梁索耦合結(jié)構(gòu)的風(fēng)致渦激振動

1、第24卷第2期2011年4月振動工程學(xué)報(bào)V ol. 24N o. 2A pr. 2011梁索耦合結(jié)構(gòu)的風(fēng)致渦激振動黃坤, 馮奇(同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院, 上海200092摘要:新建了一個描述梁索耦合結(jié)構(gòu)風(fēng)致縱向平面渦激振動的非線性偏微分方程組。通過Ga ler kin 方法將此偏微分方程組化為時(shí)域上的非線性常微分方程組。用多尺度法求解了所得的常微分方程組, 得到了結(jié)構(gòu)在風(fēng)的渦激頻率和結(jié)構(gòu)固有頻率接近情況下的一次近似解。分析結(jié)果顯示, 結(jié)構(gòu)在任意模態(tài)的振動均包含兩個振動頻率。當(dāng)風(fēng)的渦激頻率接近結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí), 結(jié)構(gòu)振幅突然快速增大。這和T acoma 橋上觀察到的渦激振動情況一致。所得到的

2、一次近似解和分析方法可以為實(shí)際工程中梁索耦合結(jié)構(gòu)的風(fēng)致渦激振動提供簡便的驗(yàn)算方法。關(guān)鍵詞:梁索耦合; 渦激振動; Galerkin 法; 多尺度法; 內(nèi)共振中圖分類號:O 322; T B123文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1004-4523(2011 02-0139-07引言 結(jié)構(gòu)的風(fēng)致振動問題是一個迄今為止未解決的復(fù)雜問題。自1940年美國Tacoma 橋在風(fēng)致振動中倒塌以來, 該類結(jié)構(gòu)在風(fēng)載荷中的動力學(xué)特性就成為研究的熱點(diǎn)。對于一般的懸索橋形式的梁索耦合結(jié)構(gòu)振動問題已經(jīng)有了大量的研究13。其中文獻(xiàn)3對懸索橋的部分?jǐn)?shù)學(xué)模型及得到的結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)。針對T acoma 橋的風(fēng)致振動有大量的文獻(xiàn)進(jìn)行

3、了研究。文獻(xiàn)4討論了懸索橋加勁梁和主纜間吊索松弛對結(jié)構(gòu)振動的影響。文獻(xiàn)5對懸索橋風(fēng)致渦激振動對結(jié)構(gòu)縱向和扭轉(zhuǎn)振動的影響進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)6中Ding , Lee 和Lo 用有限元方法研究了懸索橋在湍流風(fēng)場中的動力學(xué)行為。Li, Chen 和Zhang 在文獻(xiàn)7中對海滄大橋做了風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)研究。Ding 在文獻(xiàn)8中通過偏微分方程組研究了懸索橋在周期氣動外力作用下的周期振動問題。在文獻(xiàn)9中M atsumoto 和Shirato 等通過實(shí)驗(yàn)研究了Tacoma 橋同時(shí)作用氣動垂向力和扭矩時(shí)的動力學(xué)行為, 該研究表明渦誘發(fā)的橋面垂向彎曲振動可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)顫振。但在已有的文獻(xiàn)中, 通過建立能反映風(fēng)的渦激振動

4、的數(shù)學(xué)模型來考慮梁索耦合結(jié)構(gòu)的風(fēng)致渦激振動的文獻(xiàn)還很少。本文通過引入Van der Pol 方程來表示風(fēng)對梁的渦激, 建立了一個新的梁索耦合結(jié)構(gòu)渦激振動數(shù)學(xué)模型. 該模型能解釋在T aco ma 橋上觀察到的渦激振動現(xiàn)象。1模型的建立本文考慮圖1所示懸索橋形式的梁索耦合結(jié)構(gòu)風(fēng)致渦激振動問題。圖1計(jì)算簡圖在文獻(xiàn)10中黃和馮建立了如下能反映圖1所示懸索橋梁索耦合結(jié)構(gòu)主纜曲率對系統(tǒng)影響的平面縱向振動動力學(xué)模型2+a 14+a 25x t+a 3+a 4(x (w -u =v 1(x , t 2-b 12-n (x 2-b 22-n 1(x -b 3(x (w -u =v 2(x , t (1 方程組

5、的邊界條件為(0, t = (l , t =22=22=0,:06:(; (u (0, t =u (l , t =0當(dāng)主纜的曲率較小, 可以省去方程中的非線性項(xiàng)。忽略風(fēng)對主纜的影響, 即令v 2(x , t =0。并在模型中加上主纜的結(jié)構(gòu)阻尼項(xiàng)后, 對方程組(1 進(jìn)行無量鋼化, 令t =m 1t = 0t , (w , u , x =D(w , u , x , (D 為加勁梁的特征參數(shù), 在本文中取為梁的截面回轉(zhuǎn)半徑 代入上述方程后得2t +a 14x +a 25x t+a 3+a 4(w -u =v 1(x , t 2t -b 12x+b 2-n 1+a 5-b 3(w -u =0(2方程組

6、(2 的系數(shù)為a 1=1D 4 20m 1, a 2=s 1D 4 0m 1, a 3=w 0m 1, a 4=20m 1, a 5=s 2 0m 2, b 1=8em 2D 2 20, b 3=m 2 0, n 1(x =D 0,n =21m 2, k =32l 1d 0-u 0(x 。同時(shí)為了討論方便取k =33l 1d 0, n (x =2m 2。在上述參數(shù)表達(dá)式中, m 1為梁單位長度的質(zhì)量, m 2為索單位長度的質(zhì)量, E 3, A 3為吊索的彈性模量和吊桿面積, c s 1為加勁梁的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù), c s 2為主纜的結(jié)構(gòu)阻尼, l 1為吊索的間距, d 0為加勁梁跨中至主纜塔頂?shù)木?/p>

7、離, e =l 。在研究系統(tǒng)的風(fēng)致渦激振動時(shí),風(fēng)對結(jié)構(gòu)的作用v 1(x , t 需體現(xiàn)渦激現(xiàn)象。對于剛性圓柱在流場中的渦激振動已經(jīng)有了詳細(xì)的研究1113。Gosw ami, Scanlan 和Jones 建立了一個單自由度的模型來描述圓柱的渦激振動14。Iw an 建立了兩自由度的模型來描述圓柱的渦激振動15。Sko p 和Balasubr am anian 改進(jìn)了兩自由度的模型16。該模型能更好地描述剛性圓柱的渦激振動。同時(shí)該模型可推廣到彈性圓柱的渦激振動問題上, 所得的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果能很好的吻合。在本文中將把文獻(xiàn)16中提出模型推廣到梁是非圓截面的梁索耦合結(jié)構(gòu)的渦激振動問題上。文獻(xiàn)16把v

8、1(x , t 表示為如下的Van der Pol 方程2t 2- s G (C L 0+4Q 2v 2t +c 3( 2s v = s F t(3式中G , Q , F 為實(shí)驗(yàn)參數(shù), S =D, S 為數(shù)同的非圓截面有不同的數(shù)值11。方程組(2 中的系數(shù)a 3描述的是風(fēng)的阻尼力, 由文獻(xiàn)16, 可表為a 3=a 3 s 。其中a 3為實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù)。把式(3 代入式(2 即可得到忽略索曲率影響的風(fēng)致梁索耦合結(jié)構(gòu)渦激振動的無量鋼化偏微分方程組22+a 144+a 254x t+a 4(w -u =a 5 2s v (x , t -a 3 st22-b 122-n 2+a 5-b 3(w -u

9、=02 t 2- s G (C L 0+4Q 2lv 2t+c 3( 2s v = s F(4 直接求解非線性偏微分方程組(4 是很困難的。對于實(shí)際工程中的結(jié)構(gòu), 渦激振動僅發(fā)生在結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)。故在本文中用Galerkin 法把偏微分方程組(4 在所研究模態(tài)截?cái)? 可把偏微分方程組轉(zhuǎn)換為時(shí)域上的常微分方程組?；趯?shí)驗(yàn)的結(jié)果, 文獻(xiàn)16假設(shè)風(fēng)的自激方程的展開模態(tài)和彈性圓柱的展開模態(tài)相同。在本文中沿用該假設(shè)。故設(shè)w , u , v 的解為如下形式w =j =1w j(t sin j ! xu =j =1u j(t sin j ! x(5v =j =1v j(t sin j ! x式中! =l。對

10、于彈性體的渦激振動, Iw an 和Skop 的研究顯示15, 16, 風(fēng)的渦激展開項(xiàng)中對結(jié)構(gòu)影響最大的是和結(jié)構(gòu)的固有頻率接近的成分。故在本文中, 針對所研究的問題, 僅取v 的第j 個分量, 即令v =v j (t sin j ! x (6 并把式(5 , (6 帶入式(4 后在每個方程兩邊乘以sin j ! x , 并在兩邊同時(shí)在0, D積分(Galerkin 法在第j 階截?cái)?, 省去變量的下標(biāo), 用w , u , v 代替j , u j , v j 后得w ¨+w +#1w-d 11u =1 2s (v -#2 -1s wu ¨+%u +#3u-d 22w =0v

11、¨-2 s v+3 s v 2v+ 2s v =4 s w(7其中系數(shù)為=a 1(j ! 4+d 11, #1=a 2(j ! 4,d 11=a 4, %=b 1(j ! 2+d 22, #2=a 3, #3=a 5, d 22=b 3i (140振動工程學(xué)報(bào)第24卷由實(shí)驗(yàn)確定17。常微分方程組(7 即為梁索耦合結(jié)構(gòu)在第j 階模態(tài)風(fēng)致渦激振動的動力學(xué)方程。2多尺度求解多尺度法是求解非線性微分方程的一種有效的近似方法。該方法適用于大量的非線性振動問題的求解18。本節(jié)將用多尺度法求解出系統(tǒng)的一次近似解析解。首先對方程組(7 重新標(biāo)度, 以便攝動求解。一般情況下風(fēng)對結(jié)構(gòu)的影響相對較小。令1

12、=&2#1, 3=&2#3, 1=&21,2=&22, 4=&24有w ¨+w +&2(#1+1#2 s w-d 11u -&21 2s v =0u ¨+%u +&2#3u-d 22w =0v ¨-&22 s v+3 s v 2v+ 2sv -&24 s w=0(8在工程結(jié)構(gòu)中, 結(jié)構(gòu)的振幅相對結(jié)構(gòu)橫截面尺寸較小, 故設(shè)方程(8 的解為w =&w 1(T 0, T 2 +&3w 3(T 0, T 2 u =&u 1(T 0, T 2 +&3u 3(T 0

13、, T 2 v =&v 1(T 0, T 2 +&3v 3(T 0, T 2 (9其中T 2=&2T 0, 同時(shí)有d t =D 0+&2D 2, 2d t =D 20+2&2D 0D 2+&4D 22把式(9 代入式(8 , 并令&的同次冪相同得如下兩組方程&1階21T 0+w 1-d 11u 1=0210+%u 1-d 22w 1=0(102120+ 2s v 1=0 33=-22302-10+1 2s v 13=-22102-#3102102+2 s 10-4 sw 1設(shè)式(10 的解為w 1=A (T 2 exp(i 11T

14、 0 +B (T 2 ex p(i 12T 0 +ccu 1=1A (T 2 ex p(i 11T 0 +2B (T 2 ex p(i 12T 0 +cc v 1=C (T 2 ex p(i s T 0 +cc(12其中cc 表示其前面各項(xiàng)的復(fù)共軛項(xiàng), i=-1。根據(jù)線性微分方程理論有 21j =2(+% ±(-% 2+4d 11d 22,j =(- 21j d -111, j =1, 2把式(12 代入式(11 , 整理后得2w 3+w 3-d 11u 3=-2i 112+i 11(#1+1#2 s A ex p(i 11T 0 -2i 122+i 12(#1+1#2 s B ex

15、 p(i 12T 0 +1 2s C exp(i s T 0 +cc (13 23T 20+%u 3-d 22w 3=-2i 111T 2+#3i 111A ex p(i 11T 0 -2i 1222+#3i 122B ex p(i 12T 0 +cc(142v 3 T 20+ 2s v 3=-2i sT 2-i 2 2s C +i 3 2s C 2C exp(i s T 0 -i 3 2s C 3exp(i3 s T 0 +4 s i 11ex p(i 11T 0 A +i 12ex p(i 12T 0 B +cc(15根據(jù)式(13 (15 , 由消除長期項(xiàng)的條件可得求解A , B , C

16、的微分方程組。從上面3式可以看出, 當(dāng)風(fēng)的渦激頻率 s 和結(jié)構(gòu)的兩個頻率中的任意個接近時(shí)系統(tǒng)發(fā)生11內(nèi)共振。兩種情況分別討論如下。2. 1風(fēng)的渦激頻率 s 11此時(shí), 令 s = 11+&2(1, 由式(15 可得一個可解性條件為2i s2-i 2 2s C +i 3 2s C 2C -i 4 s 11 ex p(-(1T 2 A =0(16為求出能解出A 和B 的可解條件, 令式(13 和(1419A 21exp(i 11T 0 +B 21ex p(i 12T 0 22ex p(i 11T 0 +B 22ex p(i 12T 0(17141第2期黃坤, 等:梁索耦合結(jié)構(gòu)的風(fēng)致渦激振動

17、exp (i 1j T 0 , (j =1, 2 的系數(shù)相等, 得(- 211 A 21-d 11A 22=-2i 11T 2 +i 11(#1+1#2 s A -1 2s ex p(i (1T 2 C -d 22A 21+(%- 211A 22=-2i 1112+#3i 111A (18(- 212B 21-d 11B 22=-2i 12 T2+i 12(#1+1#2 s B-d 22B 21+(%- 212B 22=-2i 1222+#3i 122B(19由式(19 有i R 12+i R 2B =0(20其中R 1=2 12(%- 212+2d 11 ,R 2= 12(#1+1#2 s

18、(%- 212 +#32d 11求解方程(20 得B =e 1ex p -2R1T 2(21其中e 1為常數(shù)。同時(shí)從 12, 2的表達(dá)式可知R 1, R 2>0。故在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動中, 以頻率 12的振動將迅速衰減。即當(dāng)風(fēng)的激勵頻率接近結(jié)構(gòu)的高頻時(shí), 結(jié)構(gòu)的低頻振動不被激發(fā)。同時(shí)由式(16 , (18 得2i 11 T 2+i 11(#1+1#2 s A -1 2s ex p(i (1T 2 C (%- 211+2i 1112+#3i 11A d 11=02i s 2-i 2 2s C +i 3 2s C 2C -i 4 s 11ex p(-(1T 2 A =0(22由式(22 得i K 12

19、+i K 2A -K 3exp(i (1T 2 C =0K 42-K 5C +K 6C 2C -K 7ex p(-i (1T 2 A =0(23其中的系數(shù)為K 1=2 11(%- 211+1d 11 ,K 2= 11(#1+1#2 s (%- 211+#31d 11, K 3=1 2s (%- 211 , K 4=2 s ,K 5=2 2s , K 6=3 2s , K 7=4 s 11。, , A =2a (T 2 ex pi 1(T 2 C =2c (T 2 ex pi 2(T 2 (24把式(24 代入式(23 并分離實(shí)部和虛部得K 1a +K 2a -K 3c sin( 2- 1+(1

20、T 2 =0K 1a 1+K 3c cos(2- 1+(1T 2 =0K 4c -K 5c +4K 6c 3-K 7a cos( 1- 2-(1T 2 =0K 4c 2-K 7a sin( 1- 2-(1T 2 =0(25令1= 2- 1+(1T 2, 由式(25 得如下的一階自治微分方程組a=-2K 1a +3K 1c sin 1c=K 5K 4c -K 64K 4c 3+K 7K 4a cos 1ac 1=-7K 4a 2sin 1+3K 1c 2cos 1+(1ac (26方程組(26 中的第三式由a ×+1×(25 4-c ×+4×(25 2得到

21、。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解對應(yīng)上述方程組在a =c =0時(shí)的超越式方程組的解-K 2a +K 3c sin 1=0K 5c -4K 6c 3+K 7a co s 1=0(27 -K 1K 7a 2sin 1+K 3K 4c 2co s 1+K 1K 4(1ac =0從式(27 中消去1得K 22K 27a 4+K 23c 4K 5-4K 6c 22=K 23K 27c 2a2-K 1K 2K 27a 4-K 23K 4c 4K 5-4K 6c 2+K 1K 3K 4K 7(1a 2c 2=0(28由上式即可求出振幅a , c 和相應(yīng)參數(shù)的關(guān)系。從式(28 中求解出a , c , 并注意到式(9 , (24

22、 , 可得系統(tǒng)的一次近似解析解為w 1=&a cos( s t + 2-1 +, (&3u 1=&1a cos( s t + 2-1 +, (&3v 1=&c cos( s t + 2 +, (&3(29從式(29 可知, 當(dāng)風(fēng)的渦激頻率接近結(jié)構(gòu)的固有高頻時(shí), 結(jié)構(gòu)在渦激頻率 s 附近振動。即系統(tǒng)出現(xiàn)同步現(xiàn)象。2. 2風(fēng)的渦激頻率 s 12s 142振動工程學(xué)報(bào)第24卷一次近似解析解的微分方程組i K 12+i K 2A =0i R 12+i R 2B -R 3exp(i (2T 2 C =0R 42-R 5C +R 6C 2C -R 7ex p

23、(-i (2T 2 B =0(30式中R 3=1 2s (%- 212 , R 4=2 s , R 5=2 2s , R 6=3 2s , R 7=4 s 12。由式(30 的第一個方程有A =e 2exp -2K 1T 2(31式中e 2為常數(shù)。和高頻的情況相同, 當(dāng)風(fēng)的激勵頻率接近結(jié)構(gòu)振動低頻時(shí), 結(jié)構(gòu)的高頻振動不會被激發(fā)。把B , C 表為極坐標(biāo)形式B =2b (T 2 expi 3(T 2 C =2c (T 2 expi 4(T 2(32把式(32 代入式(30 的后面兩式, 分離實(shí)部和虛部有b=-2R 1b +3R 1c sin 2c=5R 4c -64R 4c 3+7R 4b co

24、s 2bc 2=-7R 4b 2sin 2+3R 1c 2co s 2+(2bc (33式中2= 4- 3+(2T 2, 令方程組(33 的右邊為零可得決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解的超越式方程組。消去該超越式方程組中的2, 得決定振幅的代數(shù)式如下R 22R 27b 4+R 23c 4R 5-4R 6c 22=R 23R 27b 2c2-R 1R 2R 27b 4-R 23R 4c 4R 5-4R 6c 2+R 1R 3R 4R 7(2b 2c 2=0(34和上節(jié)渦激頻率接近高頻的情況一樣, 可得當(dāng) s 12時(shí), 系統(tǒng)的解析解為w 1=&a cos( s t + 4-2 +, (&3u 1=

25、&1a cos( s t + 4-2 +, (&3v 1=&c cos( s t + 4 +, (&3(35從上式可知系統(tǒng)出現(xiàn)同步現(xiàn)象。3算例及討論 數(shù)據(jù):m 1=2. 2×103kg/m , E 1=2×1011, I =0. 05, m 2=0. 6×103kg/m , E 2=2×1011, A 1=0. 064, E 3=2×1011, A 2=0. 003, l =100m, d 0=5m , D =10m把上述數(shù)據(jù)代入第一節(jié)中的參數(shù), 在本例中的數(shù)據(jù)用Galerkin 法在第八階截?cái)?即取j =8 ,

26、 代入相應(yīng)表達(dá)式有#1=#3=0. 02, #2=0. 5, =3, %=4. 5, d 11=0. 8, d 22=2, 1=-2. 748, 2=0. 9, 11=2. 28,12=1. 51。其他數(shù)據(jù)取為2=0. 01, 3=5, 4=0. 6,#2=0. 02, &=0. 1。根據(jù)式(28 和(34 可得到在1=0. 005, 及1=0. 006時(shí)的幅頻相應(yīng)曲線, 見圖2和3。圖2 s 11時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線圖3 s 12時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線在圖2和3中僅畫出實(shí)際物理系統(tǒng)中會出現(xiàn)的穩(wěn)定的解曲線。實(shí)線為1=0. 005時(shí)的幅頻曲線, 而虛線為1=0. 006的幅頻曲線。圓圈為在1=0.

27、 005時(shí)對方程組(7 的數(shù)值積分的結(jié)果。判斷解的穩(wěn)定性方法是, 把從式(28 , (32 求得的解分別代入方程組(26 , (33 的Jacobi 矩陣, 然后通過Jaco bi 矩陣的特征值來判斷解的穩(wěn)定性20。從圖2和3可知, 當(dāng)風(fēng)的渦激頻率接近結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí), 結(jié)構(gòu)的振幅發(fā)生突然的增大。結(jié)構(gòu)的振動同步到風(fēng)的激勵上。而當(dāng)渦激頻率離固有頻率較遠(yuǎn)時(shí), 結(jié)構(gòu)的振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)小, 143第2期黃坤, 等:梁索耦合結(jié)構(gòu)的風(fēng)致渦激振動144 振 動 工 程 學(xué) 報(bào) 第 24 卷 風(fēng)速為 1. 8 和 19 m / s 時(shí)均出現(xiàn)大于 1 m 的大幅縱 向彎曲振動。 由于風(fēng)的渦激頻率和風(fēng)速成正比, 上述 的

28、分析顯示 T acoma 橋出現(xiàn)的上述現(xiàn)象可能是由渦 激振動產(chǎn)生。 從圖 2 和 3 還可以看出, 隨著結(jié)構(gòu)和風(fēng) 場的耦合增強(qiáng)( 1 增大 , 結(jié)構(gòu)的振幅會增大, 產(chǎn)生 同步渦激振動的頻率范圍會擴(kuò)大。對常微分方程組 ( 7 用 Rung e-kut ta 法數(shù)值模擬的結(jié)果如下 象。 此時(shí)結(jié)構(gòu)的振幅發(fā)生突然的增大。 該結(jié)果顯示, T aco ma 橋上觀察到的在 1. 8 和 19 m / s 時(shí)出現(xiàn)的 大幅垂向振動可能都是由于風(fēng)致渦激振動誘發(fā)。 ( 2 本文通過多尺度方法求得的 Galerkin 第八 階截?cái)嗪笏玫某Ｎ⒎址匠探M的一次近似解。從數(shù) 值積分和該解析解比較的結(jié)果可以看出, 解析解在

29、 振幅和頻率都有較好的精度。對于風(fēng)場誘發(fā)的其他 模態(tài)的振動, 可以用本文方法進(jìn)行研究。同時(shí), 由于 模態(tài)截?cái)嗪蟮玫降某Ｎ⒎址匠探M的形式是相似的, 在其他模態(tài)上的振動也會出現(xiàn)和本文相似的結(jié)果, 即振幅在渦激頻率附近突然增大。 梁索耦合的風(fēng)致渦激振動問題是一個復(fù)雜的動 力學(xué)問題。 隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化, 系統(tǒng)的動力學(xué)行為 有豐富的變化。本文提出的數(shù)學(xué)模型可以為進(jìn)一步 研究該類結(jié)構(gòu)的渦激振動問題提供參考。 圖 4 s = 2. 27 時(shí) w 的時(shí)程圖 參考文獻(xiàn): 1 N iiels J G imsing . Cable Suppor ted Br idges: Co ncept and Design

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35、 n 后, 通過 Galer kin 法得到 了系統(tǒng)在某一階模態(tài)振動的常微分方程組。用多尺 度法求得系統(tǒng)在渦激頻率分別與結(jié)構(gòu)高頻和低頻在 11 內(nèi)共振時(shí)的解析解。 并以第八階模態(tài)截?cái)嘧鰹?例進(jìn)行了分析。以上分析可得如下結(jié)論 ( 1 在考慮主纜運(yùn)動和吊索變形的情況下, 懸索 橋形式梁索耦合結(jié)構(gòu)任意振型下都有兩個振動頻 率。當(dāng)風(fēng)的渦激頻率接近該振型任意一個結(jié)構(gòu)固有 頻率時(shí), 結(jié)構(gòu)將按渦激的頻率 振動, 即產(chǎn)生同步現(xiàn) 第 2 期 黃 坤, 等: 梁 索耦合結(jié)構(gòu)的風(fēng)致渦激振動 145 9 M atsumo to M , Shirato H , Y ag i T , et al . Effect s o

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