第2節(jié) 一元線性回歸效果的顯著性檢驗(yàn)

1、1第二節(jié)第二節(jié)2 上述方法得到的模型是否具有實(shí)際意義（事上述方法得到的模型是否具有實(shí)際意義（事實(shí)上任何一組數(shù)據(jù)代入都可以得到經(jīng)驗(yàn)公式），實(shí)上任何一組數(shù)據(jù)代入都可以得到經(jīng)驗(yàn)公式），需要建立一個(gè)合理的檢驗(yàn)方法需要建立一個(gè)合理的檢驗(yàn)方法. . 常用的方法有常用的方法有 F 檢驗(yàn)檢驗(yàn), ,t 檢驗(yàn)檢驗(yàn), ,R 檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)方法. .不不難證明，三種方法是一致的難證明，三種方法是一致的. .本節(jié)主要介紹本節(jié)主要介紹 F 檢驗(yàn)檢驗(yàn). .3一、平方和分解公式一、平方和分解公式 ：可以分解成如下兩部分可以分解成如下兩部分觀察值觀察值iy)(iiiiyyyy )()( iiiiyyyyyy 則則oyXYiyix

2、xbay yyi iiyy yyi 4 , xbay 即即,xbya 由于由于)()(iiiiyyyyyy 因此有因此有)(1iniiixbayyxba niiiiyyyy1)()(1iniiixbxbyyxbaxba niiiixxbyyxxb1)()( niniiiixxbyyxxb112)()(0 xxxylblb 50)(1 niiiiyyyy所以所以 niiiiyyyy12)()( niiyyyyl12)( niiiiniiiniiyyyyyyyy11212)(2)()( ,)()(1212 niiiniiyyyy.QUlyy ,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ記記則

3、則6,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ niixban1)(1 ,y ., )(2112的分散程度的分散程度就是就是故故nniiyyyyy ，個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的平平均均數(shù)數(shù)這這是是即即nyyyyn,21的的，因因此此，是是回回歸歸直直線線上上的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)又又 , 21niyyyy ,21的分散性的分散性分散性來源于分散性來源于nxxx niiyn11 niixnba11由于由于,xbya 的相關(guān)關(guān)系引起的，的相關(guān)關(guān)系引起的，因此因此 U 稱為稱為回歸平方和回歸平方和. .它是通過它是通過 x 對(duì)對(duì) Yoyiyixxbay yyi iiyy yyi XY7 niiniiniiyyy

4、yyy121212) ()()( Q 表示除去表示除去x 對(duì)對(duì) Y 的線性影響以的線性影響以外的所有其他影響之和，因此外的所有其他影響之和，因此 Q 稱為稱為殘差平方和殘差平方和或或剩余平方和剩余平方和. .oyiyixxbay yyi iiyy yyi XY.QUlyy 從圖上看有從圖上看有)() (yyyyyy 兩端平方后求和有兩端平方后求和有總平方和總平方和（SST）回歸平方和回歸平方和（SSR）殘差平方和殘差平方和（SSE）,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ niiniiniiyyyyyy121212) ()()(總平方和總平方和（SST）回歸平方和回歸平方和（SSR）

5、殘差平方和殘差平方和（SSE）yyl即即1 1. . 總平方和總平方和(SST)反映因變量的反映因變量的n個(gè)觀察值與其均值的總離差個(gè)觀察值與其均值的總離差2 2. . 回歸平方和回歸平方和(SSR) 即即 U 反映自變量反映自變量 x 的變化對(duì)因變量的變化對(duì)因變量 y 取值變化取值變化的影響，或者說，是由于的影響，或者說，是由于x與與y之間的線性關(guān)系引之間的線性關(guān)系引起的起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和的取值變化，也稱為可解釋的平方和3 3. . 殘差平方和殘差平方和(SSE) 即即 Q 反映除反映除x以外的其他因素對(duì)以外的其他因素對(duì)y取值的影響，取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或

6、剩余平方和也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和8 完完全全線線性性相相關(guān)關(guān)；與與，）（ ,01xYlUQyy . , 02無無關(guān)關(guān)的的離離差差與與不不相相關(guān)關(guān)，與與，）（xyxYlQUiyy 的的線線性性對(duì)對(duì)越越小小，則則越越大大，一一定定時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) YxQUlyy影響越大，反之，則越小影響越大，反之，則越小. . 特別地，特別地， niiniiniiyyyyyy121212) ()()(總平方和總平方和（SST）回歸平方和回歸平方和（SSR）殘差平方和殘差平方和（SSE）910 niixbaxba12)(xxlb2 Ulyy niiyyU12)( niixxb122)(,xylb niiiyy

7、Q12)(.xyyyl bl 關(guān)于關(guān)于 U 和和 Q 的計(jì)算公式：的計(jì)算公式：11二、二、F 檢驗(yàn)檢驗(yàn))2/( nQUF 比值比值U/ /Q反映了反映了 x 與與 Y 之間的線性相關(guān)關(guān)系與隨之間的線性相關(guān)關(guān)系與隨機(jī)因素對(duì)機(jī)因素對(duì)Y 的影響的大小，比值越大，說明線性相關(guān)的影響的大小，比值越大，說明線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，但大到什么程度就能說明關(guān)系越強(qiáng)，但大到什么程度就能說明x 與與 Y 有線性相有線性相關(guān)關(guān)系呢？關(guān)關(guān)系呢？用假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，通常選用用假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，通常選用作為檢驗(yàn)量作為檢驗(yàn)量. .12,)2(,) (,)(2 nQEaaEbbE , ,2, 2的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量

8、分分別別是是即即 banQba 可以證明，可以證明，.2 2 nQS記記13,0 aYb，則，則如如亦即亦即x、Y 之間不存在線性相關(guān)關(guān)系；之間不存在線性相關(guān)關(guān)系；說明說明x 對(duì)對(duì) Y 沒有線性影響，沒有線性影響，反之，若反之，若 ，x、Y 之間存在線性相關(guān)關(guān)系之間存在線性相關(guān)關(guān)系. .0 b因此提出假設(shè)因此提出假設(shè).0:0 bH )2, 1( )2( nFnQUF可以證明，若可以證明，若H0 0成立，則統(tǒng)計(jì)量成立，則統(tǒng)計(jì)量因此可用因此可用 F 檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn). .14;0:10 bH）提出假設(shè)）提出假設(shè)（ )2, 1()2(20，成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量）在）在（ nFnQ

9、UFH ；分分布布分分位位數(shù)數(shù)表表得得臨臨界界值值，查查由由給給定定的的顯顯著著水水平平 F , 3的的值值；）計(jì)計(jì)算算（FQU,40HFF，則則否否定定的的值值，若若與與）比比較較（ F 檢驗(yàn)的具體步驟：檢驗(yàn)的具體步驟：即認(rèn)為即認(rèn)為x、Y 之間存在線性相關(guān)關(guān)系；之間存在線性相關(guān)關(guān)系；若不能否定若不能否定H0 0，則沒有理由認(rèn)為，則沒有理由認(rèn)為x、Y之間存在線性之間存在線性相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系. .xO )(xf 115例例3 3 價(jià)格與供給量的觀察數(shù)據(jù)見下表：價(jià)格與供給量的觀察數(shù)據(jù)見下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (噸噸) 15 20 25 30 35 45

10、60 80 80 110解解已求得回歸方程：已求得回歸方程：, 4286. 64288. 1xy ;0:)1(0 bH，成成立立時(shí)時(shí)，在在)8 , 1( (2)0FFH 32. 5 ,05. 0；分分布布表表，得得臨臨界界值值查查對(duì)對(duì) F試檢驗(yàn)回歸效果試檢驗(yàn)回歸效果. .)05. 0( 16,1350 xyl,61.8678 ,39.22161.86788900 ,6 .313 ，故否定故否定 0Hxyl bU 13504286. 6 UlQyy )2/( nQUF39.22161.86788 , 32. 56 .313 (4) F, 4286. 64288. 1xy ,8900)( (3)

11、1012 iiyyyyl32. 5 即回歸效果顯著即回歸效果顯著. .17例例4 4 求下表中營(yíng)業(yè)稅稅收總額求下表中營(yíng)業(yè)稅稅收總額 Y 對(duì)社會(huì)商品零售對(duì)社會(huì)商品零售總額總額 x 的線性回歸方程，并對(duì)回歸效果作顯著性檢的線性回歸方程，并對(duì)回歸效果作顯著性檢驗(yàn)驗(yàn).(.(單位：億元，顯著性水平單位：億元，顯著性水平 序號(hào)序號(hào)社會(huì)商品零售額社會(huì)商品零售額 x稅收總額稅收總額 Y1142.083.932177.315.96 3204.687.854242.889.825316.2412.516341.9915.557332.6915.798389.2916.399453.4118.45)05. 0 18

12、解解 912,49.85843)(91iixxxxl,80.1191,95.28891, 99191 iiiiyyxxn ,67.4178)(9191 iiixyyyxxl ,33.211)(91912 iiyyyyl.0487. 02675. 2xy ,2675. 2 xbya,0487. 0 xxxyllb所以回歸方程為所以回歸方程為19;0:)1(0 bH，成成立立時(shí)時(shí)，在在)7 , 1( (2)0FFH 59. 5 ,05. 0；分布表，得臨界值分布表，得臨界值查查對(duì)對(duì) F93.181 , 33.211 yyl,0487. 02675. 2xy 再檢驗(yàn)回歸效果：再檢驗(yàn)回歸效果：, 67

13、.4178 xyl,50.203 xyl bU,83. 7 UlQyy)2/( nQUF,59. 5 ，故否定故否定 0H即回歸效果顯著即回歸效果顯著. .20三、相關(guān)系數(shù)三、相關(guān)系數(shù)yyxxxyniiniiniiilllyyxxyyxxR 12121)()()(定義定義稱統(tǒng)計(jì)量稱統(tǒng)計(jì)量為為相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù). .在進(jìn)行回歸效果檢驗(yàn)時(shí)，也可采用上述統(tǒng)計(jì)量在進(jìn)行回歸效果檢驗(yàn)時(shí)，也可采用上述統(tǒng)計(jì)量. .21應(yīng)應(yīng)較較小小，應(yīng)應(yīng)較較小小，從從而而為為真真，從從直直觀觀上上看看，如如| | 0RbH |0，較大時(shí)，就應(yīng)拒絕較大時(shí)，就應(yīng)拒絕當(dāng)當(dāng)HR,|cR yyxxxyniiniiniiilllyyxxyy

14、xxR 12121)()()(,yyxxyyxxxyllblllR 故拒絕域可取為故拒絕域可取為.| cRP給定時(shí)，給定時(shí)，即在即在22相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的具體步驟：相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的具體步驟：;0:10 bH）提提出出假假設(shè)設(shè)（;, (2)的的值值計(jì)計(jì)算算構(gòu)構(gòu)造造統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量RllbRyyxx . )2(00HHnRR，否否則則接接受受，則則應(yīng)應(yīng)拒拒絕絕如如 ;)2( )3( nRR 表表，得得臨臨界界值值查查23例例5 5 對(duì)例對(duì)例4 4中的回歸方程作中的回歸方程作 R 檢驗(yàn)檢驗(yàn). .)05. 0( ;0:10 bH）提出假設(shè)）提出假設(shè)（; (2)yyxxllbR 構(gòu)構(gòu)造造統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量解解,664. 0)7( 05. 03 RR表表，得得，查查）對(duì)對(duì)（, 98. 0 R經(jīng)計(jì)算得經(jīng)計(jì)算得,0.664 98. 0 R因因?yàn)闉椋史穸ü史穸?0H即回歸效果顯著即回歸效果顯著. .24.1)2(22RRnF xxxyll2 , )1(2Rlyy .1)2(22RRn xyl bU ,2Rlyy UlQyy QUnF)2( 于于是是事實(shí)上，上述兩種檢驗(yàn)方法是一致的事實(shí)上，上述兩種檢驗(yàn)方法是一致的. .這是