在立體幾何中如何建立恰當?shù)淖鴺讼?pdf

1、2009 4爲申就&般5診在立體幾何e如何建立恰當?shù)淖鴺讼店愔苷ê笔↑S梅縣笫圧中學(xué).435500）圖1在髙中立體幾何中，隨著空間向量的弓I 入，大大降低了空間思維的難度，擺脫了煩瑣 的輔助線.這U經(jīng)被越來越多的帥宅認町和 接受，并作為解決2體兒何問題的常規(guī)乎段. 而用空間向壯解決立體幾何何題的第一步就 是要建立空間直角坐標系.如朵不會建系或 吿建系不合理，那么后面的工作就不植或者 很難進行下去，所以建系就成為件先要解決 的-個步驟本文試圖對怎樣在立體兒何中 建系作一些歸納和總結(jié)，供廣大老帥和同學(xué) 們參考.一. 理論依據(jù)建立空間直角坐標系的理論依據(jù)是空間 向城基本定理：如果3個向ii

2、a.bc不共面'那么對空間 任一向驗P,存在一個惟一的右序?qū)崝?shù)組", y.z） 使卩=yb + =c如果把3個基向量。上2取為互和垂克 的3個單位向址，則有序?qū)崝?shù)組（“八z）叫做 向址P在空間直角坐標系中的坐標.二、常見規(guī)則幾何體的建系方法（I）正方體長方體正四棱柱.如圖I這 樣建系的好處是讓所有的點都位于坐標系的 懷抱”之中，這樣兒何休上右關(guān)點的坐標都 非負.（2）正三棱柱.如圖2這樣建系可以利用 包棱柱中的線面垂直和底而三角形的-條 邊.（3）iE三棱錐如圖3這樣建系可以利用 1E三棱錐的性質(zhì):頂點在底面上的射影足底 面的中心，連結(jié)中心和底面三角形的一個頂 點,再作該頂點

3、的對邊平行線.（4）正四梭錐.如圖4這樣建系也是利用 正四棱礁的性質(zhì).當然止四棱錐的建系也町 以把中心0與底面正方形的任慮2個相鄰頂 點連遲來作為龍軸與y軸.麻煩.通過以上例題的剖析，我們可以清楚地 認識到，運用壟本不等式應(yīng) W 屮求函數(shù) 放值的條件是：第一，“都是正數(shù)，即所求的代數(shù)式中 的各項（各因式）必須都是iE數(shù).第二,“ b與a + 6中有一個是定值.當a6 =P（定值）時可以求“ + 6的最值;當a + b =S（定值）時，可以求皿的最值. 8第三，等號必須能夠取到，即存在止數(shù)a, b使基本不笥式網(wǎng)辺和等,也就是存在正數(shù)"， b使得yab =答上.以上三個條件町簡記為“一正

4、、二定、三 相竽”，在運用皋本不等式求最值時.這三個 條件缺一不可；另外，兩次（或兩次以上）運用 堪本不等式求繪值時，還耍注恵等號同時成 立條件的-致性.總之解脛時，一定耍縝密 恩考謹慎使用.切不可粗心大恵.一一一一為中£睜敬坊蓉 9 9 三. 非規(guī)則幾何體的建系如果題中沒有現(xiàn)成的兩陰垂直的3條線， 那么我們應(yīng)該先找到一個線面垂直關(guān)系，再 在這個面中找經(jīng)過垂足的兩條互相垂直的立 線雖然說只要兩兩垂血就可以隨便建系，但 是合理的建系方法能使坐標很容易找到而貝 坐標的形式相對簡單，從而大大減少計算肚. 這就耍求我們在建系的時候盡械多便用題H 中的線條而不是'無中生有地去'

5、作”軸.例1 如圖5所示，已知四棱錐P - A BCD 底面AHCD為菱形.PI3丄ADM 面FAD 為邊氏為2的正三角形，目面PAD與底面 ABCD所成二就他為120。(1) 求點P到面ARCD的距離；(2) 求面AF3與ifij CPU所成的二面角人小圖5分析 由題意知，過P冷底面的垂線P0, 則p/i在底面上的射影為0，由三垂線定理知 0B垂直于初側(cè)E為初的中點連結(jié)PE則 厶卩EB即為二面角PADB的平面角.顯然找到了線面垂直關(guān)系，就以P0為z 軸，0為坐標原點為y軸，過o作D4的平 行線，就把題目中的垂直關(guān)系很自然地利用 起來了.這樣的空間苴角坐標系就顯得口然， 簡明，解答略.例2 如

6、圖6 Li知卩q梭錐P - A BCD的底 面A BCD為菱形刃丄平面，乙力 C = 60J&F為BC.PC的中點(1) 求證ME丄PD；(2) 若H為PD上動點,EH與平面卩AD所 成角的最大值的正切値為享，求二面角E - AF-C的余弦值.分析 題目中己經(jīng)有線而垂直關(guān)系，就 用作Z軸，接下來只耍過/!找到兩條互相垂 直的直線即町，通過對底面菱形的分析不難 得到取C0的中點G聯(lián)結(jié)則/1G丄CQ那 么AB * j AC就很自然的分別成為了釉與y 軸整個建系過程流暢自然均在計劃之中.例3 三棱柱力力。-令角卩中，平血 0BB0 丄 平面0AB厶A0B= 00.=2JM =事厶0BB、=60。求異面直線“ 與10,所成的角.分析 由于題中已有底面上的2條互相 乖直的煮線(圖7),所以可以考慮以這兩條線 作為X軸和r軸，這就需要過這2條直線的交 點o作底面的垂線以便作為Z軸注意這時候 必須由題目中的面而垂直分析出Z軸在平面 ORB、O、內(nèi).不然不好尋找坐標，這樣建系以 后M點和B點的坐標顯而易見，而0的坐標 在知道了 z軸的位置后也不難得