排列組合中涂色問題的常見方法及策略(新)

1、所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。排列組合中涂色問題的常見方法及策略與涂色問題有關(guān)的試題新穎有趣，其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。 解決涂色問題方法技巧性強(qiáng)且靈活多變，故這類問題的利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能 力，有利于開發(fā)學(xué)生的智力。本專題總結(jié)涂色問題的常見類型及求解方法。區(qū)域涂色問題放棄很簡單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!9根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法例1、 用5種不同的顏色給圖中標(biāo)、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？6個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不(4)與同色

2、、分析：先給號區(qū)域涂色有5種方法，再給號涂色有 4種方法，接著給號涂色方法有3種，由于號與、不相鄰，因此號有4種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有5 4 3 4 2402、根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計(jì)算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法 原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例2、(2003江蘇卷)四種不同的顏色涂在如圖所示的能同色。分析：依題意只能選用 4種顏色，要分四類：(1)與同色、與同色，則有A44；(2)與同色、與同色，則有A4；(3)與同色、與同色，則有A44；4與同色，則有 A4 ； (5)與同色、與同色，則有所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5 A4 =120例3、(2003年全國

3、高考題)如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分析：依題意至少要用3種顏色11)當(dāng)先用三種顏色時，區(qū)域 2與4必須同色,一.,3 一，2)區(qū)域3與5必須同色，故有A4種；3)當(dāng)用四種顏色時，若區(qū)域 2與4同色，4) 則區(qū)域3與5不同色，有 解種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與4不同色,有A44種，故用四種顏色時共有 2A：種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有 A3 +2 A4 =24+2 24=723、根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同 色入手，分別計(jì)算出兩種情形的種數(shù)，

4、再用加法原理求出不同涂色方法總數(shù) 例4用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個區(qū)域內(nèi)，每個區(qū)域涂一 種顏色，相鄰兩個區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問題分為三類：(1) 四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為 A4 ;(2) 有且僅兩個區(qū)域相同的顏色，即只有一組對角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為122c5A2;25)兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為A5 ,因此，所求的涂法種數(shù)為 A2 2C1A2 A22604、根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類分類例5如圖，6個扇形區(qū)域 A、B、C、D、E、F,現(xiàn)給這6個區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域

5、不得使用同一種顏色，現(xiàn)有可供選擇解(1)當(dāng)相間區(qū)域 A、C、E著同一種顏色時，有4種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法， 此時，B、D、F各有3種著色方法故有 4 3 3 3 108種方法。4種不同的顏色22有C3A4種著色方法，此時B、D、F有3 2 2種著色方法，故共有_22_C3 A4 3 2 2 432種著色方法。(2)當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著色兩不同的顏色時,3 一(3)當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著二種不同的顏色時有 A4種著色萬法，此時B、D、F各有2種著色方法。此時共有 A3 2 2 2 192種方法。故總計(jì)有108+432+192=732種方法。說明：關(guān)于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問題還

6、可以用數(shù)列中的遞推公來解決。二、 點(diǎn)的涂色問題方法有：(1)可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論(2)根據(jù)相對頂點(diǎn)是否同色分類討論，(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個四棱錐 S ABCD的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異 色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。(1) 若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S,再從余下的四種顏色中任選兩種涂 A、B、C、D四點(diǎn)，此時只能 A與C、B與D12分別同色，故有C5A460種方法。(2) 若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S,再從

7、余下的四種顏色中任選兩種染A與B,由于A、B顏色可以交換，2故有 A種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C,而D與C,而 D與C中另一個只需染與其相對頂點(diǎn)同色即可，故有_1_2_1_1 一一 .C5 A4 c2c2240 種方法。(3) 若恰用五種顏色染色，有 A 120種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。解法二：設(shè)想染色按S-A-B-C-D的順序進(jìn)行，對 S、A、B染色，有5 4 3 60 種染色方法。由于C點(diǎn)的顏色可能與 A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)， 故分類討論：C與A同色時(此時 C對顏色的選取方法唯一)，D應(yīng)與A (C)、S不

8、同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對 C、D染色有1 3 2 2 7種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是60 7 420解法三：可把這個問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖， 對這五個區(qū)域用 5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法?解答略。三、 線段涂色問題對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：(1)根據(jù)共用了多少顏色分類討論(2)根據(jù)相對線段是否同色分類討論 。例7、用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一 ：(1)使用四顏

9、色共有 A44種(2)使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有c4c2履種，(3)使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同色，有a4種因此，所求的染色方法數(shù)為 A4 c4c2履 A 84種解法二：涂色按AB -BC-CD-DA的順序進(jìn)行，對 AB、BC涂色有4 3 12種涂色方 法。由于CD的顏色可能與 AB同色或不同色，這影響到 DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：當(dāng)CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則 DA有3種顏色可供選當(dāng)CD與AB不同色時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有1 3 2 2 7種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)

10、為12 7 84種例8、用六種顏色給正四面體 A BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點(diǎn)的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？解：(1)若恰用三種顏色涂色， 則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有A3種方法。(2)若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內(nèi)對棱涂同色，但組與組之間3 _ 4不同色，故有C6 A6種方法。(3)若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有C3A5種方法。(4)若恰用六種顏色涂色，則有A6種不同的方法。綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為A C|A4 C3片 A； 4080種。四、 面涂色問題對線段涂色問題，要注意對

11、各條線段依次涂色，主要方法有：按色數(shù)來分例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要 3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應(yīng)考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進(jìn)行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類討論(1)用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側(cè)面，則其余 3個面有3!種涂色方案，本據(jù)乘法原理 n1 5 3! 30(2)共用五種顏色，選定五種顏色有C；6種方法，必有兩面同色(必為相對面)，確定為上、下

12、底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側(cè)面，此時的方法數(shù)取決于右側(cè)面的顏色，有 3種選擇(前后面可通過翻轉(zhuǎn)交換)n2 C5 5 3 90(3)共用四種顏色，仿上分析可得n3 C64C： 90(4)共用三種顏色n C；20例10、四棱錐P ABCD ,用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不 同色，有多少種涂法？AB解：這種面的涂色問題可轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問題，如右圖，區(qū)域 1、2、3、4相當(dāng)于四個側(cè)面，區(qū)域5相當(dāng)于底面；根據(jù)共用顏色多少分類：(1) 最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時有 A3種；14(2) 當(dāng)用4種顏色時，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，此時有C2A4 ；故滿足題意總的涂色方法總方法交總數(shù)為A4 c2a4 72環(huán)形問題的解決白、藍(lán)、黑四色之一如：如圖，把一個圓分成 n(n 2)個扇形，每個扇形用紅、染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？解：設(shè)分成n個扇形時染色方法為 an種(1)當(dāng) n=2 時 A,、A 有 A2=12 種，即 a2=12 (2) 當(dāng)分成n個扇形，如圖，A與A2不同色，4與A3不同色，An 1與An不同色，共有4 3n 1種染色方法，但由于