2015年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案：162參數(shù)方程（人教A版）

1、16.2參數(shù)方程考情分析本節(jié)內(nèi)容在高考中主要考察參數(shù)方程的基本概念、以及曲線的參數(shù)方程和普通方程之間的轉(zhuǎn)化。 基礎(chǔ)知識一、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程1、圓的參數(shù)方程：若圓心在點(diǎn)M（），半徑為r，則圓的參數(shù)方程為2、橢圓的一個(gè)參數(shù)方程為（為參數(shù)）3、雙曲線的一個(gè)參數(shù)方程為（為參數(shù)）4、拋物線的一個(gè)參數(shù)方程為（t為參數(shù)）二、直線的參數(shù)方程：1.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為2.直線的參數(shù)方程（標(biāo)準(zhǔn)形式）中參數(shù)t的幾何意義是表示直線l上以定點(diǎn)MO為起點(diǎn),任一點(diǎn)M(x,y)為終點(diǎn)的有向線段M0M的數(shù)量.當(dāng)t>0時(shí)，的方向向上 ；當(dāng)t<0時(shí)，的方向向下；當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)重合設(shè)直線上的任意

2、兩點(diǎn) 對應(yīng)的參數(shù)分別為，則（弦長公式）位于直線上的三點(diǎn)P，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t, ,若P是線段中點(diǎn)，則有t3、過定點(diǎn)，斜率為的直線參數(shù)方程為：說明：對于同一直線，選取的參數(shù)不同，會得到不同的參數(shù)方程。對于直線的普通方程y=2x如果令x=t，可得到參數(shù)方程,如果令,可得到參數(shù)方程題型一參數(shù)方程與普通方程的互化【例1】把下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)解(1)由已知由三角恒等式cos2 sin21, 可知(x3)2(y2)21，這就是它的普通方程(2)由已知t2x2，代入y5t中，得y5(2x2)，即xy50就是它的普通方程【變式1】參數(shù)方程(為參數(shù))化成普通方程為_解析由得 22得：x2(

3、y1)21.答案x2(y1)21題型二直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用【例2】已知圓C：(為參數(shù))和直線l：(其中t為參數(shù)，為直線l的傾斜角)(1)當(dāng)時(shí)，求圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小值；(2)當(dāng)直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍解(1)當(dāng)時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為xy30，圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)，圓心到直線的距離d，圓的半徑為1，故圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為1.(2)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t22(cos sin )t30，這個(gè)關(guān)于t的一元二次方程有解，故4(cos sin )2120，則sin2，即sin或sin .又0，故只能si

4、n，即，即.【變式2】 已知直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)tR)，圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)0,2)，求直線l被圓C所截得的弦長解由消參數(shù)后得普通方程為2xy60，由消參數(shù)后得普通方程為(x2)2y24，顯然圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2.由于圓心到直線2xy60的距離為d，所以所求弦長為2 .題型三圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用【例3】求經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，傾斜角為135°的直線截橢圓y21所得的弦長解由條件可知直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，代入橢圓方程可得21，即t23t10.設(shè)方程的兩實(shí)根分別為t1、t2，則由二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得則直線截橢圓的弦長是|t1t2| .【變式3】過點(diǎn)P(3,

5、0)且傾斜角為30°的直線和曲線(t為參數(shù))相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長解直線的參數(shù)方程為(s為參數(shù))，又曲線(t為參數(shù))可以化為x2y24，將直線的參數(shù)方程代入上式，得s26s100，設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為s1，s2.s1s26，s1s210.|AB|s1s2|2.重難點(diǎn)突破【例4】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)) M是C1上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足2，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|. 解析 (1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M.由于

6、M點(diǎn)在C1上，所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(5分)(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為4sin ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為8sin .射線與C1的交點(diǎn)A的極徑為14sin ，射線與C2的交點(diǎn)B的極徑為28sin .所以|AB|21|2.(10分)鞏固提高1已知O1和O2的極坐標(biāo)方程分別是2cos和2asin(a是非零常數(shù))(1)將兩圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若兩圓的圓心距為，求a的值解：(1)由2cos，得22cos.所以O(shè)1的直角坐標(biāo)方程為x2y22x，即(x1)2y21.由2asin，得22asin.所以O(shè)2的直角坐標(biāo)方程為x2y22ay，即x2(ya)2a2.(2)O1與O2的

7、圓心距為，解得a±2.2已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P，傾斜角，圓C的極坐標(biāo)方程為cos.(1)寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)l與圓C相交于兩點(diǎn)A，B，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積解：(1)直線l的參數(shù)方程為即(t為參數(shù))由cos得cossin，所以2cossin，得22，(2)把代入22，得t2t0.|PA|·|PB|t1t2|.3以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1，5)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，若直線l過點(diǎn)A，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑(1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；(2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)

8、系解：(1)由題意，直線l的普通方程是y5(x1)tan，此方程可化為，令a(a為參數(shù))，得直線l的參數(shù)方程為(a為參數(shù))如圖，設(shè)圓上任意一點(diǎn)為P(，)，則在POM中，由余弦定理，得PM2PO2OM22·PO·OMcosPOM，422422×4cos.化簡得8sin，即為圓C的極坐標(biāo)方程(2)由(1)可進(jìn)一步得出圓心M的直角坐標(biāo)是(0,4)，直線l的普通方程是xy50，圓心M到直線l的距離d>4，所以直線l和圓C相離4已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox方向?yàn)闃O軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos()(1)求直線l的傾斜角；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解：(1)直線參數(shù)方程可以化為根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，這條直線是經(jīng)過點(diǎn)(0，)，傾斜角為60°的直線(2)l的直角坐標(biāo)方程為yx，2cos()的直角坐標(biāo)方程為221，圓心(，)到直線l的距離d.|AB|.5已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合，且兩個(gè)坐標(biāo)系的單位長度相同，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos.(1)若直線l的斜率為1，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)若直線l與曲線C相交弦長為2，求直線l的參數(shù)方