幾何直觀——新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心概念

1、幾何直觀新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心概念2作者:日期:3幾何直觀一一新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心概念-中學(xué)數(shù)學(xué)論文幾何直觀一一新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心概念譚代全(重慶市開(kāi)縣岳溪初級(jí)中學(xué)，重慶 405404405404)摘要：幾何直觀是學(xué)生應(yīng)該掌握的一個(gè)基本能力，是新課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)核心概念， 本文通過(guò)對(duì)幾何直觀相關(guān)概念的闡釋?zhuān)η髮ふ壹訌?qiáng)幾何直觀的有效途徑和方 法。關(guān)鍵詞：幾何直觀；新課標(biāo)；核心概念中圖分類(lèi)號(hào)：G633G633 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A A 文章編號(hào)：1005-6351(2013)-09-0102-011005-6351(2013)-09-0102-01義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在實(shí)驗(yàn)稿的基礎(chǔ)上，認(rèn)真總結(jié)前期試驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，

2、廣泛聽(tīng)取各方面的意見(jiàn)和建議后， 提出了數(shù)感、符號(hào)感等十個(gè)核心概念，幾何直 觀是其中重要的一個(gè)概念。顧名思義，“幾何直觀”可以從兩個(gè)方面去理解和把握：一是幾何，在這里主要是指幾何圖形；二是直觀，這里的直觀既是指直接看到的東西， 更重要的是依托 現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西為基礎(chǔ)進(jìn)行思考、想象。綜合起來(lái)，幾何直觀 就是利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。它在本質(zhì)上是一種通過(guò)幾何圖形所展開(kāi)的 空間想象能力。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)一句名言：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是 有限的，想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著知識(shí)的進(jìn)步，并且它是知識(shí)進(jìn)化的 源泉。嚴(yán)格說(shuō)，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素?！薄皵?shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空

3、間形式的科學(xué)?！笨臻g形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，除了美術(shù)，只有數(shù)學(xué)一直把圖形作為最基本的、主要的研究對(duì)象。在數(shù)學(xué) 研究、學(xué)習(xí)、講授中，不僅需要關(guān)注研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，更需要4感悟圖形給我們帶來(lái)的好處，幾何直觀就是在“數(shù)學(xué)一幾何一圖形”這樣一個(gè)關(guān)系鏈中讓我們體會(huì)到它所帶來(lái)的最大好處。這正如二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希 爾伯特在其名著直觀幾何一書(shū)中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研 究的問(wèn)題；可以幫助我們尋求解決問(wèn)題的思路； 可以幫助我們理解和記憶得到的 結(jié)果。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價(jià)值由此可見(jiàn)一斑。從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，幾何直觀是具體的，不是虛無(wú)的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相聯(lián)。事實(shí)上

4、，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高中的解 析幾何，向量等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”， 只有從兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)它們，才能很好的理解他們、掌握它們的本質(zhì)意義。也只有 這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動(dòng)起來(lái)，變得更容易使學(xué)生接受并運(yùn) 用它們?nèi)ニ伎紗?wèn)題，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說(shuō)的“數(shù)形結(jié)合”。這次課程改革中，強(qiáng)調(diào)幾何變換不僅僅是內(nèi)容上的變化， 也是設(shè)計(jì)幾何課程指導(dǎo) 思想上的變化，這將是幾何課程發(fā)展變化的方向。 讓圖形“動(dòng)起來(lái)”，在“運(yùn)動(dòng) 與變換”中來(lái)研究、揭示、學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，這樣，一方面，加深了對(duì)圖形性質(zhì) 的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；另一方面，對(duì)幾何直觀

5、能力也是一種提升。由此可以看到，在義務(wù) 教育階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀是很重要的。幾何直觀與“邏輯”“推理”也是不可分的。 幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它 不僅僅是看到了什么？而是通過(guò)看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這 是數(shù)學(xué)非常重要而有價(jià)值的思維方式。 幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起 來(lái)， 通過(guò)思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理， 它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。5有些數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是可以“看得見(jiàn)、 摸得著”的，而很多數(shù)學(xué)研究對(duì)象是“看6不見(jiàn)、摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)中那些抽 象的對(duì)象絕不是無(wú)根之木、無(wú)源之水，它的“根和源”一定是

6、具體的。例如，我 們看不到“七維空間”，但是，我們知道“白色的光是由七種顏色的光組成的： 紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫。”這就可以是理解“七維空間”的“可以看到的 源”。是幫助我們聯(lián)想的“實(shí)物”和基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中，需要依托“一維、二維、 三維空間”去想象和思考“高維空間”的問(wèn)題，這就是幾何直觀或幾何直觀能 力。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中是非常重要的，它也可以看作是最基本的能力，希 望老師重視它，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面幫助學(xué)生不斷提升這種能 力。1 1、在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣。在日常教學(xué)中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的 習(xí)慣是很重要的。可以通過(guò)多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)到畫(huà)圖對(duì)理解概念

7、、 尋求解題思路帶來(lái)的益處。無(wú)論計(jì)算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象 思維的基礎(chǔ)之上產(chǎn)生的。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫(huà)圖時(shí)盡量畫(huà)，其實(shí)質(zhì)是 將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”， 盡量把問(wèn)題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)過(guò)程變得直 觀，直觀了就容易展開(kāi)形象思維。2 2、重視變換一一讓圖形動(dòng)起來(lái)。幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何也是整個(gè)數(shù)學(xué)中 很重要的內(nèi)容，她既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。一方面，在數(shù) 學(xué)中我們接觸的最基本的圖形都是對(duì)稱(chēng)圖形， 例如，球、圓錐、圓臺(tái)、正多面體、 長(zhǎng)方體、長(zhǎng)方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對(duì)稱(chēng)圖形”；另一方面， 在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究“不對(duì)稱(chēng)圖形”時(shí)，又往往是運(yùn)用這些“對(duì)稱(chēng)圖形”為工具 的。變換又可以看做運(yùn)動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來(lái)是指再認(rèn)識(shí)這些圖形時(shí)， 在頭腦中讓圖7形動(dòng)起來(lái)，例如，平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，可以把它看做一個(gè)剛體，通 過(guò)圍繞中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn) 180180。，去認(rèn)識(shí)、理解、記憶平行四邊形 的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形是培養(yǎng)幾何直觀的好辦法。3 3、學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。在前面的論述中，多次反復(fù)強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合首先是對(duì)知識(shí)、技能的貫通式認(rèn)識(shí)和理解。以后逐漸發(fā)展成 一種對(duì)數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)， 這種對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用的能力，應(yīng)該 是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必須要求的。4 4 掌握、運(yùn)