課題簡單的線性規(guī)劃問題

1、課題：簡單的線性規(guī)劃問題一、教材分析：1、教材的地位與作用： 線性規(guī)劃是運籌學(xué)的一個重要分支，在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié) 內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了不等式、 直線方程的基礎(chǔ)上， 利用不等式和直線方程的有關(guān)知識 展開的，它是對二元一次不等式的深化和再認識、 再理解。通過這一部分的學(xué)習(xí)， 使學(xué)生進一步了解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用， 體驗數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方 法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決實際問題的能力。2、教學(xué)重點與難點：重點： 畫可行域；在可行域內(nèi) , 用圖解法準確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。 難點：在可行域內(nèi) , 用圖解法準確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。二、目標分析：在新課標讓學(xué)生

2、經(jīng)歷“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的理念指導(dǎo)下，本節(jié)課 的教學(xué)目標分設(shè)為知識目標、能力目標和情感目標。知識目標：1、了解線性規(guī)劃的意義，了解線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行 域和最優(yōu)解等概念；2、理解線性規(guī)劃問題的圖解法；3、會利用圖解法求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解能力目標：1、在應(yīng)用圖解法解題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、理解能力。2、在變式訓(xùn)練的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、探索能力。3、在對具體事例的感性認識上升到對線性規(guī)劃的理性認識過程中，培養(yǎng)學(xué)生運 用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力和化歸能力。情感目標：1、讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，體驗數(shù)學(xué)在建設(shè)節(jié)約型社會中的 作用，品嘗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣

3、。2、讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勇于探索的精 神；3、讓學(xué)生學(xué)會用運動觀點觀察事物，了解事物之間從一般到特殊、從特殊到一 般的辨證關(guān)系，滲透辯證唯物主義認識論的思想。三、過程分析：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。因此，我將整個教學(xué)過程分為以下六個教學(xué)環(huán)節(jié)：1、創(chuàng)設(shè)情境， 提出問題；2、分析問題，形成概念；3、反思過程，提煉方法；4、變 式演練，深入探究；5、運用新知，解決問題；6歸納總結(jié)，鞏固提高。1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：在課堂教學(xué)的開始，我以一組生動的動畫（配圖片）描述出在神奇的數(shù)學(xué)王 國里，有一種算法廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)、軍事、交通運輸、決策管理與規(guī)劃等領(lǐng)域， 應(yīng)用它已節(jié)

4、約了億萬財富，還被列為20世紀對科學(xué)發(fā)展和工程實踐影響最大的十 大算法之一。它為何有如此大的魅力？它又是怎樣的一種神奇算法呢？我以景激 情，以情激思，點燃學(xué)生的求知欲，弓I領(lǐng)學(xué)生進入學(xué)習(xí)情境。接著我設(shè)置了一個具體的“問題”情境，即2006世界杯冠軍意大利足球隊（插 圖片）營養(yǎng)師布拉加經(jīng)常遇到的這樣一類營養(yǎng)調(diào)配問題：甲、乙、丙三種食物的維生素A、B的含量及成本如下表：甲乙丙維生素A （單位/千克）400600400維生素B （單位/千克）800200400成本（元/千克）765布拉加想購這三種食物共10千克，使之所含維生素A不少于4400單位，維生 素B不少于4800單位，問三種食物各購多少時成

5、本最低，最低成本是多少？同學(xué)們，你能為布拉加解決這個棘手的問題嗎？首先將此實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。我請學(xué)生完成這一過程如下：解：設(shè)所購甲、乙兩種食物分別為x、y千克，則丙食物為10 x y千克.由題意可知x、y應(yīng)滿足條件：400 x + 600 y + 400(10 - x - y) K 4400800 x + 200y + 400(10 x y)王 4800丿x ±0y Z010-x-y_0八2即 2x - y _ 4x + y 蘭 10又設(shè)成本為 z元，貝U z= 7x+ 6y+ 5 (10 x y)= 2x + y+ 50.于是問題轉(zhuǎn)化為：當x、y滿足條件'八2=2x-

6、yX4 ，求成本z=2x+y+50的最小值問題。x + y <10【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界的反映。通過學(xué)生關(guān)注的熱點問題引入， 激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生的思考，培養(yǎng)學(xué)生從實際問題抽象出數(shù) 學(xué)模型的能力。2、分析問題，形成概念那么如何解決這個求最值的問題呢？這是本次課的難點。我讓學(xué)生先自主探究，再分 組討論交流，在學(xué)生遇到困難時，我運用化歸和數(shù)形結(jié)合的思想引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題，突破難 點：學(xué)生基于上一課時的學(xué)習(xí)，討論后一般都能意識到要將不等式組表示成平面區(qū)域。（教師動畫演示畫不等式組表示的平面區(qū)域。）于是冋題轉(zhuǎn)化為當點（x， y）在此平面區(qū) 域內(nèi)運動時，如何求z=2x+y+50的最小值的問題

7、。由于此問題難度較大，我試著這樣引導(dǎo) 學(xué)生：由于已將x，y所滿足的條件幾何化了，你能否也給式子 z=2x+y+50作某種幾何解釋 呢？學(xué)生很自然地想到要將等式 z=2x+y+50視為關(guān)于x，y的一次方程，它在幾何上表示直 線。當z取不同的值時可得到一族平行直線。于是問題又轉(zhuǎn)化為當這族直線與此平面區(qū)域有公共點時，如何求z的最小值。這一問題相對于部分學(xué)生來說仍有一定的難度，于是我繼 續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：如何更好地把握直線 2x+y+50= z的幾何特征呢？學(xué)生討論交流后得出要將其 改寫成斜截式y(tǒng)=-2x+z-50。至此，學(xué)生恍然大悟：原來 z-50就是直線在y軸上的截距，當 截距z-50最小時z也最小。于

8、是問題又轉(zhuǎn)化為當直線 y=-2x+z-50與平面區(qū)域有公共點時， 在區(qū)域內(nèi)找一個點P，使直線經(jīng)過點P時在y軸上的截距最小。（緊接著我讓學(xué)生動手實踐，用作圖法找到點 P （3, 2）,求出z的最小值為58,即最 低成本為58元。）【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造。讓學(xué)生自主探究，體驗數(shù)學(xué)知識 的發(fā)生、發(fā)展的過程，體驗轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，從而使學(xué)生更好地理 解數(shù)學(xué)概念和方法，突出了重點，化解了難點。就在學(xué)生趣味盎然之際，我就此給出相關(guān)概念：不等式組是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式， 所以又稱為線性約束條件。z=2x+y+50是欲達到最大值或最小值所

9、涉及的變量 x、y的解析 式，叫做目標函數(shù)。由于z=2x+y+50又是x、y的一次解析式，所以又叫做線性目標函數(shù)。一般的，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。 其中使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解都叫做這個問題的最優(yōu)解。象上述求解線性規(guī)劃問題的方法叫圖解法。由前面實際問題的解決自然地過渡到新概念的講解，使得知識的銜接較 為順暢，概念的形成水到渠成。3、反思過程，提煉方法解題回顧是解題過程中重要又常被學(xué)生忽略的一個環(huán)節(jié)。我借用多媒體輔助教學(xué)，動態(tài)演示解題過程，引導(dǎo)學(xué)生歸納、提煉求

10、解步驟：（1）畫可行域畫出線性約束條件所確定的平面區(qū)域；（2）過原點作目標函數(shù)直線的平行直線I 0；（3）平移直線I 0，觀察確定可行域內(nèi)最優(yōu)解的位置；（4）求最值一一解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入目標函數(shù)求最值。簡記為畫作移求四步。4、變式演練，深入探究為了讓學(xué)生更好地理解圖解法求線性規(guī)劃問題的內(nèi)在規(guī)律， 我在例1的基礎(chǔ)上設(shè)計了 例2和兩個變式：例2.設(shè)z=2x-3y式中變量x、y滿足下列條件x-4y 乞-33x 5y乞25，求z的最大值和最小值。x -1【設(shè)計意圖】進一步強調(diào)目標函數(shù)直線的縱截距與 z的最值之間的關(guān)系， 有時并不是截距越大，z值越大。變式1.設(shè)z=ax+y，式中變量x

11、、y滿足下列條件x-4y 乞-3*3x + 5y蘭25 ，若目標函數(shù)z僅在點（5, 2）處取到最大值，求a的取值范圍< x >1變式2.設(shè)z=ax+y，式中變量x、y滿足下列條件x-4y 蘭-3 3525 ，若使目標函數(shù)z取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，求 a的值。x >1【設(shè)計意圖】用已知有唯一（或無數(shù)）最優(yōu)解時反過來確定目標函數(shù)某些 字母系數(shù)的取值范圍來訓(xùn)練學(xué)生從各個不同的側(cè)面去理解圖解法求最優(yōu)解 的實質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。（以上兩個變式均讓學(xué)生用幾何畫板進行實驗，探求解決方法。并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出： 最優(yōu)解一定位于多邊形可行域的頂點或邊界直線處。）5、運用新知，解決問題“學(xué)

12、數(shù)學(xué)而不練，猶如入寶山而空返”。為了及時鞏固知識，反饋教學(xué)信息， 我安排了如下練習(xí)：練習(xí)1:教材p64練習(xí)第1題【設(shè)計意圖】及時檢驗學(xué)生利用圖解法解線性規(guī)劃問題的情況。練習(xí)2:設(shè)z=2x+y，式中變量x、y滿足下3蘭x+y5列條件，求z的最大值和最小值。1xy3（學(xué)生獨立完成鞏固性練習(xí)，老師投影有代表性的學(xué)生解答過程，給予積極性的評價, 并強調(diào)注意點。同座同學(xué)間相互交流、批改和更正。）【設(shè)計意圖】除了幫助學(xué)生鞏固新學(xué)的知識，還能引導(dǎo)學(xué)生運用新知 識，迅速清楚地發(fā)現(xiàn)以前用解不等式的知識錯解此類題的原因。讓學(xué)生再一次深刻體會到數(shù)形結(jié)合的妙處， 同時又鞏固了舊知識，完善了 知識結(jié)構(gòu)體系。6歸納總結(jié)，

13、鞏固提高（1）歸納總結(jié)為使學(xué)生對所學(xué)的知識有一個完整而深刻的印象，我請學(xué)生從以下兩方面自己小結(jié)。（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？（2）學(xué)到了哪些思考問題的方法？（學(xué)生回答）【設(shè)計意圖】有利于學(xué)生養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識納入已有的認知結(jié)構(gòu)，同時也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達的能力。（2）鞏固提高布置作業(yè)：1閱讀本節(jié)內(nèi)容，完成課本 P65習(xí)題7.4第2題2.思考題：設(shè)z=2x-y，式中變量x、y滿足下列條件'X- 4y蘭-3且變量x、y為整數(shù),求z的最大值和最小值。3x 5y 乞 25x色1【設(shè)計意圖】讓學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容并進行自我檢測與評價，并為下一 課時解決實際問題中的最優(yōu)解是整數(shù)解的教學(xué)埋下伏筆。四、教法分析：鑒于我校高二學(xué)生已具有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和較強的分析問題、解決問題的能力，本節(jié)課我以學(xué)生為中心，以問題為載體，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的教學(xué)方法。（1）設(shè)置“問題”情境，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望；（2）提供“觀察、探索、交流”的機會，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，有效地調(diào)動學(xué)生思維, 使學(xué)生在開放的活動中獲取知識。（3）利用多媒體輔助教學(xué)，直觀生動地呈現(xiàn)圖解法求最優(yōu)解的過程，既加大課堂信息量，又提高了教學(xué)效率（4）指導(dǎo)學(xué)生做到“四會” ：會疑；會議；會思；會變。