注重?cái)?shù)學(xué)的整體性,提升系統(tǒng)思維水平(朝陽)

1、注重?cái)?shù)學(xué)的整體性，提升系統(tǒng)思維水平注重?cái)?shù)學(xué)的整體性，提升系統(tǒng)思維水平人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室章建躍章建躍一、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性一、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性 整體是事物的一種真實(shí)存在形式。整體是事物的一種真實(shí)存在形式。 數(shù)學(xué)是一個(gè)整體。數(shù)學(xué)是一個(gè)整體。 數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上上縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系?？v向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。 學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、逐步深入的，概學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、逐步深入的，概

2、念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步教。如何處理好念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學(xué)中的核心問題。這種矛盾，是教學(xué)中的核心問題。例例1 從數(shù)及其運(yùn)算看數(shù)學(xué)的整體性從數(shù)及其運(yùn)算看數(shù)學(xué)的整體性 在數(shù)系的發(fā)展過程中，正整數(shù)與人的直覺在數(shù)系的發(fā)展過程中，正整數(shù)與人的直覺一致，天經(jīng)地義。然而，一致，天經(jīng)地義。然而，0、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)取得、無理數(shù)、復(fù)數(shù)取得“合法合法”地位，都經(jīng)地位，都經(jīng)歷了漫長、曲折而相似的過程。讓學(xué)生返歷了漫長、曲折而相似的過程。讓學(xué)生返璞歸真地?fù)褚?jīng)歷這個(gè)過程，對(duì)他們理解璞歸真地?fù)褚?jīng)歷這個(gè)過程，對(duì)他們理解數(shù)學(xué)的整體性、感受數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)的整體性、感受數(shù)

3、學(xué)研究的“味道味道”很有好處，自然地，這也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)很有好處，自然地，這也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析學(xué)素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力的極好和解決問題的能力的極好途徑途徑。數(shù)系擴(kuò)充中的基本思想數(shù)系擴(kuò)充中的基本思想 數(shù)學(xué)推廣過程的一個(gè)重要特性是：使得在數(shù)學(xué)推廣過程的一個(gè)重要特性是：使得在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。然成立。 數(shù)系的擴(kuò)充：引入一種新的數(shù)，就要定義數(shù)系的擴(kuò)充：引入一種新的數(shù)，就要定義其運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究其運(yùn)算其運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究其運(yùn)算律。律。 擴(kuò)充的基本原則是：使算術(shù)

4、運(yùn)算的運(yùn)算律擴(kuò)充的基本原則是：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變。保持不變。 運(yùn)算是代數(shù)中的核心問題。運(yùn)算是代數(shù)中的核心問題。數(shù)系擴(kuò)充的整體結(jié)構(gòu)數(shù)系擴(kuò)充的整體結(jié)構(gòu) 背景引入（現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)內(nèi)部）、定義和表背景引入（現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)內(nèi)部）、定義和表示（抽象的過程）示（抽象的過程）分類、性質(zhì)、運(yùn)算分類、性質(zhì)、運(yùn)算（推理活動(dòng)）（推理活動(dòng)）聯(lián)系及其應(yīng)用（建?；盥?lián)系及其應(yīng)用（建?；顒?dòng)）。動(dòng)）。 研究一個(gè)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本研究一個(gè)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本套路套路。數(shù)列課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路數(shù)列課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路 學(xué)生將通過對(duì)日常生活中大量實(shí)際問題的學(xué)生將通過對(duì)日常生活中大量實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)分析，建立等差數(shù)列

5、和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題。并利用它們解決一些實(shí)際問題。內(nèi)容和要求內(nèi)容和要求（1）數(shù)列的概念和簡單表示法）數(shù)列的概念和簡單表示法 通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。函數(shù)。（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列）等差數(shù)列、等比數(shù)列 通過實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。通過實(shí)例，

6、理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。 探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式。式。 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。 體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。對(duì)內(nèi)容的理解對(duì)內(nèi)容的理解 數(shù)列的概念和表示數(shù)列的概念和表示注意從函數(shù)的研究注意從函數(shù)的研究中得到啟發(fā)；中得到啟發(fā)； 等差數(shù)列：概念、表示（通項(xiàng)公式）、性等差數(shù)列：概念、表示（通項(xiàng)公式）、性質(zhì)（等

7、差中項(xiàng)），等差數(shù)列的質(zhì)（等差中項(xiàng)），等差數(shù)列的“原型原型”就就是自然數(shù)列是自然數(shù)列n； 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：從概念和性質(zhì)中項(xiàng)和公式：從概念和性質(zhì)中推出的自然結(jié)果；推出的自然結(jié)果； 應(yīng)用應(yīng)用作為知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。作為知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式 如何教概念？如何教概念？ 問題問題 觀察下列數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？觀察下列數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1 1）0 0，5 5，1010，1515，；（2 2）5.55.5，7.57.5，9.59.5，11.511.5，；（3 3）0 0，2.52.5，5.05.0，7.57.5， 追問：是相鄰兩項(xiàng)的差嗎？從第二項(xiàng)起追

8、問：是相鄰兩項(xiàng)的差嗎？從第二項(xiàng)起 這個(gè)問題能引出等差數(shù)列的概念嗎？這個(gè)問題能引出等差數(shù)列的概念嗎？ 問題不恰當(dāng)：問題不恰當(dāng)：（1 1）對(duì)概念理解不到位）對(duì)概念理解不到位“等差等差”是由運(yùn)是由運(yùn)算引發(fā)的！等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，算引發(fā)的！等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，“考察特例考察特例”是一種是一種“基本套路基本套路”；（2 2）對(duì)教材不理解）對(duì)教材不理解教材是這樣開頭的：教材是這樣開頭的：初中學(xué)了實(shí)數(shù)及其運(yùn)算、性質(zhì)?，F(xiàn)在我們初中學(xué)了實(shí)數(shù)及其運(yùn)算、性質(zhì)。現(xiàn)在我們面對(duì)一列數(shù)（數(shù)列），能不能也像研究實(shí)面對(duì)一列數(shù)（數(shù)列），能不能也像研究實(shí)數(shù)一樣，研究它的項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系、運(yùn)算和數(shù)一樣，研究它的項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系、

9、運(yùn)算和性質(zhì)呢？我們先從一些特殊的數(shù)列入手；性質(zhì)呢？我們先從一些特殊的數(shù)列入手；（3 3）對(duì)學(xué)生不理解）對(duì)學(xué)生不理解這些數(shù)列的共同特征這些數(shù)列的共同特征不只是不只是“等差等差”，沒有從關(guān)系、運(yùn)算等作，沒有從關(guān)系、運(yùn)算等作必要引導(dǎo)，學(xué)生的觀察沒有方向。必要引導(dǎo)，學(xué)生的觀察沒有方向。如何教通項(xiàng)公式？如何教通項(xiàng)公式？ 什么叫什么叫“通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式”？ 研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路基本套路”是是：獲得對(duì)象（下定義）：獲得對(duì)象（下定義）表示對(duì)象表示對(duì)象研究研究性質(zhì)性質(zhì)建立與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。建立與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。 “通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式”等差數(shù)列的一種表示，等差數(shù)列的一種表示，就像函數(shù)的解析

10、式一樣，要回答的是就像函數(shù)的解析式一樣，要回答的是“第第n項(xiàng)項(xiàng)an與序號(hào)與序號(hào)n的關(guān)系的關(guān)系”。 “求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式”從定義出發(fā)。從定義出發(fā)。等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 運(yùn)算中出現(xiàn)的規(guī)律性運(yùn)算中出現(xiàn)的規(guī)律性有了運(yùn)算，數(shù)的有了運(yùn)算，數(shù)的力量無限。力量無限。 最簡單的等差數(shù)列：三項(xiàng)最簡單的等差數(shù)列：三項(xiàng)“等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)”； 如何看如何看“等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)”？平均數(shù)！平均數(shù)！ 當(dāng)當(dāng)m+n=p +q時(shí)，時(shí)，am+ an= ap +aq ； 前前n項(xiàng)和公式的教學(xué)設(shè)計(jì)項(xiàng)和公式的教學(xué)設(shè)計(jì) 作為自然數(shù)列性質(zhì)的自然延伸、一般化作為自然數(shù)列性質(zhì)的自然延伸、一般化將將a1=1，d=1一般化。一般化。 如何看

11、如何看1+2+3+n= ？ 有多種角度：有多種角度：“平均數(shù)平均數(shù)”，不同數(shù)求和化歸為，不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，等；相同數(shù)求和，等； “平均數(shù)平均數(shù)”本質(zhì)上是等差數(shù)列的性質(zhì)：本質(zhì)上是等差數(shù)列的性質(zhì)：am+ an= ap +aq ，當(dāng)，當(dāng)m+n=p +q時(shí)時(shí)這是這是“倒序求和倒序求和”技巧的源頭。技巧的源頭。21nn教學(xué)設(shè)計(jì)思路教學(xué)設(shè)計(jì)思路 總體思想：希望學(xué)生領(lǐng)悟到總體思想：希望學(xué)生領(lǐng)悟到“倒序求和倒序求和”技巧的技巧的來源。來源。 問題問題1高斯是如何求出高斯是如何求出1+2+100的？的？ 問題問題2如果從數(shù)列的角度看，你認(rèn)為他利用了數(shù)列如果從數(shù)列的角度看，你認(rèn)為他利用了數(shù)列1，2，3，

12、的什么特性？的什么特性？ 問題問題3你能用高斯的方法求你能用高斯的方法求1+2+101嗎？嗎？ 問題問題4如何用高斯的方法求如何用高斯的方法求1+2+n？ 問題問題5一般地，設(shè)公差為一般地，設(shè)公差為d的等差數(shù)列的等差數(shù)列an，你能，你能求出求出Sn=a1 +a2 +an嗎？（什么叫求嗎？（什么叫求Sn？）？） 回到概念去，回到基本性質(zhì)去回到概念去，回到基本性質(zhì)去返璞歸真，返璞歸真，至精至簡，以簡馭繁，大巧若拙。至精至簡，以簡馭繁，大巧若拙。 “倒序求和倒序求和”是雕蟲小技！是雕蟲小技！二、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng)二、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)

13、學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思能極大地簡化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。例例 “三角形三角形”研究中的系統(tǒng)思維研究中的系統(tǒng)思維 定義定義“三角形三角形”，明確它的構(gòu)成要

14、素；用，明確它的構(gòu)成要素；用符號(hào)表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為符號(hào)表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類；標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類；明確研究對(duì)明確研究對(duì)象象 基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到 “三角形內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和等于180” 等；等； 研究研究“相關(guān)要素及其關(guān)系相關(guān)要素及其關(guān)系”，如，如“三角形三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”等；等； 三角形的全等（反映空間的對(duì)稱性，三角形的全等（反映空間的對(duì)稱性，“相相等等”是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成“確確定一個(gè)三角形的條件定一個(gè)三角形的條

15、件”）；）； 特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、直角三角形）；直角三角形）； 三角形的變換（如相似三角形等）；三角形的變換（如相似三角形等）； 直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)）直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形；，解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究 明確研究對(duì)象（定義、表示、分類）明確研究對(duì)象（定義、表示、分類） 性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）特例（性質(zhì)和判定）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)系；聯(lián)系； 定性研究（

16、相等、不等、對(duì)稱性等）定性研究（相等、不等、對(duì)稱性等）定量研究（面積、勾股定理、相似、解三定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。角形等）。 培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，避免考問題的習(xí)慣，避免“見木不見林見木不見林”，進(jìn)，進(jìn)而使他們在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能把解決問而使他們在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能把解決問題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程、解決過程的題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程、解決過程的優(yōu)化以及對(duì)問題的拓展、深化等作為一個(gè)優(yōu)化以及對(duì)問題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。這樣，整體進(jìn)行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問題的

17、人才，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問題的人才”就能就能落在實(shí)處。落在實(shí)處。什么叫性質(zhì)？什么叫性質(zhì)？ 性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。穩(wěn)定的聯(lián)系。 問題：這里的問題：這里的“事物內(nèi)部事物內(nèi)部”指什么？指什么？“穩(wěn)穩(wěn)定的聯(lián)系定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系聯(lián)系”？ 從三角形的從三角形的“內(nèi)角和為內(nèi)角和為180”、“兩邊之兩邊之和大于第三邊和大于第三邊”、“大邊對(duì)大角大邊對(duì)大角”、“等等邊對(duì)等角邊對(duì)等角”等你想到了什么？等你想到了什么？ “內(nèi)部內(nèi)部”可以是可以是“三角形的組成要素三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的

18、聯(lián)系穩(wěn)定的聯(lián)系”是指是指“三角形要素之間確三角形要素之間確定的關(guān)系定的關(guān)系”。 幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。質(zhì)。 從從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三三條高交于一點(diǎn)條高交于一點(diǎn)”、“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一”等又想到了什么？等又想到了什么？ 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素相關(guān)要素”也可以也可以看成是看成是“三角形的內(nèi)部三角形的內(nèi)部”。 要素、相關(guān)要素間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。要素、相關(guān)要素間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。 兩個(gè)幾何事物所

19、形成的某種位置關(guān)系所體兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“同位同位角相等角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等”以及以及“同旁內(nèi)同旁內(nèi)角互補(bǔ)角互補(bǔ)”可以想到，這時(shí)的可以想到，這時(shí)的“性質(zhì)性質(zhì)”是借是借助助“第三條直線第三條直線”構(gòu)成一些角，然后看由構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。角之間有什么確定的關(guān)系。 研究兩個(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有研究兩個(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何事

20、物與其他幾何事物之間是否形兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。成確定的關(guān)系入手。圓的幾何性質(zhì)圓的幾何性質(zhì) 要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角；要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角； 相關(guān)要素：弦、圓周角相關(guān)要素：弦、圓周角 你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？研究的命題？ 同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何一條弦；一條弦； 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；所對(duì)的兩條??； 在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相

21、等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對(duì)的弦較大（弦心距較?。荒娑ɡ砘∷鶎?duì)的弦較大（弦心距較?。?；逆定理也成立。也成立。 切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。 過圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長相等。過圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長相等。 你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？如何引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征如何引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱柱 要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角線、體對(duì)角線、高線、體對(duì)角線、高 要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面

22、、棱與棱、面與棱與棱、面與棱 特例：長方體特例：長方體正方體，平行六面體正方體，平行六面體 直線與平面平行的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì) 位置關(guān)系：直線位置關(guān)系：直線l 平面平面； 其他事物：直線、平面；其他事物：直線、平面； 命題：命題：（1）如果）如果 al，那么，那么a ；（2）如果）如果 a ，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果）如果l，那么，那么 ；（8）如果）如果 ，那么，那么 l。（9）與）與“公理公理”相聯(lián)系，直線相聯(lián)系，直線l與平面與平面 內(nèi)任內(nèi)任

23、意一點(diǎn)意一點(diǎn)A確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 ， =m ，那么，那么 ml；（10）l ，所以，所以l =。如果。如果m在在 內(nèi)，內(nèi)，則或者則或者ml，或者，或者m與與l是異面直線。是異面直線。（11）直線）直線m與直線與直線l異面，則過直線異面，則過直線m有且有且只有一個(gè)平面與直線只有一個(gè)平面與直線l平行。平行。（12）l ， =l， =l1， =l2，那那么么l1l2。從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué) 以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程為載體，按學(xué)以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過

24、程，提高發(fā)現(xiàn)和提一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認(rèn)出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問題的能力。識(shí)和解決問題的能力。數(shù)學(xué)化的過程數(shù)學(xué)化的過程關(guān)于正弦定理、余弦定理的教學(xué)關(guān)于正弦定理、余弦定理的教學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問題的教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問題的策略等方面的思考：策略等方面的思考： 如何發(fā)現(xiàn)問題；如何發(fā)現(xiàn)問題； 從定性到定量地研究問題；從定性到定量地研究問題； 將新問題化歸為舊問題；將新問題化歸為舊問題； 從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問題；等等。從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問題；等等。如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問題）如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（

25、問題） 數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問題后，希望數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問題后，希望得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素，由全等三角形的，由全等三角形的“基本事實(shí)基本事實(shí)”SSSSSS，SASSAS，ASAASA，你能提出什么新的問題？，你能提出什么新的問題？ 六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是說，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一說，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求出其余三個(gè)要素。出

26、其余三個(gè)要素。 對(duì)于對(duì)于“解三角形解三角形”，你會(huì)哪些知識(shí)？，你會(huì)哪些知識(shí)？會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有“內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理”。 給定兩邊一夾角，求其他邊、角給定兩邊一夾角，求其他邊、角化歸化歸為直角三角形。為直角三角形。 還有沒有其他方法？還有沒有其他方法？從知識(shí)的聯(lián)系性從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？怎么用？怎么用？ 你還能提出哪些問題？你還能提出哪些問題？ 對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形確定的，因此外接圓的半徑可

27、以用三角形的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角來表示它的外接圓半徑？來表示它的外接圓半徑？ 對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來表示它們的度量？用三角形的邊、角來表示它們的度量？ 一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)邊長、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長、角平分線長等，這是三徑、高、中線長、角平分線長等，這是三角形這個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間角形這

28、個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維、掌握維、掌握“認(rèn)識(shí)、解決問題的方法認(rèn)識(shí)、解決問題的方法”、提、提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力等方面都能發(fā)揮很好的作用。力等方面都能發(fā)揮很好的作用。二元一次不等式表示平面區(qū)域二元一次不等式表示平面區(qū)域 如何提出問題？如何獲得猜想？如何提出問題？如何獲得猜想？ 從具體到抽象、從特殊到一般從具體到抽象、從特殊到一般強(qiáng)調(diào)歸強(qiáng)調(diào)歸納的過程。納的過程。 直角坐標(biāo)系中，方程直角坐標(biāo)系中，

29、方程xy6=0的解為坐標(biāo)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線的點(diǎn)在直線l上；同時(shí)，直線上；同時(shí)，直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程都是方程xy6=0的解的解由此你能提出由此你能提出什么新問題？什么新問題？ (x0 ,y0)不在直線不在直線l上，則上，則x0y060 x0y060或或x0y060。 坐標(biāo)平面被直線坐標(biāo)平面被直線xy6=0分成三個(gè)部分，分成三個(gè)部分，它們與它們與xy60， xy6=0 ，xy60有什么關(guān)系呢？有什么關(guān)系呢？ 任意取點(diǎn)，代入，找規(guī)律任意取點(diǎn)，代入，找規(guī)律發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)“同側(cè)同側(cè)同號(hào)同號(hào)”。如何證明如何證明“同側(cè)同號(hào)同側(cè)同號(hào)” 點(diǎn)點(diǎn)P0 (x0 ,y0 )在直線在直線Ax+By+C=0的

30、的“左上方左上方”、“右下方右下方”如何用數(shù)量關(guān)系表達(dá)？如何用數(shù)量關(guān)系表達(dá)？ y P(x0 ,y0 ) O x獲得證明思路的關(guān)鍵獲得證明思路的關(guān)鍵 對(duì)解析幾何的基本思想（坐標(biāo)法）的理解對(duì)解析幾何的基本思想（坐標(biāo)法）的理解深度；深度； 對(duì)對(duì)“先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決法解決”的認(rèn)識(shí)；的認(rèn)識(shí)； 在直角坐標(biāo)系中，幾何方位的代數(shù)化在直角坐標(biāo)系中，幾何方位的代數(shù)化以坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)，用不等式表示以坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)，用不等式表示“上下左上下左右右”的關(guān)系。所以，歸根到底是對(duì)直角坐的關(guān)系。所以，歸根到底是對(duì)直角坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)等概念的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)等概念的認(rèn)識(shí)

31、和應(yīng)用。 三、充分重視教育信息化三、充分重視教育信息化 信息技術(shù)對(duì)教育發(fā)展具有革命性影響，必須予信息技術(shù)對(duì)教育發(fā)展具有革命性影響，必須予以高度重視。要通過教育信息化體系的建設(shè)促以高度重視。要通過教育信息化體系的建設(shè)促進(jìn)教育內(nèi)容、教學(xué)手段和教學(xué)方法的現(xiàn)代化。進(jìn)教育內(nèi)容、教學(xué)手段和教學(xué)方法的現(xiàn)代化。要強(qiáng)化信息技術(shù)應(yīng)用，提高教師應(yīng)用信息技術(shù)要強(qiáng)化信息技術(shù)應(yīng)用，提高教師應(yīng)用信息技術(shù)水平，更新教學(xué)觀念，改進(jìn)教學(xué)方法，提高教水平，更新教學(xué)觀念，改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)效果。鼓勵(lì)學(xué)生利用信息手段主動(dòng)學(xué)習(xí)、自學(xué)效果。鼓勵(lì)學(xué)生利用信息手段主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)，增強(qiáng)運(yùn)用信息技術(shù)分析解決問題的能主學(xué)習(xí)，增強(qiáng)運(yùn)用信息技術(shù)

32、分析解決問題的能力。力。 國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（要（20102020年）年） 課堂教學(xué)中強(qiáng)化信息技術(shù)的應(yīng)用，是建設(shè)課堂教學(xué)中強(qiáng)化信息技術(shù)的應(yīng)用，是建設(shè)創(chuàng)新型國家的需要，與國家的未來發(fā)展、創(chuàng)新型國家的需要，與國家的未來發(fā)展、學(xué)生的未來前途命運(yùn)高度相關(guān)。因?yàn)樾畔W(xué)生的未來前途命運(yùn)高度相關(guān)。因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)本質(zhì)上是技術(shù)本質(zhì)上是“數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)技術(shù)”，所以在提高，所以在提高學(xué)生利用信息手段自主學(xué)習(xí)，增強(qiáng)運(yùn)用信學(xué)生利用信息手段自主學(xué)習(xí)，增強(qiáng)運(yùn)用信息技術(shù)分析解決問題的能力上，數(shù)學(xué)課程息技術(shù)分析解決問題的能力上，數(shù)學(xué)課程負(fù)有更大的責(zé)任。數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技負(fù)有更大的責(zé)任。

33、數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)是天經(jīng)地義的，廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)術(shù)是天經(jīng)地義的，廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)對(duì)此作出積極回應(yīng)。對(duì)此作出積極回應(yīng)。如何理解如何理解“信息技術(shù)信息技術(shù)”？ 信息技術(shù)不同于信息技術(shù)不同于“人造工具人造工具”。 它是高科技產(chǎn)品，體現(xiàn)了人類強(qiáng)大的創(chuàng)造它是高科技產(chǎn)品，體現(xiàn)了人類強(qiáng)大的創(chuàng)造力，聚集了人類智力活動(dòng)的最高成果，是力，聚集了人類智力活動(dòng)的最高成果，是“人造工具人造工具”和和“智力技能智力技能”的綜合的綜合“硬件硬件”是人造工具，是人造工具，“軟件軟件”是智力技能是智力技能，只有在兩者綜合一起時(shí)，信息技術(shù)才能，只有在兩者綜合一起時(shí)，信息技術(shù)才能發(fā)揮作用。發(fā)揮作用。 人類是一種科技的動(dòng)

34、物；人類是一種科技的動(dòng)物； 人類社會(huì)進(jìn)步以技術(shù)進(jìn)步為標(biāo)志；人類社會(huì)進(jìn)步以技術(shù)進(jìn)步為標(biāo)志； 技術(shù)的進(jìn)步使人類生活越來越容易技術(shù)的進(jìn)步使人類生活越來越容易人人類為了使自己更省時(shí)省力且可靠地做事而類為了使自己更省時(shí)省力且可靠地做事而不斷地發(fā)明工具。不斷地發(fā)明工具。在數(shù)學(xué)教育中使用技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中使用技術(shù) 從上世紀(jì)從上世紀(jì)70年代初開始，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育年代初開始，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育在不斷地引進(jìn)信息技術(shù)：算術(shù)四則運(yùn)算計(jì)在不斷地引進(jìn)信息技術(shù)：算術(shù)四則運(yùn)算計(jì)算器，然后是科學(xué)計(jì)算器、各種微機(jī)應(yīng)用算器，然后是科學(xué)計(jì)算器、各種微機(jī)應(yīng)用軟件、圖形計(jì)算器和軟件、圖形計(jì)算器和CAS的手持計(jì)算器等的手持計(jì)算器等。 目前，發(fā)達(dá)

35、國家在課堂中使用圖形計(jì)算器目前，發(fā)達(dá)國家在課堂中使用圖形計(jì)算器已成為常態(tài)，而且考試中也允許使用。已成為常態(tài)，而且考試中也允許使用。 計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)分析系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)幾計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)分析系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)幾何系統(tǒng)等技術(shù)，已變得越來越有用且便宜何系統(tǒng)等技術(shù)，已變得越來越有用且便宜，因而被不斷地應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中，因而被不斷地應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中?，F(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了許多功能強(qiáng)大、用途明?，F(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了許多功能強(qiáng)大、用途明確的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，包括確的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，包括Mathematica、Matlib、電子制表軟件、統(tǒng)計(jì)分析系統(tǒng)、電子制表軟件、統(tǒng)計(jì)分析系統(tǒng)、z+z超級(jí)畫板、動(dòng)態(tài)幾何系統(tǒng)軟件（如超級(jí)畫

36、板、動(dòng)態(tài)幾何系統(tǒng)軟件（如Cabri-Geomtre）、幾何畫板等。、幾何畫板等。 信息技術(shù)能給予教學(xué)全方位的支持，教師和學(xué)信息技術(shù)能給予教學(xué)全方位的支持，教師和學(xué)生可以利用技術(shù)的強(qiáng)大功能，做過去課堂中完生可以利用技術(shù)的強(qiáng)大功能，做過去課堂中完全做不到的事情。例如，全做不到的事情。例如，TI-nspire CAS計(jì)算計(jì)算器的功能設(shè)計(jì)具有如下特點(diǎn)：器的功能設(shè)計(jì)具有如下特點(diǎn)： 為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供“應(yīng)用套件應(yīng)用套件”，形成數(shù)據(jù)、圖，形成數(shù)據(jù)、圖形、方程、模型（函數(shù)）等的聯(lián)動(dòng)，真正實(shí)現(xiàn)形、方程、模型（函數(shù)）等的聯(lián)動(dòng)，真正實(shí)現(xiàn)代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)處理等不同數(shù)學(xué)分支的融合代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)處理等不同數(shù)學(xué)

37、分支的融合，為學(xué)生的探究活動(dòng)提供強(qiáng)大的技術(shù)支持，為，為學(xué)生的探究活動(dòng)提供強(qiáng)大的技術(shù)支持，為有不同認(rèn)知風(fēng)格、不同表達(dá)習(xí)慣的學(xué)生提供數(shù)有不同認(rèn)知風(fēng)格、不同表達(dá)習(xí)慣的學(xué)生提供數(shù)學(xué)理解的機(jī)會(huì)；學(xué)理解的機(jī)會(huì)； 生成生成tns格式的文件，真實(shí)、完整地記錄作業(yè)格式的文件，真實(shí)、完整地記錄作業(yè)過程，給教師和學(xué)生自己分析學(xué)習(xí)過程提供了過程，給教師和學(xué)生自己分析學(xué)習(xí)過程提供了依據(jù)，也提供了方便；依據(jù)，也提供了方便； 利用局域網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為數(shù)學(xué)課堂營造即時(shí)互動(dòng)、利用局域網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為數(shù)學(xué)課堂營造即時(shí)互動(dòng)、共同學(xué)習(xí)的環(huán)境，幫助教師觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過共同學(xué)習(xí)的環(huán)境，幫助教師觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，為師生、生生交流互動(dòng)提供了有力工具，

38、程，為師生、生生交流互動(dòng)提供了有力工具，教師可以即時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，展示學(xué)生教師可以即時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，展示學(xué)生作業(yè)，有針對(duì)性地進(jìn)行作業(yè)討論、評(píng)價(jià)，利用作業(yè)，有針對(duì)性地進(jìn)行作業(yè)討論、評(píng)價(jià)，利用課堂生成的教學(xué)資源，啟發(fā)思維，促進(jìn)理解課堂生成的教學(xué)資源，啟發(fā)思維，促進(jìn)理解改變了課堂生態(tài)改變了課堂生態(tài)； 利用配套數(shù)據(jù)收集工具收集真實(shí)反映事物利用配套數(shù)據(jù)收集工具收集真實(shí)反映事物變化狀況的數(shù)據(jù)，即時(shí)傳導(dǎo)，并用圖形、變化狀況的數(shù)據(jù)，即時(shí)傳導(dǎo)，并用圖形、數(shù)據(jù)表等方式記錄和顯示，數(shù)據(jù)的收集和數(shù)據(jù)表等方式記錄和顯示，數(shù)據(jù)的收集和變化可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)，從而讓使用者能變化可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)，從而讓使用者能從多

39、角度開發(fā)和利用數(shù)據(jù)。從多角度開發(fā)和利用數(shù)據(jù)。教育技術(shù)的設(shè)計(jì)理念教育技術(shù)的設(shè)計(jì)理念 從學(xué)生學(xué)習(xí)需要出發(fā)，為學(xué)生提供內(nèi)容豐從學(xué)生學(xué)習(xí)需要出發(fā)，為學(xué)生提供內(nèi)容豐富、形象化、動(dòng)態(tài)化的學(xué)習(xí)工具，幫助學(xué)富、形象化、動(dòng)態(tài)化的學(xué)習(xí)工具，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)效率和效果。生理解數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)效率和效果。信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的影響信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的影響 信息技術(shù)不僅是工具，也是數(shù)學(xué)的一部分。信息技術(shù)不僅是工具，也是數(shù)學(xué)的一部分。 信息技術(shù)是一種認(rèn)知工具。信息技術(shù)可以促進(jìn)信息技術(shù)是一種認(rèn)知工具。信息技術(shù)可以促進(jìn)教學(xué)內(nèi)容的變革，可以減少與教學(xué)內(nèi)容的變革，可以減少與“體力勞動(dòng)體力勞動(dòng)”相相關(guān)的內(nèi)容，增加與關(guān)

40、的內(nèi)容，增加與“腦力勞動(dòng)腦力勞動(dòng)”相關(guān)的內(nèi)容；相關(guān)的內(nèi)容； 信息技術(shù)可以消除運(yùn)算能力弱而帶來的學(xué)習(xí)差信息技術(shù)可以消除運(yùn)算能力弱而帶來的學(xué)習(xí)差異；異； 信息技術(shù)可以讓學(xué)生有更多的時(shí)間用于理解數(shù)信息技術(shù)可以讓學(xué)生有更多的時(shí)間用于理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，更有效地培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力學(xué)本質(zhì)，更有效地培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力； 信息技術(shù)可以在學(xué)習(xí)方式變革（獨(dú)立思考、自信息技術(shù)可以在學(xué)習(xí)方式變革（獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等）中扮演重要角色。主探究、合作交流等）中扮演重要角色。 數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，應(yīng)該以數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，應(yīng)該以“純粹數(shù)學(xué)純粹數(shù)學(xué)”為載體為載體（數(shù)學(xué)課要教數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)課要教數(shù)學(xué)如果想讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)如果

41、想讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，那么我們就必須在課堂上教真正的數(shù)學(xué)），那么我們就必須在課堂上教真正的數(shù)學(xué)），以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為核心，為學(xué)生構(gòu)建有以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為核心，為學(xué)生構(gòu)建有價(jià)值的（實(shí)用價(jià)值和精神價(jià)值）、富有挑戰(zhàn)性價(jià)值的（實(shí)用價(jià)值和精神價(jià)值）、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。從學(xué)生的長期利益出發(fā)，為的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。從學(xué)生的長期利益出發(fā)，為了使學(xué)生獲得信息化社會(huì)的生存技能和人生幸了使學(xué)生獲得信息化社會(huì)的生存技能和人生幸福，必須促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在福，必須促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在“信息技術(shù)社信息技術(shù)社會(huì)會(huì)”中的重要性，增強(qiáng)學(xué)生有效使用數(shù)學(xué)的思中的重要性，增強(qiáng)學(xué)生有效使用數(shù)學(xué)的思想、方法和技術(shù)處理問題的自信心

42、，使他們在想、方法和技術(shù)處理問題的自信心，使他們在利用技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，自然地、水到渠利用技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，自然地、水到渠成地掌握信息技術(shù)。成地掌握信息技術(shù)。 為什么要把使用信息技術(shù)作為一項(xiàng)數(shù)學(xué)活為什么要把使用信息技術(shù)作為一項(xiàng)數(shù)學(xué)活動(dòng)？動(dòng)？因?yàn)樗呀?jīng)在深刻地影響著數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)因?yàn)樗呀?jīng)在深刻地影響著數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的發(fā)展進(jìn)程；技術(shù)已成為數(shù)學(xué)的一部教育的發(fā)展進(jìn)程；技術(shù)已成為數(shù)學(xué)的一部分；就像現(xiàn)在數(shù)學(xué)教師已經(jīng)習(xí)慣使用分；就像現(xiàn)在數(shù)學(xué)教師已經(jīng)習(xí)慣使用PPT、幾何畫板等一樣，借助信息技術(shù)以獲得、幾何畫板等一樣，借助信息技術(shù)以獲得結(jié)果也將成為數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的一部分。結(jié)果也將成為數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的一部分

43、。信息技術(shù)的恰當(dāng)使用信息技術(shù)的恰當(dāng)使用 數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)有利有弊數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)有利有弊重重要的是了解信息技術(shù)對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)要的是了解信息技術(shù)對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的影響方式，趨利避害。的影響方式，趨利避害。 信息技術(shù)的一個(gè)關(guān)鍵特征是它運(yùn)用數(shù)字、信息技術(shù)的一個(gè)關(guān)鍵特征是它運(yùn)用數(shù)字、圖形和符號(hào)，為抽象的數(shù)學(xué)理論構(gòu)建了一圖形和符號(hào)，為抽象的數(shù)學(xué)理論構(gòu)建了一個(gè)直觀、動(dòng)態(tài)的模型。個(gè)直觀、動(dòng)態(tài)的模型。 解題解題直接得到結(jié)果直接得到結(jié)果計(jì)算能力、推計(jì)算能力、推理能力下降（？）理能力下降（？）現(xiàn)實(shí)現(xiàn)實(shí) 觀念上認(rèn)同，實(shí)施中不用觀念上認(rèn)同，實(shí)施中不用高考不能用高考不能用！ 信息技術(shù)被廣泛地用于工作、

44、個(gè)人生活和信息技術(shù)被廣泛地用于工作、個(gè)人生活和教育情境中，已經(jīng)成為信息和知識(shí)的生產(chǎn)教育情境中，已經(jīng)成為信息和知識(shí)的生產(chǎn)、使用、存儲(chǔ)、評(píng)價(jià)、分析和交流的組成、使用、存儲(chǔ)、評(píng)價(jià)、分析和交流的組成部分。因此，掌握使用信息技術(shù)的技能，部分。因此，掌握使用信息技術(shù)的技能，就象學(xué)會(huì)說話一樣的重要。熟練掌握各種就象學(xué)會(huì)說話一樣的重要。熟練掌握各種信息技術(shù)意味著有更多的機(jī)會(huì)。信息技術(shù)意味著有更多的機(jī)會(huì)。 不是不是“用不用用不用”，而是，而是“如何用得更好如何用得更好”！使用技術(shù)的理由使用技術(shù)的理由（1）改善了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)）改善了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)例如，信息技例如，信息技術(shù)使對(duì)應(yīng)關(guān)系變得術(shù)使對(duì)應(yīng)關(guān)系變得“

45、可操作可操作”、“可視化可視化”，強(qiáng)大，強(qiáng)大的作圖和圖形變換功能使圖像的動(dòng)態(tài)演示變得的作圖和圖形變換功能使圖像的動(dòng)態(tài)演示變得“唾唾手可得手可得”，因此函數(shù)概念的教學(xué)變得容易了；，因此函數(shù)概念的教學(xué)變得容易了；（2）為數(shù)學(xué)內(nèi)容的重新選擇和組織提供了機(jī)會(huì)）為數(shù)學(xué)內(nèi)容的重新選擇和組織提供了機(jī)會(huì)如微積分、統(tǒng)計(jì)、概率等將大量進(jìn)入，而傳統(tǒng)的初如微積分、統(tǒng)計(jì)、概率等將大量進(jìn)入，而傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)內(nèi)容將被精簡；等數(shù)學(xué)內(nèi)容將被精簡；（3）為由于過難而無法進(jìn)行有效教學(xué)的重要數(shù)學(xué)思）為由于過難而無法進(jìn)行有效教學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想的教學(xué)提供了途徑想的教學(xué)提供了途徑例如在信息技術(shù)支持下，例如在信息技術(shù)支持下，“逼近逼近”的過

46、程得到直觀顯示，而使極限思想的教的過程得到直觀顯示，而使極限思想的教學(xué)變得容易了；學(xué)變得容易了；（4）是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的）是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的“催化劑催化劑”技術(shù)的強(qiáng)大數(shù)值運(yùn)算、代數(shù)推理、統(tǒng)計(jì)分析、技術(shù)的強(qiáng)大數(shù)值運(yùn)算、代數(shù)推理、統(tǒng)計(jì)分析、動(dòng)態(tài)幾何等功能，使我們能做到動(dòng)態(tài)幾何等功能，使我們能做到“一有想法就一有想法就試試看試試看”；（5）大大擴(kuò)展了教學(xué)中可作為研究事例的范圍）大大擴(kuò)展了教學(xué)中可作為研究事例的范圍例如我們可以選擇那些現(xiàn)實(shí)發(fā)生、包含復(fù)例如我們可以選擇那些現(xiàn)實(shí)發(fā)生、包含復(fù)雜數(shù)據(jù)的問題作為研究對(duì)象；雜數(shù)據(jù)的問題作為研究對(duì)象；（6）能為建立不同數(shù)學(xué)表達(dá)之間的聯(lián)系提供強(qiáng)）能為建立不同數(shù)

47、學(xué)表達(dá)之間的聯(lián)系提供強(qiáng)大支持大支持技術(shù)允許學(xué)生同時(shí)運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)技術(shù)允許學(xué)生同時(shí)運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)表達(dá)來進(jìn)行數(shù)學(xué)探索；表達(dá)來進(jìn)行數(shù)學(xué)探索；（7）為教師備課、編寫教案提供了有力的輔助）為教師備課、編寫教案提供了有力的輔助手段手段信息技術(shù)可以為教師提供隨心所欲地信息技術(shù)可以為教師提供隨心所欲地調(diào)用資料的教學(xué)資源包；調(diào)用資料的教學(xué)資源包；（8）在高中階段，借助技術(shù)可以提升概念和算）在高中階段，借助技術(shù)可以提升概念和算法的發(fā)展等級(jí)水平法的發(fā)展等級(jí)水平學(xué)生可以用更多精力專學(xué)生可以用更多精力專注于概念的理解和算法的設(shè)計(jì)；注于概念的理解和算法的設(shè)計(jì)；（9）技術(shù)代替手工進(jìn)行冗長而復(fù)雜的計(jì)算）技術(shù)代替手工進(jìn)行冗長而復(fù)雜的計(jì)算學(xué)生能將注意力集中在數(shù)學(xué)的概念方面，有更學(xué)生能將注意力集中在數(shù)學(xué)的概念方面，