高考數(shù)學(xué)模擬試卷新課標

1、2021年高考數(shù)學(xué)模擬試卷(新課標)1.以下命題中，錯誤的選項是().(A) 過平面 外一點可以作無數(shù)條直線與平面平行(B) 與同一個平面所成的角相等的兩條直線必平行(C) 假設(shè)直線l垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，那么直線 I必垂直平面(D) 垂直于同一個平面的兩條直線平行2集合 A XX2 3x 20 ,Bxa門0，a0 ,假設(shè)“ x A是“ x B的充分非必要條件，那么 a的取值范圍是().(A) 0 a 1(B) a 2(C) 1 a 2(D) a 12(A) x2y 1 0(C) x2y2 x x 1 0uuuSnn,-uuuran的前n項和為Sn，向量OP,ORnm,Smuuurk蛍,k

2、*uurrmurUULTOP,n> m、k N* ，且 OPOROF2，那么用n、m、k表示().4.等差數(shù)列m3.假設(shè)曲線f(x,y) 0上存在兩個不同點處的切線重合，那么稱這條切線為曲線的自公切線，以下方程的曲線有自公切線的是().(B)|x| <4 y2 1 02(D) 3x xy 10k mk n/ n m/ r、 n m(B)(C)(D)k nk mk mn k(A)limn1 3 5 L (2n 1)23n2 3n 16 .關(guān)于方程2x312x 31的解為全集U集合Py |y丄,0 x 1 ，那么 ejP =x設(shè)x R，向量a(x,1),(1,2)，且 a b，那么 |

3、a b|9 .在 ABC 中，假設(shè) A 60o ,B 45°，BC 3,2，那么 AC10 .在極坐標系中,2102 與=2的交點的極坐標為11用一平面去截球所得截面的面積為 球的體積3 cmf，球心到該截面的距離為1 cm,那么該cm12 .復(fù)數(shù)z a bi a、b R，且b 0，假設(shè)z2 4bz是實數(shù)，那么有序?qū)崝?shù)對a, b可以是.寫出一個有序?qū)崝?shù)對即可13 .關(guān)于 x的不等式ax2 3ax a 2 0的解集為 R，那么實數(shù)a的取值范圍.14 設(shè)摩天輪逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，24分鐘旋轉(zhuǎn)一周，輪上觀光箱所在圓的方程為x2 y2 1 .時間t 0時，觀光箱A的坐標為丄，一色，那么當0

4、t 24時單位：2 2分，動點A的縱坐標y關(guān)于t的函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .a 415 假設(shè)不等式x y 16對任意正實數(shù)x、y恒成立，那么正實數(shù)a的最小值為_ .x y16 計算機畢業(yè)考試分為理論與操作兩局部，每局部考試成績只記“合格與“不合格，只有當兩局部考試都“合格者，才頒發(fā)計算機“合格證書甲、乙兩人在理論考試中“合格的概率依次為 4、2，在操作考試中“合格的概率依次為1、5，所有考試5 32 6是否合格，相互之間沒有影響.那么甲、乙進行理論與操作兩項考試后，恰有1人獲得“合格證書的概率.17.數(shù)列 an ,對任意的k N*，當n 3k時，an an ；當n 3k時，an n ,3那么該數(shù)

5、列中的第 10個2是該數(shù)列的第 項.sin x,x0,218 .對于函數(shù)f(x)1，有以下4個命題2f(x2),x(2,)任取x1> x20,，都有f (N)儂)2恒成立； f(x) 2kf (x 2k)(k N )，對于一切x0,恒成立； 函數(shù)y f(x) ln(x 1)有3個零點；k9 對任意x 0，不等式f(x)恒成立，那么實數(shù)k的取值范圍是 -，x8那么其中所有真命題的序號是 .19 如圖，在體積為的正三棱錐 A BCD中，BD長為2飛,E為棱BC的中點,求(1) 異面直線 AE與CD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);(2) 正三棱錐A BCD的外表積.20 .如圖，點A

6、B是單位圓O上的兩點，點C是圓O與x軸的正半軸的交點，將銳角 的終邊OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 一到OB.3(1)假設(shè)點A的坐標為 3,4，求1 Sin2 的值;5 51 cos 2(2)用表示 BC， 并求 BC 的取值范圍 21 .為了尋找馬航 MH370殘骸，我國“雪龍?zhí)柨瓶即?021年3月26日從港口 O出發(fā)，沿北偏東角的射線OZ方向航行，而在港口北偏東角的方向上有一個給科考船補給物資的小島 A，OA 300、13海里，且tan cos 2 .現(xiàn)指揮部需3 岳要緊急征調(diào)位于港口 O正東m海里的B處的補給船，速往小島 A裝上補給物資供應(yīng)科 考船該船沿BA方向全速追趕科考船，并在 C處相遇經(jīng)測

7、算當兩船運行的航線與海 岸線OB圍成的三角形OBC的面積S最小時，這種補給方案最優(yōu).oB(1)求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S(m)；(2)應(yīng)征調(diào)位于港口正東多少海里處的補給船只，補給方案最優(yōu)？22 設(shè)橢圓1的中心和拋物線2的頂點均為原點 O , 1、 2的焦點均在x軸上，過2的焦點F作直線l，與2交于A、B兩點，在1、2上各取兩個點，將其坐標記錄于x324y2怎04旻2(1)求1 ,2的標準方程;Sa f ab(2)假設(shè)I與!交于c、D兩點，F(xiàn)o為!的左焦點，求 0的最小值;Sa F0CD(3)點P、Q是1上的兩點，且0POQ，求證:12OP2為定值;反之,OQ12OP12OQ為此定值時,OP OQ

8、是否成立？請說明理由23.曲線C的方程為y2 4x,過原點作斜率為1的直線和曲線C相交，另一個交 點記為R，過R作斜率為2的直線與曲線 C相交，另一個交點記為 P2，過F2作斜率 為4的直線與曲線C相交，另一個交點記為P3，如此下去，一般地，過點Pn作斜率為2n 的直線與曲線C相交，另一個交點記為 Pn 1，設(shè)點Pn(xn , yn) ( n N* ).(1)指出y，并求yn 1與yn的關(guān)系式(n N* )；t *(2)求y2n1( n N )的通項公式，并指出點列R , P3, , P2n 1 , 向哪一點 無限接近？說明理由;(3)令 any2n 1y2n 1，數(shù)列Sn的前n項和為Sn，設(shè)

9、0求所有可能的乘積bi bj (1 i j n)的和.參考答案1. B【解析】試題分析：按順序考察，對 A，我們知道，我平面外一點有且只有一個平面與這個平面平 行，而那個平面內(nèi)的所有直線與與這個平面平行，故A正確；對B，如圓錐的所有母線與底面所成的角都相等，但它們不平行，B錯誤，應(yīng)選B . C、D是線面垂直的判定與性質(zhì)定理.考點：線面平行與垂直的判定與性質(zhì).2. A【解析】試題分析：由題意 A x|1 x 2 , B x|x2或 xa，題設(shè)條件說明 A B，所考點：解不等式，充分必要條件.3. C【解析】試題分析：A中曲線方程為yx21，曲線是拋物線，沒有自公切線,B中方程化簡為2 2 24，

10、此曲線是兩段劣圓弧，不存在x 0 時，x 1 y 4, x 0時，x 1自公切線，c中曲線如以下圖，是兩個圓弧，相應(yīng)的兩個圓有公切線，即曲線有自公切線,考點：方程與曲線，曲線的切線.4. C【解析】試題分析：由題意uuu線上，那么由OPSna1nuurOPn 12uurOP2得Snd，所以 P(n, ) , R(m,1，且n考點：向量中三點共線的性質(zhì),向量的線性表示.5.-3【解析】試題分析：limn1 3 5 L3n2 3n 1(2n 1)limn3n22 n3n 1考點：數(shù)列的極限.6. 2【解析】試題分析：原方程為2x(2x 3) 3 1，即(2x)23 2x以2x考點:行列式，指數(shù)方程

11、.7.,1【解析】試題分析：P y|y 1(1,)，所以ep(,1.考點：集合的運算.【解析】Smmlimn),P2(k,Sk)在同一條直k選 C.k mk ,解得(2x4)(2x 1)0，所r rr rr r 號試題分析：由題意 a b x2 0, x 2, a b (3, 1), a b(1) 屁.考點：向量垂直與向量的模.3239. 2,3試題分析:由正弦定理得AC sin BBC，即 ACsin Asin 4532 sin 60，解得AC 2 3考點：正弦定理.10.(1,)2【解析】試題分析:由題意211，故其交點極坐標為(1,).22考點：曲線的交點坐標.【解析】11.【解析】試題

12、分析設(shè)截面圓半徑為r ,那么2 2r 3， r 3，球半徑為R，那么22243323R2 r2 d2 3 1 4，R 2，所以 V - R3(cm3)33考點：球的截面的性質(zhì)，球體積公式.12.2,1或滿足a 2b的任意一對非零實數(shù)對【解析】試題分析：z2 4bz (a bi)2 4b(a bi)a2 b2 4ab (2ab 4b2)i 是實數(shù)，那么22ab 4b 0，由于 b 0 ,故 a 2b .考點：復(fù)數(shù)的概念.【解析】a 0,試題分析：a 0時，不等式為 2 0,恒成立，當a 0時，有29a 4a(a 2)0,88解得 a 0，綜上有 a 0.55考點：不等式恒成立問題，二次不等式的解

13、集.14. 2,14【解析】試題分析:由題意，T 24，設(shè) ysin( t)，貝U,又 sin (0).3241223一,即ysi n( t),2kt2k(kZ),31232123224k 2t 24 k14，取 k 0 ,那么 2 t 14.考點：三角函數(shù)的解析式與性質(zhì).15. 4試題分析a 4(x y)()x y【解析】a 4ay a 4 4 . a (、a 2)2y x(、a 2)216 a 4，因此a最小值為4.考點：根本不等式.16.2345【解析】4 12255乙合格的概率是兩人中恰有1人合格5 25369試題分析：甲合格的概率為252 523的概率是(1) (1)595 945考

14、點：相互獨立事件有一個發(fā)生的概率.17 . 39366 ( 2 39)【解析】試題分析：由題意,a22 , a6a63a2 2 ,由此可得a23k故第10個2應(yīng)該是A23)2，即第2 39項.考點：數(shù)列的通項公式與數(shù)列的項.1&【解析】試題分析：從函數(shù)的定f(x)最大=，f (x)最小f(Xi) f(X2)1( 1)2f(x 2k)1 f (x 2k 2)2122 f(x2k 4)f(x 2k2'2i) L12kf (x),因此kf (x)2k f(x 2k)，錯誤;函數(shù) yf (x)與y ln(x 1)的圖象如以下圖所求，它們有個交點，因此方程f (x)ln(x 1)有3個解

15、，正確；對，由于f()5122,9 5 2 1，即 k8 2 20 2不等式或圖象可知f(x)極大值f (2 nkf (x)不恒成立，故錯誤.(事實上從函數(shù)定義x12“ 1(n N*)，因此不等式f(x)k一要成立，必須有x12* 1k2n 1 -22n §，而當2n 1n N*時，f畀的最大值為5(n 2時取得)，故k5 ),故填.4考點：函數(shù)的綜合應(yīng)用.19. (1)arccos6 ; (2) 3 ： 64【解析】試題分析：1此題求異面直線所成的角， 根據(jù)定義要把這個角作出來， 一般平移其中一條， 到與另一條相交為此，題中由于有BC的中點E，因此我們以BD中點F，就有EF / C

16、D， 那么 AEF就是所求的角或其補角；2要求正三棱錐的外表積，必須求得斜高，由已 知體積，可以先求得棱錐的高，取BCD的中心O，那么AO就是棱錐的高，下面只要根據(jù)正棱錐的性質(zhì)正棱錐中的直角三角形應(yīng)該能求得側(cè)棱長或斜高，有了斜高，就能求得 棱錐的側(cè)面積了，再加上底面積，就得到外表積了.3 A0 二 一 3 得 AO1 理1分文2 分又在正三角形BCD中得OE=1，所以AE . 2理2分文4分取BD中點F，連結(jié) AF、EF，故 EF / CD ,所以AEF就是異面直線AE與CD所成的角.理4分文6分所以AEF 中，AE AF.2 , EFEF2 AF23,理5分文8分AE2cos AEF2 AE

17、 EF64試題解析：1過點 A作AO 平面BCD，垂足為 O，貝U OBCD的中心，由所以，異面直線 AE與CD所成的角的大小為V6arccos4理7分文12分2由AE 、2可得正三棱錐 A BCD的側(cè)面積為S 3 BC AE 2、3 2 3、6理 10 分2 2所以正三棱錐A BCD的外表積為S 3、6 BC23.6 33.理 12 分4考點：1異面直線所成的角；2棱錐的體積與外表積.4920. (1) 49 ;18(2)BC2 2cos(可),BC (1,【解析】3 4試題分析：1 單位圓上點A的坐標為-,-,根據(jù)三角函數(shù)的定義有5 5341 si n2cos ,sin，這樣我們很快可求得

18、 sin2 ,cos 2，也即求出的值；2551 cos2BC在 OBC中，此三角形的兩邊長為2能求得BC的長，BC 2 2cos1, BOC而，因此只要應(yīng)用余弦定理就3，要求其范圍，首先求得的范圍，根據(jù)33(,5 )，此時可得cos(336.3 1)(,)，那么必有BC322(1,2. 3),BC的范圍隨之而得,BC任試題解析:(1)由,3 . cos ,sin52 分sin 22si ncos24,cos 225cos2sin254分1 sin 21 cos 224251 厶2549186分(2)由單位圓可知:由余弦定理得:1 1 2cosBC21,2OCOBCOB8 分BC2OC + O

19、B-2 OC OBcosCOBBC2coscos10 分12 分考點：(1)三角函數(shù)的定義與求值;14 分(2)余弦定理與三角函數(shù)的范圍問題.21. 1 Sm 300m m 700 ; 2 1400. m 700【解析】試題分析：(1)此題條件可以理解為BOC是固定的，點A也是不變，直線BC過點A ,要求 BOC面積的最小值，根據(jù)條件，我們用解析法來解題，以O(shè)為坐標原點，向東方向為x正半軸，向北方向為y軸正半軸，建立直角坐標系，那么可得直線OZ的方程為y 3x，點A坐標為(900,600)，又有點B坐標為(m,0)，可得直線BA方程，它與直線OZ1的交點C的坐標可解得，而 S OBC 2 OB

20、 yc，這樣要求的表達式就可得；(2)在(1)根底上，S分母是關(guān)于2300m ，其最小值求法，把分式的分子分母同時除以m2，得y 300 -，m 70070012 m m1丄的二次函數(shù)，最值易求.試題解析:(1)以O(shè)點為原點，正北的方向為 y軸正方向建立直角坐標系,(1 分)那么直線OZ的方程為y 3x ,設(shè)點A ( xo, yo),那么Xo300 13sin 900，y0300.13cos600，即 A( 900，600)，(3 分)由此得到0)，那么直線C點坐標為:AB的方程為：y -600900(x m)， m(4分)200m600m(m 700，m 700)'(6分)S(m)2

21、2|OB| |yc| m00700(m 700)(8 分)(2)由(1)知S(m)込m 700300700 丄 2" m m(10 分)30070012- m m30011 _2 V700()2m 14002800(12 分)1所以當丄m，即 m 1400時，S(m)最小,1400m2 2300 m300(t 700)(或令 t m 700，那么 S(m)m 700300(t 嚴 1400)840000,當且僅當m 1400時，S(m)最小)征調(diào)m 1400海里處的船只時，補給方案最優(yōu)(14 分)考點：解析法解應(yīng)用題22. (1)2 2441,22: y 4x. ； (2)(3)證明

22、見解析【解析】試題分析:(1)分析哪些點在橢圓上，哪些點在拋物線上，顯然(2,0)是橢圓的頂點，因從而點(-3,3)是橢圓上的點，另兩點在拋物線上，代入它們的標準方程可求得其方程;2(2) F°AB與 F°CD的頂點都是F。，底在同一直線上，因此基、其面積之比為底的比,即'F0ABSa f0cdABCD，這樣我們只要求出直線 l與兩曲線相交弦長即可，直線4%X2,當然由于只有把OP , OQy kx b與曲線f (x, y) 0交于兩點，其弦長為.(1 k2)(X1 X2)2直線過圓錐曲線的焦點， 弦長也可用焦半徑公式表示；(3)從題意可看出,求出來，才能得出結(jié)論，

23、為了求OP , OQ，我們可設(shè)OP方程為ykx，那么OQ方程為1y kX，這樣OP , OQ 都能用k表示出來，再計OQ可得其為定值右，反之假設(shè)OP1 2，我們只能設(shè) OP方程為y2 12OQOQ方程為y k2X，分別1,那么就一定有OP OQ ,求出OP , OQ ,代入此式，得出k1k2,如果一定能得到k1k2 否那么就不一定有OP OQ.在拋物線上,試題解析：(1) -2,0 ,在橢圓上，3,2,3 , 4,-422x1： 42: y24x.(4分)(2)(理)設(shè)F。到直線l的距離為d, S=Saf°cdId CD2ABCDF(1,0)是拋物線的焦點，也是橢圓的右焦點，當直線I

24、的斜率存在時,設(shè) I : y k(x1)，設(shè) A(x1,y1), B(X2,y2), C(X3,yJ,D(x 4, y4)2聯(lián)立方程yy4xk(x 1)得 k2x2(2k2 4)xk20時 0恒成立.AB1 k2X2(也可用焦半徑公式得:2x聯(lián)立方程 72y3k(xX11)CD1 k2x3x4AB21 k2 16 16kx x2k2k4k2k2""(5分)22得(3+4 k ) x8k2x4k2120恒成立.k2144 144k212(34k2)21 k23 4k2(6分)k24k23 k2(8 分)Sa f0ab =k2Sa f0cd 12 1 k223 4k2當直線I的

25、斜率不存在時,此時,AB 4， CD& f°ab _ 43， =Sa f°cd 3(9分)10 分所以，SF0AB的最小值為4SA F°CD33理證明：假設(shè) P、Q分別為長軸和短軸的端點，那么OP17 11 分假設(shè)P、Q都不為長軸和短軸的端點,設(shè) OP:y kx;那么 OQ:yx.PXp,yp,kQXq, yQ2x聯(lián)立方程匸2y3kx11，解得2Xp124k223，yp12k24k212 分同理，聯(lián)立方程2y31xk，解得2Xq12k23k242 ,yQ12 ；2 ；3k 4OPOQ123 4k212k234k212k23k2 4123k27k212k21

26、3 分12 121 17反之，對于 1上的任意兩點P、Q，當 22 時,OP |OQ 12設(shè) OP : y k1x， OQ : y k2x，易得2 12212k12212212k22Xp4k,yp尿廠飛；Xq花廠飛，yQ花廠飛，由丄丄工得坨丄毘2 Z，OP2 OQ21212k12 1212k2212121， 15 分即 8k12k22 7k127k226 7k12k22 k12k221，亦即k1k2117所以當 22為定值 時，OP OQ不成立16分OP OQ12“反之的方法二：如果有 OP OQ，且OQ不在坐標軸上，作 OQ關(guān)于坐標軸對稱的射 線與1交于Q'，OQ OQ'，顯

27、然，OP OQ與OP OQ'不可能同時成立.考點：1橢圓、拋物線的標準方程；2直線與圓錐曲線相交弦長問題；3直線與圓錐曲線的綜合問題1 841 n1 *16823 1 ymyn4n; 2y2n 1f325 N ,&，3； 32 33 49342n 3 5 4n 2+1645【解析】 試題分析：1由于&盼 2n，點Pn, F> 1又都是拋物線上的點， 代入進去變形可得到 yn1與yn1的關(guān)系為yn 1yn4Gn ； 2由于只要求數(shù)列 y.的奇數(shù)項，因此把1中得到的關(guān)系式中n分別為2n 3,2n 2代換，得到兩個等式相減可得y2n 1與y2n 3的關(guān)系式y(tǒng)2n 1y2n 3n時,2