遞延年金實(shí)例

1、一、普通年金 21. 普通年金現(xiàn)值公式 2二、遞延年金 21.遞延年金現(xiàn)值公式 2三、本例的分析及解答： 3四、其他年金 4普通年金 41.終值公式 42. 年償債基金的計算（已知年金終值，求年金A ） 43年資本回收額的計算（已知年金現(xiàn)值P,求年金A ） 4即付年金 5永續(xù)年金 6五、名義利率與實(shí)際利率的換算 6六、項(xiàng)目投資決策評價指標(biāo) 61投資利潤率62靜態(tài)投資回收期7注：靜態(tài)與動態(tài)投資回收期的區(qū)別： 73凈現(xiàn)值84凈現(xiàn)值率85獲利指數(shù)96內(nèi)部收益率910某投資項(xiàng)目預(yù)測的凈現(xiàn)金流量見下表（萬元），設(shè)資金基本貼現(xiàn)率為 10%，則該項(xiàng)目的凈現(xiàn)金值為（）萬元年份012345678910各年末凈現(xiàn)

2、金流量-50060100100100100100100100100100解：本例因?yàn)樯婕暗侥杲甬?dāng)中的遞延年金，所以將年金系列一起先介紹，然后解題年金，是指一定時期內(nèi)每次等額收付款的系列款項(xiàng)，通常記作A。如保險費(fèi)、養(yǎng)老金、折舊、租金、等額分期收款、等額分期付款以及零存整取或整存零取儲蓄等等。年金按每次 收付發(fā)生的時點(diǎn)不同，可分為普通年金、即付年金、遞延年金、永續(xù)年金等。結(jié)合本例，先 介紹普通年金與遞延年金，其他的在后面介紹。一、普通年金普通年金，是指從第一期起,在一定時期內(nèi) 每期期末 等額發(fā)生的系列收付款項(xiàng),又稱后付年金。1. 普通年金現(xiàn)值公式P A (1 i)A (1i)2A (1i)(n 1

3、)A (1i)n1 (1i)式中的分式1 (1 i)稱作“年金現(xiàn)值系數(shù)”，記為（P/A，i，n）,可通過直接查閱“ 1元年金現(xiàn)值表”求得有關(guān)的數(shù)值，上式也可寫作：.2.例子：租入某設(shè)備，每年年末需要支付租金應(yīng)支付的租金總額的現(xiàn)值為：P=A（ P/A，i，n）120元，年復(fù)利利率為 10%，貝U 5年內(nèi)1201 (1 10%)10%120 3.7908 455 (元)二、遞延年金遞延年金，是指第一次收付款發(fā)生時間 與第一期無關(guān)，而隔若干期（假設(shè)為s期，s1）, 后才開始發(fā)生的系列等額收付款項(xiàng)。它是普通年金的特殊形式，凡不是從第一期開始的年金都是遞延年金。1. 遞延年金現(xiàn)值公式1 (1 i) n1

4、 (1 i) sA (P/A,i, n) (P/A,i,s)(1)(1 i) sA (P/A,i,n s) (P/F,i,s)(2)上述(1 )公式是先計算出 n期的普通年金現(xiàn)值，然后減去前s期的普通年金現(xiàn)值，即得遞延年金的現(xiàn)值，公式(2)是先將些遞延年金視為(n-s)期普通年金，求出在第s期的現(xiàn)值，然后再折算為第零期的現(xiàn)值。2例子：某人在年初存入一筆資金，存滿5年后每年年末取出1000元，至第10年末取完，銀行存款利率為 10%。則此人應(yīng)在最初一次存入銀行的錢數(shù)為：1 (1 i) n1 (1 i) sA (P/A,i, n) (P/A,i,s)1 (1 10%) 10 1 (1 10%) 5

5、10% 10%1000 (P/A,10%,10) (P/A,10%,5)=1000 X (6.1446-3.7908)2354 (元)A 1 (1 i)(ns)(1 i) sA (P/A,i,n s) (P/F,i,s)10001 (1 10%)(105)i(1 10%)10 (P/A,10%,10 5) (P/F,10%,5)=1000 X 3.7908 X 0.6209 2354 (元)三、本例的分析及解答：從表中可以看出，現(xiàn)金流量是每年年末的凈現(xiàn)金流量，從第2年開始到第10年，每年年末的凈現(xiàn)金流量相等，這符合遞延年金的定義，那么從第2年到第10年的每年年末的凈現(xiàn)金流量的現(xiàn)值要按遞延年金來

6、計算。第0年的年末凈現(xiàn)金流量為- 500,說明是第1年年初一次性投入500萬元，第1年年末的凈現(xiàn)金流量為 60萬元，按復(fù)利現(xiàn)值的公式來計算。 從本例中，建設(shè)期為 0年，經(jīng)營期為10年，年利率為10%，那么本例的投資的凈現(xiàn)值計算 為：Nt_t nNPVt 1 (1 R)R(1 R)t160 (1 10%)100 1 (1 10%)_- (1 10%) 1500i60(P/ F,10%,1)100 (P/A,10%,101)(P/ F,10%,1)500=60 X 0.9091 + 100 X 5.7590 X 0.9091-500= 578.09669-500 78.09669 (萬元)四、其他

7、年金普通年金1終值公式(1 i)n 1 i式中的分式(1 i)n 1i稱作“年金終值系數(shù)”，記作為(F/A，i，n)，可通過直接查閱“ 1元年金終值表”求得有關(guān)的數(shù)值，上式也可寫作：F=A( F/A，i，n)10%，則例：假設(shè)某項(xiàng)目在 5年建設(shè)期內(nèi)每年年末從銀行垡100萬元，借款年利率為該項(xiàng)目竣工時就付本息的總額為：1005(1 10%)510%1 = 100X( F/A ,10%,5) =100 X 6.1051=610.51 (萬元)2. 年償債基金的計算(已知年金終值，求年金 A)償債基金是指為了在約定的未來某一時點(diǎn)清償某筆債務(wù)或者積聚一定數(shù)額的資金而必 須分次等額形成的存款準(zhǔn)備金。它的

8、計算實(shí)際上是年金終值的逆運(yùn)算。i(1 i)n 1式中的分式:稱作“償債基金系數(shù)”，記為(A/F , i, n),可通過直接查閱“償(1 i)n 1債基金系統(tǒng)表”或通過年金終值系數(shù)的倒數(shù)推算出來，上式也可寫作：A=F (A/F , i, n)或者 A=F1/ (F/A , i, n)例：假設(shè)某企業(yè)有一筆 4年后到期的借款，到期值為1000萬元。若存款年復(fù)利率為10% , 則為償還該借款應(yīng)建立的償債基金應(yīng)為：A 1000=1000 X 0.2154 = 215.4 (萬元)(1 10%) 1或 A=1000 X 1/ ( F/A , 10%, 4) =1000 X (1/4.6410)=215.4

9、 (萬元)3. 年資本回收額的計算(已知年金現(xiàn)值 P,求年金A)1 (1i)式中的分式!-稱作“資本回收系數(shù)”記為記為( A/P , i, n),可通過直接查1 (1 i)閱“資本回收系統(tǒng)表”或通過年金現(xiàn)值系數(shù)的倒數(shù)推算出來，上式也可寫作：A=P( A/P，i，n)或者 A=P1/( P/A，i，n)例：某企業(yè)現(xiàn)在借得 1000萬元的貸款，在10年內(nèi)以年利率12%等額償還，則每年應(yīng) 付的金額為：100012%(萬元)市=1000 X 0.1770=1771 (1 12%) 10或 A=1000 X 1/ (P/A , 12%, 10) =1000 X (1/5.6502)=177 (萬元)即付

10、年金即付年金，是指從第一期起，在一定時期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項(xiàng)，又稱先付 年金，它與普通年金的區(qū)別僅在于付款時間的不同。1由于付款時間的不同，n期即付年金終值比n期普通年金的終值多計算一期利息。因 此，在n期普通年金終值的基礎(chǔ)上乘上(1+i)就是n期即付年金的終值。式中0(1ii)(1 i)n1 1 1 in 1.(1 I) 1i1稱作“即付年金終值系數(shù)”，它是在普通年金終值系數(shù)的基礎(chǔ)上,期數(shù)加1，系數(shù)值減1所得的結(jié)果。通常記為(F/A , i, n+1) -1,這樣，通過查閱“一元 年金終值表”得到 n+1期的值，然后減去 1便可得對應(yīng)的即付年金終值系數(shù)的值。上式也 可寫作：F=A (

11、 F/A, i, n+1) -1例：某公司決定連續(xù)5年于每年年初存入100萬元作為住房基金，銀行存款利率為10%。 則該公司在第5年末能一次取出本利和為：F= A ( F/A , i, n+1) -1=100 X ( F/A , 10%, 5+1) -1=100 X (7.7156-1)=672 (萬元)2由于付款時間的不同，n期即付年金現(xiàn)值比 n期普通年金的現(xiàn)值少折現(xiàn)一期。因此, 在n期普通年金現(xiàn)值的基礎(chǔ)上乘上(1+i)就是n期即付年金的現(xiàn)值。式中1 (11 (1i)i)n(n 1)(1 i)1 (1i)(n 1)1稱作“即付年金現(xiàn)值系數(shù)”，它是在普通年金現(xiàn)值系數(shù)的基礎(chǔ)上，期數(shù)減1,系數(shù)值加

12、1所得的結(jié)果。通常記為(P/A , i, n-1) +1，這樣，通過查閱 元年金現(xiàn)值表”得到 n-1期的值，然后加上1便可得對應(yīng)的即付年金現(xiàn)值系數(shù)的值。上式也 可寫作：P=A ( P/A, i, n-1) +1永續(xù)年金永續(xù)年金，是指無限期等額收付的特種年金， 可視為普通年金的特殊形式， 即期限趨于 無窮的普通年金。存本取息可視為永續(xù)年金的例子。 也可將利率較高、 持續(xù)期限較長的年金 視同永續(xù)年金。由于永續(xù)年金持續(xù)期無限，沒有終止時間，因此沒有終值，只有現(xiàn)值。公式為：1t i (1 i)t例：某人持有的某公司優(yōu)先股，每年每股股利為2元，若此人想長期持有，在利率為10%的情況下，請對該股票投資進(jìn)行

13、估價。這是一個求永續(xù)年金現(xiàn)值的問題，即假設(shè)該優(yōu)先股每年股利固定且持續(xù)較長時期，計算出這些股利的現(xiàn)值之和，即為該股票的估價。P=A/i=2/10%=20(元)五、名義利率與實(shí)際利率的換算當(dāng)每年復(fù)利次數(shù)超過一次時，這樣的年利率叫做名義利率，而每年只復(fù)利一次的利率才是實(shí)際利率。公式：i=(1+r/m) m-1式中：i為實(shí)際利率，r為名義利率，m為每年復(fù)利次數(shù)。例：某企業(yè)于年初存入10萬元，在年利率為10%，半年復(fù)利一次的情況下，到第10年末，該企業(yè)能得到多少本利和？依題意，P=10，r=10%， m=2， n=10則:i=(1+r/m) m-1= i=(1+10%/2) 2-仁 10.25%F=P(

14、1+i) n=10 X (1+10.25%) 10=26.53 (萬元)這種方法的缺點(diǎn)是調(diào)整后的實(shí)際利率往往帶有小數(shù)點(diǎn)，不便于查表?？梢园牙首?yōu)?r/m，期數(shù)相應(yīng)變?yōu)?m X n,則有：XF=P(1+r/m) m n=10X (1 + 10%/2) 20=10X (F/P,5%,20)=26.53 (萬元)六、項(xiàng)目投資決策評價指標(biāo)1.投資利潤率投資利潤率又稱投資報酬率 (記作ROI),是指達(dá)產(chǎn)期正常年度利潤或年均利潤占投資總額的百分比。其公式為:投資利潤率年平均利潤額投資總額100% 或ROI=P100%式中：P為一個正常達(dá)產(chǎn)年份的利潤總額；P為經(jīng)營期內(nèi)全部利潤除以經(jīng)營年數(shù)的平均數(shù)；I為投資

15、總額。2. 靜態(tài)投資回收期靜態(tài)投資回收期又叫全部投資回收期，簡稱回收期，是指投資項(xiàng)目經(jīng)營凈現(xiàn)金流量抵償NCFt原始總投資所需要的全部時間。PPmt 0NCF (m 1)式中:m為凈現(xiàn)金流量由負(fù)變正的前一年，即累計凈現(xiàn)金流量最后一項(xiàng)負(fù)值對應(yīng)的年數(shù)；mNCFt為第m年末尚未回收的投資額；NCF（m 1）為第（m+1）年的凈現(xiàn)金流量。mt 0某固定資產(chǎn)投資項(xiàng)目現(xiàn)金流量表項(xiàng)目計算期 （第 t 年）建設(shè)期經(jīng)營期合計01234510113.0凈現(xiàn)金流量-10003131312020301434.0累計凈現(xiàn)金流量-100-100-69-38-7+13+ 113+143解：因?yàn)榈?年的累計凈現(xiàn)金流量小于0，第

16、5年的累計凈現(xiàn)金流量大于0，所以m=4,靜態(tài)投資回收期（PP）=4+|-7|/20=4.35（ 年）注：靜態(tài)與動態(tài)投資回收期的區(qū)別：（1）靜態(tài)投資回收期（Pt）靜態(tài)投資回收期就是從項(xiàng)目建設(shè)期初起，用各年的凈收人將全部投資收回所需的 期限。其表達(dá)式為：Pt（CI CO）t 0t 1式中，（CI - CO ）,第t年的凈現(xiàn)金流量Pt靜態(tài)投資回收期。靜態(tài)投資回收期公式的更為實(shí)用的表達(dá)式為式中，T為項(xiàng)目各年累計凈現(xiàn)金流量首次為正值的年份數(shù)。判別準(zhǔn)則：設(shè)基準(zhǔn)投資回收期為 Po,若PtW Po,則方案可行；若Pt P。，則項(xiàng)目應(yīng)予 拒絕。動態(tài)投資回收期（Pt）動態(tài)投資回收期是在計算回收期時考慮資金的時間價

17、值。Pt其表達(dá)式為：（Cl CO）t（1 i） t 0t 1判別準(zhǔn)則：設(shè)基準(zhǔn)動態(tài)投資回收期為 T0，若Pt T。，項(xiàng)目可行，否則應(yīng)予拒絕。動態(tài)投資回收期更為實(shí)用的計算公式是I-甲豎辻回值的絕對值 嚴(yán)嚴(yán)眾卄折現(xiàn)值出現(xiàn)正值前年數(shù)J +兩碎新現(xiàn)金流的甌價3. 凈現(xiàn)值凈現(xiàn)值是指在項(xiàng)目計算期內(nèi)，按行業(yè)基準(zhǔn)收益率或其他設(shè)定折現(xiàn)率計算的各年凈現(xiàn)金流量現(xiàn)值的代數(shù)和，記作NPVn凈現(xiàn)值(NPV) NCFt ?(P/F, i c,t)t 0式中：ic為該項(xiàng)目的行業(yè)基準(zhǔn)折現(xiàn)率；(P/F,ic,t)為第t年、折現(xiàn)率i c為的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)。例：某企業(yè)擬建一項(xiàng)固定資產(chǎn)，需投資100萬元，按直線法計提折舊。 使用壽命10年

18、,期末無殘值。該項(xiàng)工程于當(dāng)年投產(chǎn)，預(yù)計投產(chǎn)后每年可獲利10萬元。假定該項(xiàng)目的行業(yè)基準(zhǔn)折現(xiàn)率為10%。則其凈現(xiàn)值計算如下：原始投資額(-NCF 0)=100萬元投產(chǎn)后每年相等的凈現(xiàn)金流量(NCF 1-10)=10+100/10=20(萬元)凈現(xiàn)值(NPV)= - 100+20 X (P/A,10%,10)=22.892(萬元)注：(1) 本題每年的凈現(xiàn)金流量中包括利潤與年折舊費(fèi)，折舊費(fèi)在會計上是作為費(fèi)用，但在 現(xiàn)金流量中是企業(yè)的現(xiàn)金流入量。(2) 凈現(xiàn)值公式中用到了普通年金現(xiàn)值公式，因?yàn)楸绢}的情況就是普通年金現(xiàn)值的情形。在求凈現(xiàn)值時會因情況的不同要用到不同的現(xiàn)值公式，但都可以用P=F(P/F,i

19、, n) 公式直接求得，雖然計算起來比較麻煩。4. 凈現(xiàn)值率凈現(xiàn)值率是指投資項(xiàng)目的凈現(xiàn)值占原始投資現(xiàn)值總和的百分比指標(biāo)(記作NPVR。計算公式：凈現(xiàn)值率=(投資項(xiàng)目凈現(xiàn)值/原始投資現(xiàn)值)X 100%NPVRNPV100%式中:NCFtiC) t為原始投資現(xiàn)值NCFttiC )合計例：某企業(yè)擬建一項(xiàng)固定資產(chǎn)，建設(shè)期為一年，建設(shè)資金分別于年初、年末各投入50萬元，按直線法計提折舊。使用壽命10年，期末無殘值。該項(xiàng)工程于當(dāng)年投產(chǎn)，預(yù)計投產(chǎn)后每年可獲利10萬元。假定該項(xiàng)目的行業(yè)基準(zhǔn)折現(xiàn)率為10%。則其凈現(xiàn)值率計算如下：解：凈現(xiàn)值(NPV)= - 50- 50X (P/F,10%,1)+20 X (P/

20、A,10%,11)-(P/A,10%,1)=16.265(萬元) 原始投資現(xiàn)值=|- 50 - 50 X (P/F,10%,1)|=95.455(萬元) 凈現(xiàn)值率(NPVR)=(16.265/95.455) X 100% 17.04%5. 獲利指數(shù)獲利指數(shù)又被稱為現(xiàn)值指數(shù)(記作PI)，是指投產(chǎn)后按行業(yè)基準(zhǔn)收益率或設(shè)定折現(xiàn)率折算的各年凈現(xiàn)金流量的現(xiàn)值合計與原始投資的現(xiàn)值合計之比。nNCFt?(P/F,ic,t)獲利指數(shù)(PI)NCFt?(P/F,ic,t)為投產(chǎn)t s 14，式中:sNCFt?(P/F,ic,t)t 0后各年凈現(xiàn)金流量的現(xiàn)值合計。當(dāng)原始投資在建設(shè)期內(nèi)全部投入時，獲利指數(shù)PI與凈現(xiàn)值率NPVR有如下關(guān)系:獲利指數(shù)(PI)=1+凈現(xiàn)值率(NPVR)某固定資產(chǎn)投資項(xiàng)目現(xiàn)金流量表(折現(xiàn)率：10%)項(xiàng)目計算期 (第 t 年)建設(shè)期經(jīng)營期合計012345