矩陣的特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化

1、1 矩陣的特征值、特征向量和相似標(biāo)準(zhǔn)形的理論矩陣的特征值、特征向量和相似標(biāo)準(zhǔn)形的理論是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分. . 它們不僅在數(shù)學(xué)的各分支，如微分方程、差分它們不僅在數(shù)學(xué)的各分支，如微分方程、差分方程中有重要應(yīng)用，而且在其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和方程中有重要應(yīng)用，而且在其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析等各領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析等各領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用. .如物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的許多問在數(shù)學(xué)上都如物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的許多問在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量的問題歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量的問題2112232013.131A, A, A 12310201.23

2、111A, 設(shè)設(shè)是原像的倍數(shù)是原像的倍數(shù).二元實(shí)向量二元實(shí)向量 1， 2 的像的像 A 1，A 2 3 與與A 3 就就 不不 具有這個(gè)性質(zhì)具有這個(gè)性質(zhì). 3一一 為什么為什么4為了進(jìn)一步討論矩陣為了進(jìn)一步討論矩陣 A 的特征值和特征向量的的特征值和特征向量的計(jì)算方法，把定義公式計(jì)算方法，把定義公式改寫成改寫成( I A) = 0 即即 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 ( I A) x = 0 的非零解的非零解.det ( I A) = 0由齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是由齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是5 111212122212det()nnnnnnaaaaaaIAaaa

3、6 由齊次線性方程組解的性質(zhì)由齊次線性方程組解的性質(zhì):7011101 ,110A 設(shè)矩陣設(shè)矩陣求求 A 的特征值的特征值與特征向量與特征向量. 111111IA A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為,1)(2(2 所以，所以，A 的特征值為的特征值為, 12321 ,8,0)2( xAI當(dāng)當(dāng)21 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組, 0211121112321 xxx即即解之得基礎(chǔ)解系為解之得基礎(chǔ)解系為,p 1111所以所以11pk是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量的全部特征向量;21 011101110A9當(dāng)當(dāng),0)( xAI132 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組得基礎(chǔ)解系：得基礎(chǔ)解系：,10101132 p,p,

4、 0111111111321 xxx011101110A所以所以3322pkpk 是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量的全部特征向量.132 10220212 ,020A 設(shè)矩陣設(shè)矩陣求求 A 的特征值的特征值.22021202IA A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為),4)(1)(2( 所以，所以，A 的特征值為的特征值為. 412321 ,特征值的計(jì)算不容易！特征值的計(jì)算不容易！11例例 n 階對(duì)角矩陣階對(duì)角矩陣 A，上，上( (下下) )三角形矩陣三角形矩陣B 的的特征值都是它們的特征值都是它們的 n 個(gè)主對(duì)角元個(gè)主對(duì)角元 a11, a22, ,ann. 因?yàn)樗鼈兊奶卣鞫囗?xiàng)式為因?yàn)樗鼈兊奶卣鞫囗?xiàng)

5、式為 I A = I B = ( a11) ( a22)( ann)12練習(xí) 110430.102A 求求矩矩的的特特征征值值和和特特征征向向量量解解2 110430(2)(1) ,102AEA 的的特特征征多多 式式. 1, 2321 的特征值為的特征值為所以所以 A133101002410 010100000,IA 10 0 ,1p 得得基基解解系系11(0)2.k p k 所所以以是是于于的的全全部部特特征征向向量量2,(2)0. IA x 1 1當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 解解方方程程由由110430102A 1421 2 ,1p 得得基基解解系系223(0)1.k p k 所所以以是是于于的的全全部部

6、特特征征向向量量210101420 012 ,101000IA 當(dāng)當(dāng),0)( xAI132 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組110430102A 15 求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟： 1.計(jì)算的特征多項(xiàng)式計(jì)算的特征多項(xiàng)式| I A | ; 2. 求特征方程求特征方程| I A | = 0的全部根的全部根 1, 2, , n, 也就是也就是 A 的全部特征值的全部特征值; 3. 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 i , 求齊次方程組求齊次方程組 ( i I A) x = 0 的非零解的非零解, 也就是對(duì)應(yīng)于也就是對(duì)應(yīng)于 i 的特征向量的特征向量.16由于由于 n 階矩陣的特征方程是一元

7、階矩陣的特征方程是一元 n 次方程，次方程，所以在復(fù)數(shù)域上，所以在復(fù)數(shù)域上，n 階矩陣一定有階矩陣一定有 n 個(gè)特征值，個(gè)特征值，但不一定有但不一定有 n 個(gè)實(shí)特征值個(gè)實(shí)特征值. . 2. 2.若若 n 階矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，則它們階矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，則它們不一定各不相同不一定各不相同, ,即矩陣的特征值可以是特征方程即矩陣的特征值可以是特征方程的重根的重根. .在計(jì)算特征值的個(gè)數(shù)時(shí)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算在計(jì)算特征值的個(gè)數(shù)時(shí)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算. . 3. k 重根叫做重根叫做 k 重特征值。重特征值。173. 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的.

8、 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值.如果如果 X 同時(shí)是同時(shí)是A的屬于特征值的屬于特征值 1, 2 ( 1 2) 的的特征向量特征向量, 即有即有則則 1 x = 2 x 即即 ( 1 2 ) x = 0.由于由于 1 2 0, 則則 x = 0, 而這是不可能的而這是不可能的.18 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 為對(duì)合矩陣為對(duì)合矩陣(即即 A2 = I), 且且 A 的特征值都是的特征值都是 1 , 證明證明 : A = I .由于由于 A 的特征值都是的特征值都是 1 , 這說明這說明 1 不是不是 A 的特征值的特征值,即即| I + A | 0. 因而因而 I +

9、A 可逆可逆. ( I + A) 1 即可得即可得 A = I. 在在 ( I + A ) (I A) = 0 兩端左乘兩端左乘由由 A2 = I 可得可得 (I + A)(I A) = 0,19定理定理1 若若 x1 和和 x2 都是都是 A 的屬于特征值的屬于特征值 0 的特征向量的特征向量, 則則 k1 x1 + k2 x2 也是也是A的屬于的屬于 0 的特征向量的特征向量.(其中其中 k1, k2 是任意常數(shù)但是任意常數(shù)但 k1 x1 + k2 x2 0)四特征值與特征向量的性質(zhì)四特征值與特征向量的性質(zhì)證證 由于由于 x1, x2 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 ( 0I A) x

10、= 0 的解的解, 因此因此 k1 x1 + k2 x2 也是上式的解。也是上式的解。故當(dāng)故當(dāng) k1 x1 + k2 x2 0 時(shí)時(shí), 是是 A 的屬于的屬于 0 的特征向量的特征向量.20 nii ia1稱稱A的主對(duì)角元的和的主對(duì)角元的和為為A的跡，記作的跡，記作 tr(A)。 *證：設(shè)證：設(shè)nnnnnnaaaaaaaaaI 212222111211000000A(*)= n +c c1 n 1 + ck n k + cn- -1 1 +cn (*)式可表示為式可表示為 2n 個(gè)行列式之和個(gè)行列式之和, 其中展開后含其中展開后含 n 1項(xiàng)的行列式有下面項(xiàng)的行列式有下面 n 個(gè)：個(gè)：定理定理5

11、.2 若若n 階矩陣階矩陣A = (ai j) 的的n 個(gè)特征值個(gè)特征值 1, 2, n， nii1A)2( 11(1)nniiiiia 21nnnnaaa 000021 ,000022212 naaa 000012111naaa 它們的和等于它們的和等于 (a11+ a22+ ann) n 1=)(,)(1111 niiinniiiaca即即 (*)式中不含式中不含 的常數(shù)項(xiàng)為的常數(shù)項(xiàng)為nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211,A)1(n A)1(nnc 即即22結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)det A=0時(shí)時(shí), A至少有一個(gè)零特征值至少有一個(gè)零特征值.當(dāng)當(dāng)det A 0時(shí)時(shí), A的特征值

12、全為非零數(shù)的特征值全為非零數(shù); 所以，所以， A)(If )()(21n ninni ina11A)1()( 由根與系數(shù)的關(guān)系及常數(shù)項(xiàng)相等，得由根與系數(shù)的關(guān)系及常數(shù)項(xiàng)相等，得 niininiiiia111A 和和23矩陣的特征值和特征向量的重要性質(zhì)矩陣的特征值和特征向量的重要性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1: 若若 是矩陣是矩陣 A 的特征值的特征值, x 是是A 在屬于在屬于 的的 特征向量特征向量, 則則(i) k 是是 kA 的特征值的特征值( k是任意常數(shù)是任意常數(shù)),(ii) L Lm 是是 Am 的特征值的特征值( m是正整數(shù)是正整數(shù)),(iii) 當(dāng)當(dāng) A 可逆時(shí)可逆時(shí), 1是是 A 1的特征值

13、的特征值;且且 x 仍是矩陣仍是矩陣 kA, Am, A 1的分別對(duì)應(yīng)于特征值的分別對(duì)應(yīng)于特征值 k , m, 1/ 的特征向量的特征向量.24證證 (ii) A(Ax) = A( x) (Ax) = ( x),即即A2x = 2x再繼續(xù)上述步驟再繼續(xù)上述步驟 m 2 次次, 就得就得 Amx = mx.(iii) 當(dāng)當(dāng) A 可逆時(shí)可逆時(shí), 0, 由由 Ax = x 可得可得A 1 (Ax) =A 1( x) = A 1x,因此因此 A 1x = 1x故故 1是是 A 1的特征值的特征值, 且且 x 也是也是 A 1對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 1的特征向量的特征向量.25性質(zhì)性質(zhì)2 矩陣矩陣 A 和和 AT

14、 的特征值相同的特征值相同.證證 因?yàn)橐驗(yàn)?I AT = ( I)T AT = ( I A)T所以所以 det ( I A) = det ( I AT)因此因此, A 和和AT 有完全相同的特征值有完全相同的特征值.補(bǔ)充補(bǔ)充 設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 A 的特征值的特征值.設(shè)設(shè) = a0 + a1 + + am m , 定義定義 A = a0E+ a1A + + amAm , 則則 是是 A 的特征值的特征值.26 因因 是是 A 的特征值的特征值, 故有故有 p 0 使使 Ap = p. A p = (a0E+ a1A + + amAm ) p = a0Ep+ a1Ap + + amAmp= a0

15、 p+ a1 p + + am m p= (a0 + a1 + + am m ) p = p ,所以所以 是是 A 的特征值的特征值. 27 設(shè)設(shè) A 為可逆矩陣為可逆矩陣, 為為 A 的特征值的特征值, A p 為對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量, 證明證明:特征值特征值, , p 為為 A* 對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量.為為 A* 的的因此結(jié)論成立因此結(jié)論成立. 由已知條件可知由已知條件可知11.A pp 1Ap .Ap 故故*A p 1A Ap 28 設(shè)三階矩陣設(shè)三階矩陣 A 的特征值為的特征值為,2, 1, 1 設(shè)矩陣設(shè)矩陣,AAB235 試求試求: B 的特征值的特征值; | B |

16、.令令,5)(23AABA 則則 B 的特征值分別為的特征值分別為:4,151(1)23 , 61)(51)(1)(23 .12252)2(23 (2)1)(1)| B.288)12)(6)(4( 29例例的的特特征征值值。，及及求求，的的特特征征值值為為設(shè)設(shè)三三階階方方陣陣IAAAAAA 232121, 6 A;31,21, 1:1 的特征值的特征值A(chǔ)例例.3211IAA ，求求，的的特特征征值值為為設(shè)設(shè)三三階階方方陣陣40; 2, 3, 6: 的的特特征征值值A(chǔ). 4 , 1 , 4:22的特征值的特征值IAA (4,2,5)30. 3 210010000010010 的的其其他他特特征征

17、值值及及求求：的的一一個(gè)個(gè)特特征征值值，是是若若，設(shè)設(shè)例例AyAyA 100100 |0010012AIy 解解2(1)()(2)1y , 01)2)(3 yA（的的一一個(gè)個(gè)特特征征值值，所所以以是是因因?yàn)闉? 101)2)(2, 2的另一根為的另一根為且（且（得到得到 y. 3, 1, 1, 1 全部特征值為全部特征值為31則則是是 A 1 的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值.31 3是是 A 的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值.由由 ATA = 2I 得得, | A |2 2 = | ATA | = | 2I | = 16,34是是A*= | A | A1 1 的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值.所以所以,但但 | A

18、 | 0, 故故 A 可逆可逆, 且且 | A | = 4.由由 | A+3I | = 0知知,設(shè)設(shè)4 階方陣階方陣 A 滿足條件滿足條件: | A+3I | = 0, ATA = 2I , | A | 0, 求求 A*的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值.32, 33 設(shè)設(shè),1514,2111,2543 QPA矩陣矩陣 P，Q 都可逆都可逆, 429121112543211111APP 700215142543151411AQQ可知可知.4291 A.7002 A34 可以看出，與可以看出，與 A 相似的矩陣不是唯一相似的矩陣不是唯一的，的，也也未必是對(duì)角矩陣未必是對(duì)角矩陣. . 性質(zhì)性質(zhì)：設(shè)：設(shè) A，

19、B，C 為為 n 階矩陣，則有階矩陣，則有 對(duì)某些矩陣，如果適當(dāng)選取可逆矩陣對(duì)某些矩陣，如果適當(dāng)選取可逆矩陣P，就有可能使就有可能使 P 1AP 成為對(duì)角矩陣成為對(duì)角矩陣. .35(1) P1 1 ( k1 A1 + k2 A2) P = k1P 11A1P + k2P 1 1A2P 其中其中 k1, k2 是任意常數(shù)是任意常數(shù).(2) P1 1 (A1 A2) P = (P11A1P) (P11A2P),(3) 若若 A B, 則則Am Bm, (m為正整數(shù)為正整數(shù)).證證 因?yàn)橐驗(yàn)?A B, Bm = (P11AP) (P11AP)存在可逆陣存在可逆陣 P 使使 P11AP = B,.(P

20、11AP) =P11AmP,AmBm.(4) 若若A B, 則則 f (A) f (B), 其中其中f (x) = anxn + an 1xn 1 + . + a1x + a0f (A) = anAn + an 1An 1 + . + a1A + a0I36= | A I | . 只需證只需證 A 與與 B 有相同的特征多項(xiàng)式有相同的特征多項(xiàng)式. .由于由于 A與與 B 相似相似, 所以所以, 必有可逆矩陣必有可逆矩陣 P, 使得使得P 1AP = B ,| B I | = | P 1 | | A I | | P | 注：定理注：定理4 4的逆命題不成立的逆命題不成立= | P 1AP P 1

21、EP |37由由 A B ，存在可逆矩陣，存在可逆矩陣 P，有，有P 1AP = B . 于是于是detB = det (P 1AP )= det (P 1) detA detP = detA .相似矩陣性質(zhì)相似矩陣性質(zhì): 38由由 A B ，存在可逆矩陣，存在可逆矩陣 P，有，有P 1AP = B . 這說明矩陣這說明矩陣 A 與與 B 相抵，可得相抵，可得r (A) = r (B).39,314020112 A解解 （1）211020413AI ,2)1(2 (1)求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量(2)求可逆矩陣求可逆矩陣P，使使P 1 1AP為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.40. 0,1

22、011111 kpkp全體特征向量全體特征向量得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11,()0.AI x 解解方方程程232 ,(2 )0.AI x 解解方方程程4114112000000 ,411000AI ,401 ,11032 pp).0,( 323322不不同同時(shí)時(shí)為為kkpkpk 211020413A 41123 (,),Pppp 令令123 (,)APA ppp 則則123(,)ApApAp 123(,2,2)ppp 1231(,)22ppp 12,2P 11 2,2PAP 故故42如果如果 n 階矩陣階矩陣 A 可以相似于一個(gè)可以相似于一個(gè) n 階對(duì)角矩陣階對(duì)角矩陣L L，則稱則稱 ，L L 稱

23、為稱為 A 的的是否存在可逆矩陣是否存在可逆矩陣 P，使，使 P 11AP 成為對(duì)角矩陣成為對(duì)角矩陣? ?所有的所有的 n 階矩陣都可對(duì)角化階矩陣都可對(duì)角化. .矩陣可對(duì)角化的充分必要條件矩陣可對(duì)角化的充分必要條件? ? 43設(shè)有可逆矩陣設(shè)有可逆矩陣 P , 使得使得P 1AP = L L , L L =diag ( 1 , 2 , , n ).令令 P = ( p1 p2 pn ), 得得 AP = PL L , 即即.)()(212121 nnnppppppA A pi = i pi , i = 1, 2, , n ,因?yàn)榫仃囈驗(yàn)榫仃?P 可逆可逆, 所以所以 p1 , p2 , , pn

24、 線性無關(guān)線性無關(guān).它們分別是它們分別是 A 對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 1 , 2 , , n 的特征向量的特征向量.44如果矩陣如果矩陣 A有有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量p1 , p2 , , pn, 對(duì)應(yīng)的特征值分別為對(duì)應(yīng)的特征值分別為 1 , 2 , , n , 則有則有A pi = i pi , i = 1, 2, , n以這些向量為列構(gòu)造矩陣以這些向量為列構(gòu)造矩陣 P = ( p1 p2 pn ), 即即 P 1AP = L L . 則則 P 可逆可逆, 且且 AP = PL L , 其中其中 L L =diag ( 1 , 2 , , n ).注注: A與對(duì)角陣

25、與對(duì)角陣L L 相似，相似，L L 的主對(duì)角元是的主對(duì)角元是A的特征值，的特征值，若不計(jì)其排列順序，則若不計(jì)其排列順序，則L L 唯一，稱唯一，稱L L為為A的的相似標(biāo)準(zhǔn)形相似標(biāo)準(zhǔn)形。與對(duì)角陣相似的矩陣與對(duì)角陣相似的矩陣, , 稱為稱為可對(duì)角化矩陣可對(duì)角化矩陣。45 當(dāng)當(dāng) m = 1 時(shí)，屬于特征值時(shí)，屬于特征值 1 的特征向量的特征向量 1 0線性無關(guān)線性無關(guān). .設(shè)設(shè) m = s 1 時(shí)，結(jié)論成立時(shí)，結(jié)論成立.設(shè)設(shè) k1 1 + k2 2 + + ks s= 0 (1)(1)左乘矩陣左乘矩陣 A , 得得A (k1 1 + k2 2 + + ks s)= 0(1)兩邊乘以兩邊乘以 s，k1

26、 s 1 + k2 s 2 + + ks s s= 0 (2)46k1 1 1 + k2 2 2 + + ks s s= 0 (3)(2) (3), 得得k1( s 1) 1 + + ks-1( s s-1) s-1= 0由歸納法假設(shè)由歸納法假設(shè) 1 , 2 , , s-1 線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以ki ( s i ) = 0 , i = 1, 2, , s 1 但但 s i ( i = 1, 2, , s 1 )，所以必有，所以必有k1 = k2 = = ks-1 = 0代入代入 k1 1 + k2 2 + + ks s= 0 ，有，有 ks s= 0( s 0)于是于是ks = 0 .

27、 因此，因此， 1 , 2 , , s 線性無關(guān)線性無關(guān).k1 s 1 + k2 s 2 + + ks s s= 0 (2)k1 A 1 + k2 A 2 + + ks A s)= 047 應(yīng)注意，由應(yīng)注意，由 n 階矩陣階矩陣 A 可對(duì)角化，可對(duì)角化，并不能斷定并不能斷定 A 必有必有 n 個(gè)互不相同的特征值個(gè)互不相同的特征值. .例如，數(shù)量矩陣?yán)纾瑪?shù)量矩陣 a I 是可對(duì)角化的，是可對(duì)角化的， 但它只有特征值但它只有特征值 a (n 重重) . 注意注意1 1: : 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的; ; 注意注意2 2: : 屬于同一特征值的特征

28、向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量; ;48 12,(1, 2,) ,iiii sim 12111212122212,mssmmms 對(duì)于矩陣對(duì)于矩陣 A 的每一個(gè)不同的特征值的每一個(gè)不同的特征值 i，求解齊次方程組求解齊次方程組 ( i I A) x = 0，取其基礎(chǔ)解系，取其基礎(chǔ)解系，得到得到 A 的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于 i 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量, ,然后把它們合在一起所得向量組仍線性無關(guān)然后把它們合在一起所得向量組仍線性無關(guān). .49矩陣矩陣011101110A 有特征值有特征值1221, 對(duì)應(yīng)于

29、對(duì)應(yīng)于12 的特征向量為的特征向量為T1(1,1,1) , 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于21 的特征向量的特征向量?T2( 1,1, 0) , T3( 1, 0,1) , 則則 1 , 2 , 3 線性無關(guān)線性無關(guān).111111111AI 50若矩陣若矩陣A的特征值中有重根，設(shè)的特征值中有重根，設(shè)A的所有不同特征值的所有不同特征值為為 1 , 2 , , m( m n ) . i 是是A的的ni 重特征值重特征值. .于是于是 n1 + n2 + + nm = n . 51設(shè)設(shè) n 階矩陣階矩陣 A 可對(duì)角化?？蓪?duì)角化。 ：求出矩陣：求出矩陣 A 的所有特征值，的所有特征值，設(shè)設(shè) A 有有 s 個(gè)不同的特征值

30、個(gè)不同的特征值 1， 2， ， s ，n1 + n2 + + ns = n. 它們的重?cái)?shù)分別為它們的重?cái)?shù)分別為 n1，n2，ns , 52 對(duì)對(duì) A 的每個(gè)特征值的每個(gè)特征值 i , i = 1, 2, , s. ),diag(212211 snssnn 則則 P 1AP = L L .注意注意 矩陣矩陣 P 的列與對(duì)角矩陣的列與對(duì)角矩陣 L L元素（特征值）的關(guān)系元素（特征值）的關(guān)系.),(122111121snssnn,p,p,p,p,p,pP 以這些向量為列構(gòu)造矩陣以這些向量為列構(gòu)造矩陣iniiip,p,p21求求 ( i I - A ) x = 0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系53 設(shè)有矩陣設(shè)有

31、矩陣110021 .003A 問矩陣問矩陣 A 是否可對(duì)角化是否可對(duì)角化, 若能若能, 試求可逆試求可逆矩陣矩陣 P 和對(duì)角矩陣和對(duì)角矩陣 L L , 使使 P 1AP = L L . 使使 P 1AP = L L 成立的成立的 P 、 L L 是否唯一，是否唯一，舉例說明舉例說明.54300120011 A|I|),3)(2)(1( 矩陣矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為110021 .003A ,0)( xIA當(dāng)當(dāng)11 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組, 0200110010321 xxx基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：,0011 p55,0)2( xIA當(dāng)當(dāng)22 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組, 010010

32、0011321 xxx基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：,0112 p,0)3( xIA當(dāng)當(dāng)33 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組, 0000110012321 xxx,2213 p基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：矩陣矩陣 A 有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 所以可對(duì)角化所以可對(duì)角化.)(1321L L APP,p,ppP，則則令令110021 .003A 56 200210111)(321,p,ppP.2/1001102/1111 P,321 P 1AP = L L .57 使使 P 1AP = L L 成立的成立的 P、 L L 不唯一不唯一. 如若取如若取 020120111)(231,p,ppP則則

33、.1102/1002/1111 P此時(shí)此時(shí),231 亦有亦有 P 1AP = L L .58判定下列矩陣是否相似于對(duì)角矩陣判定下列矩陣是否相似于對(duì)角矩陣, ,100010211(1) A若相似若相似, 則求出可逆矩陣則求出可逆矩陣 P , 使使 P 1AP 是對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣. 314020112)2(A,1321 任何對(duì)角矩陣、上下三角矩陣的任何對(duì)角矩陣、上下三角矩陣的特征值都是其對(duì)角線上的元素特征值都是其對(duì)角線上的元素, 所以所以 A 的特征值為的特征值為使使 A = P 1I P = I, 矛盾。矛盾。如果如果 A 相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣 L L ( = I ), 應(yīng)有可逆矩陣應(yīng)

34、有可逆矩陣 P , 59,)2)(1(2 314020112 A|I|0414030111321 xxx當(dāng)當(dāng)時(shí)，解方程組時(shí)，解方程組,0)( xIA11 ,1011 p 考慮：考慮：設(shè)設(shè)A=（aij）是主對(duì)角元全為是主對(duì)角元全為2 2的上三角陣，的上三角陣，且存在且存在問問A是否與對(duì)角陣相似？是否與對(duì)角陣相似？)(0jiaji 211020413A 60當(dāng)當(dāng)232 時(shí)，解方程組時(shí)，解方程組,0)2( xIA1234110000,411xxx 23114 ,0 .04pp 令令,401040111)(321 pppP.2211 APP因?yàn)橐驗(yàn)?3 階矩陣階矩陣 A 找到了找到了3個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線

35、性無關(guān)的特征向量，所以方陣特征向量，所以方陣 A 相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣.211020413A 61 設(shè)設(shè) 0011100yxA相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣, 求求 x與與 y 應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件.先求特征值先求特征值, A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 01110yx| IA|所以所以 A 的特征值為的特征值為,11321 , )1()1(2 62,11321 ,A 相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是, 應(yīng)能找到兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量應(yīng)能找到兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.二重特征值二重特征值 10011100Axy 1010101yxIA行變換行變換 0000

36、0101yx所以所以 x、y 應(yīng)滿足的條件為應(yīng)滿足的條件為 :.yx0 63設(shè)設(shè) 3 階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為,321321 對(duì)應(yīng)的特征向量依次為對(duì)應(yīng)的特征向量依次為,p,p,p 931421111321 求求 A 和和 A100 .因因 3 階方陣階方陣 A 的三個(gè)特征值互不相等的三個(gè)特征值互不相等,3211 APPA = P L L P 1.所以所以 A 可對(duì)角化可對(duì)角化, 即存在可逆方陣即存在可逆方陣 P , 使使令令,941321111 P64 21231143212533219413211111/PPA 6116100010因?yàn)橐驗(yàn)?A = PL LP -1 ，所以，所

37、以 A100 = PL L100P 1, 2123114321253321941321111100100100/A65實(shí)數(shù)域上的對(duì)稱矩陣簡稱為實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)數(shù)域上的對(duì)稱矩陣簡稱為實(shí)對(duì)稱矩陣.但實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化，但實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化，其特征值和特征向量具有一些特殊的性質(zhì)其特征值和特征向量具有一些特殊的性質(zhì). . 66 設(shè)設(shè) 1 2 是是 A 的兩個(gè)特征值，的兩個(gè)特征值，p1 , p2分別為分別為 A 的屬于特征值的屬于特征值 1 , 2 的特征向量，于是的特征向量，于是 1 p1 = Ap1 , 2 p2 = Ap2 , 1 2 . 因因 A 對(duì)稱對(duì)稱, 故故 1 p1T = ( 1 p

38、1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA ,于是于是 1 p1Tp2 = p1TAp2 = p1T( 2 p2 ) = 2 p1Tp2 ,即即 ( 1 2 ) p1Tp2 = 0 .但但 1 2 , 故故 p1Tp2 = 0, 即即 p1 與與 p2 正交正交. 67 設(shè)有實(shí)對(duì)稱矩陣設(shè)有實(shí)對(duì)稱矩陣 324202423A驗(yàn)證驗(yàn)證 A 的屬于不同特征值的特征向量相互正交的屬于不同特征值的特征向量相互正交.可求得可求得 A 的特征值為的特征值為 1 = 2 = 1 , 3 = 8 .屬于特征值屬于特征值 1 的全部特征向量的全部特征向量? 10102121cc(c1 c2 0)A 的屬

39、于特征值的屬于特征值 8 的全部特征向量為的全部特征向量為 2123c(c3 0)68對(duì)矩陣對(duì)矩陣 A 的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)當(dāng) n = 1 時(shí)時(shí)假設(shè)對(duì)任意的假設(shè)對(duì)任意的 n 1 階實(shí)對(duì)稱矩陣，結(jié)論成立階實(shí)對(duì)稱矩陣，結(jié)論成立.假設(shè)假設(shè) 1 是是 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A 的屬于的屬于 1的單位特征向量的單位特征向量. 任取以任取以 1為第一列的為第一列的正交矩陣正交矩陣 Q1 = ( 1, R)，111AQQ ARRARARAT1TT11T1 1100A ),(1TT11T1RARAQQ 69A1 = RTAR 為為 ( n 1 ) 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣.對(duì)于對(duì)于

40、 A1，存在，存在 ( n 1 ) 階正交矩陣階正交矩陣 Q2 ，使得，使得),.,(322112ndiagQAQ ,00123 QQ令令Q3 仍是正交矩陣，仍是正交矩陣，311113)(QAQQQ 2112100QAQ ),.,(21ndiag 2111200100001QAQ 記記 Q = Q1Q3 , Q 1AQ 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣, 結(jié)論成立。結(jié)論成立。70任一實(shí)對(duì)稱矩陣任一實(shí)對(duì)稱矩陣 A 都可以對(duì)角化。都可以對(duì)角化。對(duì)對(duì) A 的任一的任一 ni 重特征值重特征值 i，齊次方程組，齊次方程組( i I A ) x = 0 的基礎(chǔ)解系中必含有的基礎(chǔ)解系中必含有 ni 個(gè)線性無關(guān)個(gè)線性無

41、關(guān)的向量（的向量（A 的屬于的屬于 i 的特征向量）的特征向量）把這些向量正交化、單位化后，合在一起就得到把這些向量正交化、單位化后，合在一起就得到正交矩陣正交矩陣 Q，使，使 Q 1AQ 成為對(duì)角矩陣成為對(duì)角矩陣.71 求出特征方程求出特征方程 det( I A ) = 0 的的所有不同的根所有不同的根 1 , 2 , , m , i 為為 A 的的 ni 重特征值重特征值. 對(duì)每一特征值對(duì)每一特征值 i ，求齊次線性方程組，求齊次線性方程組( i I A ) x = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,.,21iniii 將將 施密特正交化施密特正交化,iniii ,.,21再將所得正交向

42、量組單位化再將所得正交向量組單位化:.,.,21iniii 令令),.,(21112111mmnmmnQ 則則 Q 為正交矩陣，且為正交矩陣，且),(diag2122111 mnmmnnAQQ 72),1)(5)(2( 120222023 A|I|所以所以 A 的三個(gè)特征值為的三個(gè)特征值為: . 521321 ,A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 設(shè)設(shè) 120222023A求正交矩陣求正交矩陣 P , 使使 P 1AP 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.73當(dāng)當(dāng)11 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組, 0)(1 XAI , 0220232024321 xxx,2211 p當(dāng)當(dāng)22 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組, 0)(

43、2 XAI , 0120202021321 xxx,2122 p 120222023A74當(dāng)當(dāng)53 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組, 0)(3 XAI , 0420232022321 xxx.1223 p顯然顯然, p1 , p2 , p3 兩兩正交兩兩正交, 再將把它們單位化再將把它們單位化.,1333ppe ,1111ppe ,1222ppe , )(321,e,eeP 令令 P 為正交矩陣為正交矩陣, .APP 5211 120222023A75,122212221 A 設(shè)設(shè)求正交矩陣求正交矩陣 P , 使使 P 1AP 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.76 A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為2222221|11IA| ,)1)(5(2 A 的特征值為的特征值為, 15321 ,當(dāng)當(dāng)51 時(shí)時(shí), 解方程組解方程組0,)5( xAI, 0422242224321 xxx,