBa旦，受到的安培力可以表示為Fb = BIl，回路中的充電電流可以表示為ImCBA CBla。.譏四個重要結(jié)論結(jié)論一導(dǎo)體做初速度為零的勻加速直線運動，加速度為恒量。證明將Fb =BII和I = Q C EAt：tCBlBla 代入a _ mga 2 2。m CB l結(jié)論二電路中的充電電流恒定不變，為恒定直流。證明 將加速度a二mg 2 2m +CB l二= C b l ,a 得:tCBlmgI mg +CB2l2結(jié)論三導(dǎo)體受到的安培力為恒力CBlmg2 2 帶入 F

15、b 二 BIl， mg CB l證明將電流I得Fb2 2CB l mg 2 2m CB lC(Blv)22結(jié)論四電容器儲存的電場能等于安培力做的功。12 1 2 12證明 WF 二 FBh 二 Bll( at )=B(CBla)l( at ) C(Blat)2 2 2式中Blv二E，即導(dǎo)體的電動勢，也即電容器兩極板間的電壓。所以安培力做的功等于電容器儲存的電1 2場能 WFCE2 二 Ec。一個重要推論如圖7所示，當(dāng)電容器的電容 C =0時，電流I =0，安培力FB = 0，加速度a = g。這一結(jié)果表明：一段導(dǎo)體或者 一個閉合導(dǎo)線框，沿垂直磁場方向的磁場 內(nèi)加速運動時，導(dǎo)體中的電流和受到的

16、安培力可以忽略不計。例1如圖8所示，在間距為I的光滑的水平導(dǎo)軌上，放著兩根質(zhì)量4 B力，做加速度減小的加速均為m，電阻均為R的導(dǎo)體a和b，處于方向豎直向上、大小為B的勻強磁場中。如圖對導(dǎo)體 a加水平向右的恒力 F，試計算:導(dǎo)體a的加速度的最小值和導(dǎo)體 b的加速度的最大值； 兩導(dǎo)體最終的相對速度是多少？分析 如圖8所示，當(dāng)兩導(dǎo)體開始運動后，導(dǎo)體 a為發(fā)電邊，受到的安培力為阻 運動；導(dǎo)體b為電動邊，受到的安培力為動力，做加速度增大的加速運動。當(dāng)兩者的加速度相等時，導(dǎo)體a的加速度達(dá)到最小值，導(dǎo)體b的加速度達(dá)到最大值。以系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律，兩極值為Fa min a max2m以導(dǎo)體b為研

17、究對象，根據(jù)牛頓第二定律，安培力為FB =mamax =丄F，從而有2丄F二BII二B(BIVa BIVb)|，這時，兩導(dǎo)體的相對速度22R(Va-vb)，電路中的電流 I也恒定不14FR變。所以，兩導(dǎo)體最終的相對速度為Vab =(va _Vb)2 _b2i2例2如果上題中，導(dǎo)體 a以初速度Vo向?qū)wb運動, 且兩導(dǎo)體始終沒有接觸。試計算：(1)(2)4Bb在運動過程中產(chǎn)生的焦耳熱是多少？ 當(dāng)導(dǎo)體a的速度減少1/4時，導(dǎo)體b 的加速度是多少？如圖9所示，當(dāng)兩導(dǎo)體開始運動后，分析導(dǎo)體a為發(fā)電邊，受到的安培力為阻力，做加速度減小的減速運動；導(dǎo)體 動力，做加速度減小的加速運動。，受到的安培力為圖9(

18、1)當(dāng)兩者達(dá)到共同速度 V，即E = E反時，電路中無感應(yīng)電流，機械能不再轉(zhuǎn)化為焦耳熱。根據(jù)系統(tǒng)一 一 一 1 2 1 2動量守恒和能量守恒，有 mv0 = 2mv， mv0(2m)v2 Q，所以，產(chǎn)生的焦耳熱為2 2c 12 1 、2 12Qmv0(2m)vmv02243(2)當(dāng)導(dǎo)體a的速度減少1 / 4，即VaV0時，根據(jù)動量守恒，得mv0 = mva mvb4VbVo4這時，導(dǎo)體b所受的安培力為 FB二BII所以，這時導(dǎo)體b的加速度為ab工匸旦m(BlVa -BlVb),BI2R2| 2B I V04R2 2B I V04mR方向水平向左。例3如圖10所示，平行導(dǎo)軌寬度為I = 0.50

19、m，傾斜部分是光滑的，水平部分粗糙并處在方向豎直向上的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度為B =0.60T。兩根導(dǎo)體 A、B的質(zhì)量均為m = 0.20kg，電阻均為R =0.15門。開始導(dǎo)體B靜止在水平軌道上，導(dǎo)體 A從高h(yuǎn) = 0.05m處由靜止開始下滑。設(shè)軌道足 夠長，且兩者始終沒有接觸。試計算：AAN回路中感應(yīng)電流的最大值是多少?當(dāng)導(dǎo)體B的速度最大時，導(dǎo)體 A的加速度是多大？已知動摩擦因數(shù) =0.10 當(dāng)導(dǎo)體B的速度最大時，導(dǎo)體 A、B的相對速度是多大？解析 當(dāng)導(dǎo)體A剛進(jìn)入水平軌道，而導(dǎo)體 B仍保持靜止時，回路中感應(yīng)電動勢最大，感應(yīng)電流最大。根據(jù)機械能守恒定律，導(dǎo)體 A進(jìn)入水平軌道的速度為 v= 2

20、gh = 1m/ s，根據(jù)歐姆定律，感應(yīng)電流的最大值為| m = -L =旦匕=i oA2R 2R當(dāng)導(dǎo)體B開始運動或，產(chǎn)生反電動勢，電路中的電流開始減小，安培力減小，兩導(dǎo)體的受力如圖所示：導(dǎo)體 A做加速度減小的減速運動，導(dǎo)體 B做加速度減小的加速運動。導(dǎo)體 B的速度達(dá)到最大的條件是受到的合外力為零，即FB二f -mg，根據(jù)牛頓第二定律，這時導(dǎo)體 A的加速度可以表示為aA“mg)，所以，導(dǎo)體A的加速度為aA = 2 Lg 二 2.0m/s2。根據(jù)平衡條件，還有 阮=BII =B (B1VaB1Vb)l2R體a、b的相對速度為vAB =(vA 'VB)=-mgRB I 如圖11所示，一個質(zhì)

21、量為 m = 0.016kg的矩形線框， L = 0.5m，寬為丨=0.1 m，電阻為R = 0.11。線框例4長為從距離磁場為h = 5m高處自由下落，然后進(jìn)入一勻強磁場，且 進(jìn)入磁場時恰好做勻速運動，試計算：(1)(2)磁場的磁感應(yīng)強度是多大？ 如果測岀線框的下邊通過磁場的時間為 磁場區(qū)域的咼度是多少？ 線框剛穿岀磁場的加速度是多大？ 在線框部分進(jìn)入磁場的過程中，受到重力和安培力的作用;t =0.15s，(3)分析全部進(jìn)入磁場后，不受安培力，只受重力的作用；在部分離開 磁場的過程中，又受到安培力的作用。(1)根據(jù)機械能守恒定律，線框進(jìn)入磁場的速度為v0 = 2gh =10m/s。根據(jù)重力和

22、安培力平衡，有2, 2B I v0=BII =0Rmg，所以，磁場的磁感應(yīng)強度為B二mgR72v°l(2)間為t1線框部分進(jìn)入磁場后，L = 0.05s，V02 2Bl ()，所以，這時導(dǎo)2RhB= 0.4t。T I /先做勻速直線運動；全部進(jìn)入磁場后，作豎直下拋運動。線框勻速下落的時則豎直下拋的時間為 t2 =t -t1= 0.1s。根據(jù)豎直下拋的位移公式，有1 2H = L v0t2gt2 二 1.55m2二11m/ s，所以，這時的加速度為1 2-at2，所以，磁場區(qū)域的高度為2(3)線框剛穿出磁場的速度為vt = v0亠gt22 2 2 2mgBll mgB2l2vt/RB2

23、l 2vt2 一+=g =-1m/s，負(fù)號表示加速度方向豎直向上。mR如圖12所示，OACO為置于水平面內(nèi)的光滑閉合金屬導(dǎo)軌。O C處分尺=4，R2 =8OAC形狀滿足方程mm例5（ 2003年高考上海題）別接有短電阻絲（圖中用粗線表示），（導(dǎo)軌其他部分電阻不計），導(dǎo)軌y = 2sin（ x）（單位：m）。磁感應(yīng)強度 b=o. 2T的 3勻強磁場的方向垂直于導(dǎo)軌平面。一個足夠長的金屬棒在水平外力F作用下，以恒定的速率 v =5.0m/s水平向 右在導(dǎo)軌上從o點滑到c點，棒與導(dǎo)軌接觸良好且始終保持 與OC導(dǎo)軌垂直，不計棒的電阻。求：（1）（3）分析XXXXXXXXXFxXXXxAx冥XXBxXr

24、：XXXXXXXXXX¥XXXXXFmLm外力F的最大值；（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運動時電阻絲在滑動過程中，金屬棒的電流I與滑過點O處開始計時的時間t的關(guān)系。在閉合電路中，金屬棒有效切割長度最大時的等效電路如圖根據(jù)平衡條件，外力的最大值可以表示為B2Lm2v=Bl ml-，金屬棒的最大切割長度為R=2sin = 2m，全電路的總電阻為28。所以，外力F的最大值為3B2Lm2v-0.3N。RR上消耗的最大功率；_13所示。RR +R2Fm = BI m1 =電阻絲R消耗的最大功率為Rm(RLmV)25Pi -cm 十根據(jù)歐姆定律，金屬棒中的電流 Ie _ BLv BvR1R1與時間t的關(guān)系為Bv 二35I2sin（ x）2sin（ vt） sin（ t）A。R R R 3 R343即電流隨時間按正弦規(guī)律變化。例6如圖14所示，寬為 L