經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第31次授課提綱新

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)授課提綱授課提綱n 第二學(xué)期第三十一次授課第二學(xué)期第三十一次授課n授課教師：郭正光授課教師：郭正光 n授課班級(jí)：授課班級(jí)：2008級(jí)丁穎班級(jí)丁穎班n授課教室：經(jīng)貿(mào)學(xué)院授課教室：經(jīng)貿(mào)學(xué)院804n授課時(shí)間：授課時(shí)間：2009.05.08無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課習(xí)題課之二：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)容總結(jié)：習(xí)題課之二：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)容總結(jié)： 包括：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念；包括：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念； 和函數(shù)的求法；和函數(shù)的求法； 冪級(jí)數(shù)的概念與函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)的概念與函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)。一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑收斂半徑R 收斂域收斂域 Taylor

2、級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)0)(xRn Taylor展開式展開式一、冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)(1) (1) 定義定義形如形如nnnxxa)(00 的級(jí)數(shù)稱為的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xnnnxa 0其其中中na為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).(2) (2) 收斂性收斂性當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;對(duì)對(duì) 1nnnxa總存在正數(shù)總存在正數(shù) R 使得使得當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散冪級(jí)數(shù)發(fā)散; ;RORx()收收 斂斂發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散 收斂半徑，收斂半徑， (,)收斂區(qū)間收斂區(qū)間.設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R; (2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R

3、; (3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R. 注注形如形如 nnxa)( 的級(jí)數(shù)，求收斂域的級(jí)數(shù)，求收斂域 nnya的收斂半徑的收斂半徑Rx | )(| 原級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)原級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)應(yīng)先求出應(yīng)先求出Rx | )(| 原級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)；原級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)；再研究再研究Rx | )(| 用公式用公式1lim nnnaaR求收斂半徑。求收斂半徑。1, nnaa應(yīng)是應(yīng)是1, nnxx的系數(shù)，的系數(shù)，否則否則可作代換或直接利用比值法或根值法來確定可作代換或直接利用比值法或根值法來確定. .求出收斂半徑后，求出收斂半徑后，必須用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法判定必須用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法判定 端點(diǎn)端點(diǎn)Rx 處的斂散性。處的斂散性。的點(diǎn)的斂散

4、性。的點(diǎn)的斂散性。(3)(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算a.a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): : 21,minRRR b.b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): :和函數(shù)連續(xù)，逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分和函數(shù)連續(xù)，逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分收斂半徑不變，端點(diǎn)的斂散性需要另行討論。收斂半徑不變，端點(diǎn)的斂散性需要另行討論。(4) 冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)利用幾個(gè)已知的展開式，如利用幾個(gè)已知的展開式，如111,sin,()xmexxx通過某些簡(jiǎn)單運(yùn)算而求得通過某些簡(jiǎn)單運(yùn)算而求得化成兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的和，差，積，商化成兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的和，差，積，商作變量代換作變量代換)(xy 求導(dǎo)或積分求導(dǎo)或積分通項(xiàng)形如通項(xiàng)形如121

5、2 nxnxnn或先微分后積分；先微分后積分；通項(xiàng)形如通項(xiàng)形如nnxnnx21)12( 或先積后微。先積后微。步驟：步驟：求收斂域，設(shè)求收斂域，設(shè)1( )nnns xa x 對(duì)對(duì) 1)(nnnxaxs進(jìn)行運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算)(xs保留所有的運(yùn)算記號(hào)保留所有的運(yùn)算記號(hào) 1nnnxa的運(yùn)算結(jié)果要具體算出；的運(yùn)算結(jié)果要具體算出；化成易求和的形式化成易求和的形式 再進(jìn)行上述運(yùn)算的逆運(yùn)算得再進(jìn)行上述運(yùn)算的逆運(yùn)算得)(xs二、冪級(jí)數(shù)展開式二、冪級(jí)數(shù)展開式(1) 定義；定義；(2) 充要條件；充要條件；(3) 唯一性；唯一性；() 展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:01

6、0 1 2( )()( )(, , ,);!nnfxann求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂斂于于則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四四則運(yùn)算則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方法等方法,求展求展開式開式.b.b.間接法間接法() 幾個(gè)常用的函數(shù)展開式幾個(gè)常用的函數(shù)展開式212()!nxxxexxn 211111,(,)nxxxxx 3521113521sin()()!()!nnxxxxxxn 24211 (242cos()!()!nnx

7、xxxxn 211111211()()()()!()mnm mm mmnxmxxxnx 234111234111ln()()()nnxxxxxxnx 求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，必須相應(yīng)地寫出展開式求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，必須相應(yīng)地寫出展開式 成立的范圍。成立的范圍。對(duì)于不同類型的函數(shù)注意采用不同的展開方法。對(duì)于不同類型的函數(shù)注意采用不同的展開方法。有理分式有理分式 化部分分式，利用幾何級(jí)數(shù)展開；化部分分式，利用幾何級(jí)數(shù)展開；反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)先展開其導(dǎo)數(shù)，再逐項(xiàng)積先展開其導(dǎo)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，但此時(shí)必須注意分，但此時(shí)必須注意積分的下限。積分的下限。注注幾個(gè)基本初等函數(shù)須直接展開，其

8、它函數(shù)應(yīng)幾個(gè)基本初等函數(shù)須直接展開，其它函數(shù)應(yīng)盡量采用間接展開，但間接展開法必須牢記盡量采用間接展開，但間接展開法必須牢記6個(gè)個(gè)展開展開 式，并且要十分熟悉幾何級(jí)數(shù)及函數(shù)間的微分關(guān)系。式，并且要十分熟悉幾何級(jí)數(shù)及函數(shù)間的微分關(guān)系。二、典型例題二、典型例題例例1 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)21nnnnabxnn)0, 0( ba解解nnnxna 1收斂半徑收斂半徑aR11 nnnxnb 12收斂半徑收斂半徑bR12 1 1min,Ra b若若ba 則則1,Raax1 原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為 1) 1(nnn收斂收斂211()nnnbna收斂收斂收斂收斂的收斂域的收斂域由于由于221)()1(nabnnn 11n

9、nax1 原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為發(fā)散發(fā)散故故收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?1,1aa ba 若若ba 則則bR1 收斂收斂nnnabn)()1(12 12)()1(nnnabn發(fā)散發(fā)散收斂收斂bx1 原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為nnnban)()1(1 121)1(nnnnnnnnbanban)(1)()1(11 banunnnnn1limlim 1 bannnban)()1(1 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂收斂收斂絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂 1211)(1nnnnban收斂收斂原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂故故ba 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?,1bb nnxnn 121解解1limnnnaRa收斂域收斂域)1 , 1( 1 例求和函

10、數(shù)例求和函數(shù)bx1 原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為nnxnn 121 111nnnnxnnx 111nnnnnxxnx令令 111)(nnnxxs積分積分 xnnxdxxs011)(xxx 111121)1(1)(xxs 11)(nnxxsnx2)1 (xx )11( x求導(dǎo)求導(dǎo)令令 12)(nnnxxs求導(dǎo)求導(dǎo) 112)(nnxxsx 11積分積分 xdxxssxs0222)() 0()()1ln(x )11( x)0)0(2 s故故)1ln()1 (1212xxxxnnnn )11( x注意注意先微后積，收斂域可能擴(kuò)張先微后積，收斂域可能擴(kuò)張先積后微，收斂域可能收縮先積后微，收斂域可能收縮例求級(jí)數(shù)的

11、和例求級(jí)數(shù)的和 12!)1(nnn解解 考慮冪級(jí)數(shù)考慮冪級(jí)數(shù) 12!)1(nnxnn R由由xnnexn 1!1乘以乘以 x 111nxnxxen！求導(dǎo)求導(dǎo)xnnexxnn) 1(!) 1(1 再乘以再乘以 xxnnexxxnn)1(!)1(11 再求導(dǎo)再求導(dǎo)xnnexxxnn)13(!)1(212 ennn5!)1(12 例例.)1)(1(0斂域及和函數(shù)斂域及和函數(shù)收收求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) nnxn解解, 1)1)(1(0 Rxnnn斂半徑為斂半徑為的收的收, 111 x收收斂斂域域?yàn)闉? 20 x即即則有則有設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs兩邊逐項(xiàng)積

12、分兩邊逐項(xiàng)積分 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 011) 1(nxnx 01) 1(nnx)1(11 xx,21xx 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì) x)21()( xxxs.)2(12x ,) 1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642) 1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x例例.1lnarctan)(2克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成麥麥將將xxxxf 解解,32)1ln(32 xxxx 0220221)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1

13、(022 nnnnnx)11( x 0)1(202221)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故或或2211( )arctan212 1xf xxxxx xarctan dxxx 0211 xnnndxx002) 1( 01212)1(nnnnx)11( x積分積分 xdxxfxf0)()(dxnxxnnn 001212) 1( 022)22)(12()1(nnnnnx)11( x)0)0( f例例6 將函數(shù)將函數(shù)2)2(1x展開成展開成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x例例7 設(shè)設(shè))(xf0,arctan12xxxx0,1x, 將 f (x)展開成x 的冪級(jí)數(shù) ,1241) 1(nnn的和. ( 01考研 )解解:211x,) 1(02nnn