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文檔簡介

1、 A1k = Qk Rk ，我們利用 A1k 求 Qk ，然后討論 Qk 的收斂性。 由定理條件 A = A1 = XDX 1 ，得 A1k = XD k X 1 = XD k LU = X ( D k LD k ( D kU 令 D k LD k = I + Bk (k 其中 Bk 的 (i, j 元素 bij 為 (k bij i k lij ( , i j , lij L = j 0 , i j 于是 A1k = X ( I + Bk ( D kU i i j 由假設(shè)，當 時， j, k (k aij ( j i 的極限不一定存在。 例5 用 QR 算法求矩陣 5 2 1 0 A= 0

2、2 0 0 5 3 2 1 1 2 3 2 的特征值。 A 的特征值為 1 , 4 , 1 + 2i , 1 2i 。 解 令 A1 = A ，用施密特正交化過程將 A1 分解為 A1 = Q1 R1 0.9806 0.0377 0.1923 0.1038 5.0992 1.9612 5.4912 0.3922 0.1961 0.1887 0.8804 0.4192 0 2 . 0381 1 . 5852 2 . 5288 = 0 0.9813 0.1761 0.0740 0 0 2.5242 3.2736 0 0.3962 0.8989 0 0 0 0.7822 0 將 Q1 與 R1 逆序相乘，求出 A2 4 .6517 0 . 3997 A 2 = R1 Q 1 = 0 0 5 .9508 1 .9401 2 .4770 0 1 .5299 2 . 5171 0 . 8525 0 . 3099 0 .2390 1 .5361 3 .1294 0 . 7031 用代替 A1 重復(fù)上面過程，計算11次得 28 A12 4 .0000 0 = 0 0 1 .8789 1 .3290 0 3 . 5910 0 . 1211 0 1 . 0000 由 A12 不難看出， 矩陣 A 的一個特征值是4， 另一個特征值是-1， 其他兩個特征值是方程 1

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