新教材高中數(shù)學(xué)1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞教學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

1、1.5.1 全稱量詞與存在量詞IIBHHS(教師獨(dú)具內(nèi)容)-2 -課程標(biāo)準(zhǔn)：通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義，并會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表 示全稱量詞命題和存在量詞命題，并能判斷其真假.教學(xué)重點(diǎn)：全稱量詞與存在量詞的含義，含有量詞的命題的構(gòu)成以及全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判定.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判定.核心概念掌握【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞和全稱量詞命題(1)短語(yǔ)“所有的” “任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做01全稱量詞(universal quantifier),并用符號(hào)“C02? ”表示.含有全稱量詞的命題，叫做03全稱量t命題(universal propo

2、sition)(2)常見(jiàn)的全稱量詞還有“口 04一切” “型每一個(gè) “叩6任給”等.知識(shí)點(diǎn)二存在量詞和存在量詞命題(1)短語(yǔ)“存在一個(gè)” “至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做口坦存在量詞(existentialquantifier),并用符號(hào)“矍2”表示.含 有存在量詞的命題，叫 做03存在量詞 命題 (existential proposition) .(2)常見(jiàn)的存在量詞還有“口 04有些” “由5有 J, R6對(duì)某些“/7有的”等.【新知拓展】1 .對(duì)全稱量詞和全稱量詞命題的理解(1)全稱量詞往往有一定的限制范圍，該范圍直接影響著全稱量詞命題的真假.若對(duì)于給 定范圍xCM內(nèi)的一切值，都使 p(

3、x)成立，則全稱量詞命題為真命題.若能舉出反例，則為假 命題.(2)有些全稱量詞命題在語(yǔ)言敘述上省略了全稱量詞，理解時(shí)需把它補(bǔ)充出來(lái).例如，命 題“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”應(yīng)理解為“所有平行四邊形的對(duì)角線都互相平分”.2 .對(duì)存在量詞和存在量詞命題的理解存在量詞也有一定的限制范圍，該范圍直接影響著存在量詞命題的真假.若對(duì)于給定的 集合M至少存在一個(gè)xCM,使p(x)成立，則存在量詞命題為真命題.若不存在，則為假命 題.(評(píng)I價(jià)自(測(cè)1 .判一判(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 一個(gè)全稱量詞命題可以包含多個(gè)變量.()(2)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.()(

4、3)全稱量詞命題一定含有全稱量詞，存在量詞命題一定含有存在量詞.()(4)在全稱量詞命題和存在量詞命題中，量詞都可以省略.()(5)四邊形的內(nèi)角和是 360是全稱量詞命題.()答案 ， (2) V (3) X (4) X (5) V2 .做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上 )(1)命題“有些長(zhǎng)方形是正方形”含有的量詞是 ,該量詞是 量詞(填 “全稱”或“存在”).(2) “負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根”是 命題(填“全稱量詞”或“存在量詞”).(3)若命題“？ xCx|x3, xa”是真命題，則 a的取值范圍是 .答案(1)有些存在(2)全稱量詞 (3) a2;(3)有些平行四邊形的對(duì)角線不互相垂直；(4)存

5、在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)y=ax+b的值隨x的增大而增大.解(1)是全稱量詞命題，表示為 ？ xCN, x20.(2)是存在量詞命題，表不為 ？ x C R, x22.(3)是存在量詞命題，表示為 ？四邊形是平行四邊形，但四邊形的對(duì)角線不互相垂直.(4)是存在量詞命題，？ aC R,函數(shù)y=ax+ b的值隨x的增大而增大.金版點(diǎn)睛判斷一個(gè)語(yǔ)句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的步驟(1)判斷語(yǔ)句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱量詞命題或存在量詞命題.(2)若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題，含有存 在量詞的命題是存在量詞命題.(3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要注意理解命題含

6、義的實(shí)質(zhì).(1) 跟蹤訓(xùn)練 1 判斷下列語(yǔ)句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題(2) 凸多邊形的外角和等于360；(3) 矩形都是正方形；(4) 有些素?cái)?shù)的和仍是素?cái)?shù)；(5) 若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直解 (1) 可以改寫(xiě)為：所有的凸多邊形的外角和等于360，故為全稱量詞命題(6) 可以改寫(xiě)為：所有的矩形都是正方形，故為全稱量詞命題(7) 含有存在量詞“有些”，故為存在量詞命題(8) 若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題 .題型二 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷例 2 指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假(1) 在平面

7、直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)( x， y) 都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)；(2) 存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)；22(3) 對(duì)任意實(shí)數(shù)x1 ， x2 ，若x1x2 ，都有x1x2 ；(4)存在一個(gè)實(shí)數(shù) x,使得x2+2x+ 3=0. 解(1)(3) 是全稱量詞命題， (2)(4) 是存在量詞命題(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x, y)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，所以該命題是真命題(2) 存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，所以該命題是真命題(3)存在xi=5, x2=3, xi( 3)2,所以該命題是假命題.(4)由于xCR,則x2+2x+ 3=(x+1)2+22,因此使得 x2+2x

8、+ 3=0的實(shí)數(shù)x不存在， 所以該命題是假命題金版點(diǎn)睛全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合 M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，卻只要能舉出集合 M中的一個(gè)x=x0,使得p(x0)不成立即 可(這就是通常所說(shuō)的“舉出一個(gè)反例” ) (2)判斷存在量詞命題“ ？ xC M p(x)”的真假性的關(guān)鍵是探究集合M中x的存在性.若找到一個(gè)元素xo M,使p(xo)成立，則該命題是真命題；若不存在xoCM使p(xo)成立，則該命題是假命題.跟蹤訓(xùn)練2判斷下列命題的真假.(1)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù) x, x2也是無(wú)理數(shù)；(2)末

9、位是零的整數(shù)，可以被 5整除；(3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)；(4)某些平行四邊形是菱形.解(1)因?yàn)橐彩菬o(wú)理數(shù)，但(5)2=2是有理數(shù)，所以全稱量詞命題“對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù) x2也是無(wú)理數(shù)”是假命題.(2)因?yàn)槊恳粋€(gè)末位是零的整數(shù)，都能被5整除，所以全稱量詞命題“末位是零的整數(shù)，可以被5整除”是真命題.(3)由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3,所以存在量詞命題“有些整數(shù)只有兩個(gè)正因 數(shù)”是真命題.(4)由于存在鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以存在量詞命題“某些平行四邊形是菱形”是真命題.題型三含有量詞的命題的應(yīng)用例3 ? aCZ,使關(guān)于x的分式方程二二十號(hào)=4的解為正數(shù)，且？ yv2,關(guān)于 x1

10、1xJ=-y- 1,不等式組 3 2成立.求符合條件的 a的值.2 y 一 a w o解 分式方程7+ ; =4的解為x= 一一且aw2, 關(guān)于x的分式方程 +x1 1 x4x-16 a0 且 aw2,，a1, 32解不等式，得yv 2；解不等式，得yi.關(guān)于y的不等式組32的解集為yv2,a2. 2w a6且2 ya w 0a.a 為整數(shù)，a=-2, 1,0,1,3,4,5.金版點(diǎn)睛應(yīng)用全稱量詞命題與存在量詞命題求參數(shù)范圍的兩類題型(1)全稱量詞命題為真時(shí)，意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以 利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決.(2)

11、存在量詞命題的常見(jiàn)題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在” “不存在” “是否存在”等語(yǔ)句表述.解答這類問(wèn)題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè) 出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾， 則否定了假設(shè).x1 1+x跟蹤訓(xùn)練3已知？ a C Z,使關(guān)于x的不等式組2 x+ a解，且使關(guān)于y的方程空 +鄉(xiāng)=2的解為非負(fù)數(shù)，求符合條件的a的值.y 1 1 yx 5,解 根據(jù)題意，解不等式組得a+2.不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，0Vx封x 4，a+ 240,解得 a0.A. 0B. 1C. 2D. 3答案 B解析 命題含有存在量詞；命題可以敘述為“所有

12、的正方形都是菱形”，故為全稱 量詞命題；命題可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也能被 3整除”，是全稱量詞命題；命題是全稱量詞命題.故有 1個(gè)存在量詞命題.3 .下列命題是“ ？ xCR, x23”的另一種表述方法的是 ()A.有一個(gè)xC R,使得x23B.對(duì)有些xC R,使得x23C.任選一個(gè)x C R,使得x23D.至少有一個(gè)x C R,使得x23答案 C解析 “？ xC R, x23”是全稱量詞命題，改寫(xiě)時(shí)應(yīng)使用全稱量詞.4 .對(duì)任意x8, xa恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .答案 a8, xa恒成立，大于 8的數(shù)恒大于a,，aw8.5 .判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題？并判斷其真假.？ xC R, | x|