系統(tǒng)狀態(tài)變量分析

1、章節(jié)第十二章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析1-2節(jié)日期教學(xué)目的掌握用信號流圖表示系統(tǒng)的方法；系統(tǒng)模擬教學(xué)重點用信號流圖表示系統(tǒng)的方法教學(xué)難點用信號流圖表示系統(tǒng)的方法教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)的信號流圖表示這部分內(nèi)容為本書第十一章第六節(jié)。用信號流圖表示的系統(tǒng)模型簡明清楚，系統(tǒng)函數(shù)計算過程簡單。在反饋系統(tǒng)分析、線性方程組求解、線性系統(tǒng)模擬及數(shù)字濾波器設(shè)評等方而得到廣泛應(yīng)用。此外，借助信號流圖研究系統(tǒng)狀態(tài)空間分析也顯示了許多優(yōu)點。（一）概述利用方框圖組合分析線性系統(tǒng)的方法可使求解過程簡化C在結(jié)論部分已經(jīng)利用一些基本運(yùn)算單元，包括相加、倍乘和積分構(gòu)成連續(xù)系統(tǒng)的模型，這種方法也成為線性系統(tǒng)的仿真（simulation

2、,也成為模擬當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜時就需要用多個方框圖來表示，為簡化方框圖，可采用一種簡單的方法，即系統(tǒng)的信號流圖。用一條有方向的線段代替子系統(tǒng)方框，線段的兩端點（節(jié)點）表示該子系統(tǒng)的輸入、輸出信號，箭頭的指向是信號的傳輸方向，而將系統(tǒng)函數(shù)直接寫在箭頭旁邊，加法符號用節(jié)點代替，兩條有向線段指向一點就表示相加，若是相減則將減號移至子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)之前。這樣構(gòu)成的圖形稱為系統(tǒng)的信號流圖，簡稱信流圖。如圖12-l（a）所示反饋系統(tǒng)的方框圖可以用圖12-l（b）所示的信號流圖來表示。關(guān)于反饋系統(tǒng)的內(nèi)容見P257?；緝?nèi)容有：F廠、廠丫（“1、反饋系統(tǒng)中正向通路、反饋通路、誤差信號的概念：5P一斗.口"2

3、、反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：-3、正（再生）反饋與負(fù)（非再生）反饋概念：|“式5）14、開環(huán)系統(tǒng)與閉環(huán)系統(tǒng)：（。）5、引入反饋可以使不穩(wěn)定系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定系統(tǒng)；,AA°A6利用反饋系統(tǒng)產(chǎn)生自激震蕩以及利用根軌跡法分析系統(tǒng).'（二）信號流圖中的一些術(shù)語<1、結(jié)點：表示系統(tǒng)中變量或信號的點。2、轉(zhuǎn)移函數(shù)：兩個節(jié)點之間的增益。圖3、支路：連接兩個汽點之間的定向線段，支路的增益即為轉(zhuǎn)移函數(shù)。4、輸入結(jié)點（源點）：只有愉出支路的結(jié)點，它對應(yīng)的是自變量（即輸入信號）。5、輸出結(jié)點（阱點）：只有輸入支路的結(jié)點，它對應(yīng)的是因變量（即輸出信號）。6、混合結(jié)點：即有輸入支路又有輸出支路的結(jié)點。7、通

4、路：沿支路箭頭方向通過各相連支路的途徑（不允許有相反方向支路存在）。8、開通路：通路與任意結(jié)點相交不多于一次，9、閉通路：如果通路的終點就是通路的起點，并且與任何其它結(jié)點相交不多于一次，閉通路又稱環(huán)路。10、環(huán)路增益：環(huán)路中各支路轉(zhuǎn)移函數(shù)的乘積.11、不接觸環(huán)路：兩環(huán)路之間沒右在何八共巧占八12、而向窟路:從輸入節(jié)點（源點）到愉出節(jié)點（阱點）方向的通路上，通過任何結(jié)點不多于一次的全部路徑。13、前向通路增益：前向通路中,各支路轉(zhuǎn)移函數(shù)的乘積。例121將圖12-2（a）所示的方框圖改畫為信號流圖的形式。解：信號流圖如圖12-2（b）所示,（三）信號流圖的性質(zhì)在運(yùn)用信號流圖時必須遵循流圖的以下性質(zhì)

5、：（1）支路表示了一個信號與另一信號的函數(shù)關(guān)系，信號只能沿著支路上的箭頭方向通過。（2）結(jié)點可以把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有輸出支路。（3）具有輸入和輸出支路的混合結(jié)點，通過增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可以把它變成只有輸入的輸出結(jié)點來處理。（4）給定系統(tǒng)，信號流圖形式并不是唯一的。而可以畫出不同的流圖。（四）信號流圖的代數(shù)運(yùn)算信號流圖可以按一定的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行簡化，常用的規(guī)則有：（1）只有一個輸入支路的結(jié)點值等于輸入信號乘以支路增益。圖12-3信號流圖代數(shù)運(yùn)算規(guī)則（2）串聯(lián)支路的總增益，等于所有各支路增益的乘積，因而串聯(lián)支路可以簡化合并為單一支路。（3）通過并聯(lián)相加可以把

6、并聯(lián)支路合并為單一支路.（4）混合結(jié)點可以按圖12-3（a）方式消掉。（5）環(huán)路可以按圖12-3（b）方式消掉。利用這些信號流圖的代數(shù)運(yùn)算，就可以把一個復(fù)雜的流圖加以簡化，使之只剩下一個源點和一個阱點，從而確定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。（五）信號流圖的梅森增益公式利用梅森增益公式可以根據(jù)流圖方便的求得輸入與輸出間的轉(zhuǎn)移函數(shù)。梅森公式的形式為："掙A式中A稱為流圖的特征行列式。=1一（所有不同環(huán)路的增益之和）+（每兩個互不接觸環(huán)路增益乘積之和）-（每三個互不接觸環(huán)路增益乘積之和）+-=1-Z4+£LbL-3fab<d.ejk表示由源點到阱點之間第條前向通路的標(biāo)號。gk表示由源點到

7、阱點之間第k條前向通路的增益。A,稱為對于第k條前向通路特征行列式的余因子。它是除去與第k條前向通路相接觸的環(huán)路外，余下的特征行列式。例12-2用梅森公式求圖12-2（b）所示系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。解：為求流圖的特征行列式A,先求環(huán)路：k=（X|fX2.X1）=2G2&=（Xa-X4-乂3）=-"3G3Li=（X4YX4）=-/74G4L4=（X1.X?.X3.X4.y.X1）=-HH3H4Gl其中，兩兩不接觸環(huán)路為4，人和右，乙3,因此：=1+（H2G2+H3G3+H4GA+HH3H4GJ+（H2G2Hfii+H2G2HAG4）前向通路只有一條，所以：3H、1=1按梅森公式，系統(tǒng)

8、的轉(zhuǎn)移函數(shù)為:H=3H41+(H2G2+H3G3+H4G4+H2H盧4GJ+H2G2H4G4)例123用梅森公式翥圖,124所示系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移鹵數(shù)。一解：為了應(yīng)用梅森公式，先求出有關(guān)參數(shù)。(1)求Aa)先求環(huán)路：4=(X3f-X3)=-H.G.l.=(乂2-yfX1-x1)=-h-1g1h2Ly=(X1fX3fX4fyfxj=一旦l4=(x,fX2-X3fx4fyfxjb)再求兩兩不接觸的環(huán)路kk=H2H4H7GG2由此得出：=1+(4Gl+H2H7G2+H4H5H6G24-H1HyHAH5G1)+(2)前向通路共有三條第一條：x-Xfx,fX|fX4-yI，Jgx=HxH2HyHAH5沒有與第一

9、條通路不接觸的環(huán)路，所以1=1第二條：xfXifXifXsfygaH6H4H5沒有與第二條通路不接觸的環(huán)路，所以4=1第三條：x-Xfx2fy與第三條通路不接觸的環(huán)路是4,所以3=1+H4Gl最后得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：H_Y_2H+%/%/+HiH/Q+HqGJ一天1+HG+修"7G2+H4H5H6G2+H?H#14H5G2+HH4H/GiG?系統(tǒng)模擬前面討論過用方框圖對系統(tǒng)進(jìn)行模擬，現(xiàn)討論用信號流圖來模擬系統(tǒng)的方法。系統(tǒng)用信號流圖模擬系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)就是梅森規(guī)則。常用的系統(tǒng)模擬方式有直接、串聯(lián)和并聯(lián)三種。一、直接形式(卡爾曼形式)若系統(tǒng)函數(shù)為："(5)=3=、$+%=+如-

10、F(5)52+«j54-«0l+f/j5"1+UQS2這里表示成H”的形式是因為積分單元表示為$7，即若)，(/)=1/(r)Jr,則y(s)=Jf(s)。根據(jù)梅森規(guī)則，從H(s)分母可得，系統(tǒng)有兩個環(huán)路，增益分別是一且是接觸環(huán)路，即系統(tǒng)的特征行列式=1+“S-1+0§-2：若從源點尸(s)到阱點Y(s)有兩條均與環(huán)路接觸的前向通路，增益為gl=$T，g2=%/2,那么該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)正是"(S).按照此思路就可以作出該系統(tǒng)的直接形式的模擬圖，如圖12-5(a)或(b)。二、串聯(lián)形式串聯(lián)形式就是將"(S)表示為H(s)=乩(s)“2(

11、s)(S)，分別畫出各子系統(tǒng)的直接模擬圖，再串聯(lián)起來。例如：、s+2s+21H=-=5'+45+35+35+1_1+2尸5_,一1+31+則模擬圖如圖12-6(a)(b)(c)所示。三、并聯(lián)形式并聯(lián)形式就是將“(S)表示為H(S)=H(S)+“2CO+HnG)'分別畫出個子系統(tǒng)的直接模擬圖，再并聯(lián)起來。例如：111.1"G)=J+2=上_.工二_.i-s+4s+35+35+1l+3s1+s于是，模擬圖如圖12-7所示。1W12-4已知"($)=2s+3s(s+3)(5+2)2畫出系統(tǒng)的信號流圖。解：(1)直接形式H(s)=根據(jù)梅森公式可令=1-I/-3)gl

12、=25-3,A,=lg,=35-4,A2=1由此得到信號流圖如圖由-8所示。2s+3s4+7s3+6s2+2s圖12-8例題直接形式結(jié)論：前向通道中包含積分項S”共(分母最高階次)個，環(huán)路由最低階次畫起，前向通路由最高階次畫起。(2)串聯(lián)形式H(s)=2s+3s(s+3)(5+2)22s+31,s+2s+3得到串聯(lián)形式的信號流圖如圖12-9所示。章節(jié)第十二章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析34節(jié)日期教學(xué)目的系統(tǒng)狀態(tài)方程；狀態(tài)方程的建立教學(xué)重點教學(xué)難點教學(xué)方法狀態(tài)方程的建立狀態(tài)方程的建立講授教學(xué)內(nèi)容狀態(tài)方程不討論狀態(tài)方程的求解。這種方法的特點是利用描述系統(tǒng)內(nèi)部特性的狀態(tài)變量取代僅描述系統(tǒng)外部特性的系統(tǒng)函數(shù)，并

13、且將這種描述十分便捷的用于多輸入一多輸出系統(tǒng)。狀態(tài)方程方法也成功的用于描述非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，并1,-R h.(0J四圖1211串聯(lián)諧振電路且易于借助計算機(jī)求解。（一）狀態(tài)變量和狀態(tài)方程首先從一個簡單的實例給出狀態(tài)變量的初步概念。對于圖12-11所示串聯(lián)諧振電路，如果只考慮激勵與電容兩端電壓之間的關(guān)系，這種研究系統(tǒng)的方法通常稱為端口方法或輸入一一輸出描述法。如果不僅希望了解電容上的電壓，而且希望知道電感中電流的變化情況，這時可以列寫方程：RiL(f)+L-iL(t)+vc(t)=e(t)at可改寫為:，L（D=_g（0+7e«）atLLL<d/、1.八這是以二。）,（，）為變

14、量的一階微分方程組，只要知道電路中心。），（/）的初始情況以及加入的。）情況，就可完全確定電路的全部行為。這樣描述系統(tǒng)的方法稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量或狀態(tài)空間分析法，其中即為串聯(lián)諧振電路的狀態(tài)變量，該方程組即為狀態(tài)方程。在狀態(tài)空間分析法中，狀態(tài)方程以矢量和矩陣形式表示，于是上式可寫作：電路的輸出信號可能有多個狀態(tài)變量以及輸入信號的作用組合而成，于是還需要列寫“輸出方程:對于圖12-11電路，若以r（f）表示輸出信號，愉出方程可寫為vc(O當(dāng)系統(tǒng)的階次較高因而狀態(tài)變量數(shù)目較多或系統(tǒng)具有多輸入一一多輸出信號時，描述系統(tǒng)的方程形式仍如上而兩式，只是矢量或矩陣的維數(shù)有所增加。下而給出系統(tǒng)狀態(tài)變量分析法中的幾

15、個名詞定義：狀態(tài)：對于一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是表示系統(tǒng)的一組最少變量（被稱為狀態(tài)變量），只要知道時這組變量的值和/之，0時的輸入，就能完全確定系統(tǒng)在/之，0的任何時間的輸出。狀態(tài)變量：能夠表示系統(tǒng)狀態(tài)的那些變量集稱為狀態(tài)變量。一般用40）4（。,幾這樣的一組變量集表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量。狀態(tài)方程：狀態(tài)變量的方程叫狀態(tài)方程，它是用狀態(tài)變量和激勵表示的一組獨立的一階微分方程。輸出方程：是由狀態(tài)變量和激勵來表示各個輸出的方程組，它是代數(shù)方程組。狀態(tài)向（矢）量：設(shè)一個系統(tǒng)有個狀態(tài)變量4”）,無«）,/（，），用這個狀態(tài)變量作分量構(gòu)成向量X（f）,就稱之為該系統(tǒng)的狀態(tài)（矢）向量。狀態(tài)空間：狀態(tài)向量的所

16、有可能值的集合稱為狀態(tài)空間?；蛘哒f狀態(tài)向量所在的空間。狀態(tài)軌跡：在狀態(tài)空間中狀態(tài)向量端點隨時間變化而描出的路徑稱為狀態(tài)軌跡.動態(tài)方程：狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動態(tài)方程或系統(tǒng)方程。用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)的優(yōu)點在于：（1）便于研究系統(tǒng)內(nèi)部的一些物理量在信號轉(zhuǎn)換過程中的變化，這些物理量可以用狀態(tài)向量的一個分量表現(xiàn)出來，從而便于研究其變化規(guī)律，（2）系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法與系統(tǒng)的復(fù)雜程度沒有關(guān)系，復(fù)雜系統(tǒng)和簡單系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型形式相似，都表示為一些狀態(tài)變量的線性組合，這種以向量和矩陣表示的數(shù)學(xué)模型特別適用于描述多輸入一多輸出系統(tǒng)。（3）狀態(tài)變量分析法對離散系統(tǒng)也是同樣適用的，只不過在離散系統(tǒng)的情況改用一階差分

17、方程組來代替連續(xù)系統(tǒng)中的一階微分方程組。（4）狀態(tài)方程的主要參數(shù)鮮明的表征了系統(tǒng)的關(guān)鍵性能。以系統(tǒng)狀態(tài)變量參數(shù)為基礎(chǔ)引出的系統(tǒng)可控制性和可觀測性兩個概念對于揭示系統(tǒng)內(nèi)在特性具有重要意義，在控制系統(tǒng)分析與設(shè)計（如最優(yōu)控制和最優(yōu)估計）中得到廣泛應(yīng)用。此外，利用狀態(tài)方程分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性也比較方便。（5）由于狀態(tài)方程就是一階微分方程或一階差分方程，因而便于采用數(shù)值解法，為使用計算機(jī)分析系統(tǒng)提供了有效的途徑。（二）動態(tài)方程的一般形式對于動態(tài)線性時不變連續(xù)系統(tǒng)，根據(jù)對動態(tài)方程的定義，動態(tài)方程是狀態(tài)變量和輸入信號的線性組合,記4狀態(tài)方程矩陣形式表示為:%”)r«n2以，(f)-肉仇2q(f)右=。

18、21。22a2k+b?b?b2m的"）A(o.Ai%c%_兒一Pk42bk,n_上式簡記為：=Axl（0+（0r2(0上式簡記為：g）岡=«%+ D圖12/2狀態(tài)變量描述的結(jié)構(gòu)圖輸出方程矩陣形式為:若為時變系統(tǒng)，則向量矩陣A,B,C,D為關(guān)于時間的函數(shù).與上列數(shù)學(xué)表達(dá)式相對應(yīng)，可畫出系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程分析的示意結(jié)構(gòu)圖，如圖12-12所示.觀察狀態(tài)方程與輸出方程，可以看到狀態(tài)變量的選擇具有這樣的特征：1、每一狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)是所有狀態(tài)變量和輸入激勵信號的函數(shù)：2、每一微分方程中只包含有一個狀態(tài)變量對時間的導(dǎo)數(shù)；3、輸出信號是狀態(tài)變量和輸入信號的函數(shù)，通常選擇動態(tài)元件的輸出作

19、為狀態(tài)變量，在連續(xù)系統(tǒng)中是選積分器的輸出。狀態(tài)方程的建立建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程的方法很多，這些方法大體分為直接法和間接法兩種，其中，直接法主要應(yīng)用于電路分析、電網(wǎng)絡(luò)（如濾波器）的計算機(jī)輔助設(shè)計，間接法則常見與控制系統(tǒng)研究。間接法中包括由輸入輸出方程建立狀態(tài)方程、由系統(tǒng)框圖（或信號流圖）建立狀態(tài)方程以及由系統(tǒng)函數(shù)或傳輸算子方程建立狀態(tài)方程等方法。（一）由電路圖直接建立狀態(tài)方程對于給定的網(wǎng)絡(luò)，通常采用選取電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量，根據(jù)KCL和KVL列寫狀態(tài)方程，經(jīng)化簡消去一些不需要的變量，只留下狀態(tài)變量和輸入信號經(jīng)整理給出狀態(tài)方程。需指出，所選的狀態(tài)變量必須是獨立的（線性無關(guān)的）。直接法列寫狀

20、態(tài)方程的一般步驟為：（1）選所有的獨立電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量；（2）列寫電路KCL和KVL方程：（3）將所列方程整理成狀態(tài)方程的一般形式。例125給定電路如圖12-13所示，列寫電路的狀態(tài)方程，輸出信號為電壓，"），列寫輸出方程。解：選電感中電流和電容兩端電壓為狀態(tài)變量，則有：4（。=%。）4（，）=%"）=KK，2。）卜”列寫回路方程：2/,+方')+2J1(0，2k=。(03+；%。)+2外)-他,=1的整理得到:其中第三個式子是由選取的變量直接求導(dǎo)得到的。表示程矩陣的形式為:-2020-3-2-1300-30輸出為：則輸出方程為:4r(0=010，+。

21、1對于簡單電路，用上述直觀的方法容易列寫狀態(tài)方程。當(dāng)電路結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜時，需要利用其他方法，這些方法往往要借助計算機(jī)輔助設(shè)計（CAD）技術(shù),需指出，連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立不僅應(yīng)用于電路分析或設(shè)計，在許多科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域之中都已得到廣泛應(yīng)用。（二）由系統(tǒng)的輸入一一輸出方程或流圖（系統(tǒng)方框圖）建立狀態(tài)方程假定某一物理系統(tǒng)可用如下微分方程表示"z/氏'z/jk-»-yrr（f）+B）+.+“IVrQ）+%*/）=%J©。）+he"）+.+-】一式。+）dtdtdtdtdt（It表示成算子形式為：(人+qpAT+(_+，")，(f)=(/?oP

22、'+&pAT+/T+k)e(f)其傳輸算子為：H（p）=%*+4Pl+如+%+6/k+c*p+效圖12/4流圖表示為便于選擇狀態(tài)變量，將上式改寫為：H（n.%+4/+，-+4-力產(chǎn)+%»1+ajp+c”t/pi+ak/p'這樣當(dāng)用積分器來實現(xiàn)該系統(tǒng)時，有圖12-14所示的流圖形式。取每一積分器的輸出作為狀態(tài)變量，即：,4=人4=%4-i=A4=-44-%-1%a2k-ak+e"）r（f）=%4+%T=T2At-l+44+%【Ta4ak-2WAt-l-ak+£«）=（a-岫）4+（仇-1一%-1%）4+（。2-a?b（）k+（4一卬

23、%）4+瓦6。）表示成矩陣形式為:010-o-A-0&0010%0-=-+-e（f）000010人.-4_4-1_，-2.一一】_入.1+ %c（f）-，限.也），（4-a2b0）,（4-4,0）或簡化寫成矩陣形式:k（Z）=Ak（Z）+Be（/）r（Z）=Ck（r）+Dc（f）上而幾式是一般形式，若愉入不同，則A,B矩陣是相同的，C,D矩陣有可能不同.同一系統(tǒng)信號流圖形式不同，狀態(tài)變量的選擇就可能不一樣，因而對于一個給定系統(tǒng)，狀態(tài)變量選擇并非唯一的。（三）將傳輸算子表達(dá)式（或系統(tǒng)函數(shù)）分解建立狀態(tài)方程圖12.15直接形式信號流圖將系統(tǒng)函數(shù)（傳輸算子）的分母分解因式，可以對應(yīng)構(gòu)成并聯(lián)或串聯(lián)形式的流圖結(jié)構(gòu)