高考試題數(shù)學(xué)理天津卷 解析版

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）理科數(shù)學(xué)第I卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）已知集合則=（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】試題分析：選D考點(diǎn)：集合運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查集合的運(yùn)算，容易出錯(cuò)的地方是審錯(cuò)題意，誤求并集，屬于基本題，難點(diǎn)系數(shù)較小.一要注意培養(yǎng)良好的答題習(xí)慣，避免出現(xiàn)粗心錯(cuò)誤，二是明確集合交集的考查立足于元素互異性，做到不重不漏.（2）設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B考點(diǎn)：線(xiàn)性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域

2、、分界線(xiàn)是實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.（3）在ABC中，若,BC=3， ,則AC= （ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】試題分析：由余弦定理得,選A.考點(diǎn)：余弦定理【名師點(diǎn)睛】1.正、余弦定理可以處理四大類(lèi)解三角形問(wèn)題，其中已知兩邊及其一邊的對(duì)角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解2利用正、余弦定理解三角形其關(guān)鍵是運(yùn)用兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，從而達(dá)到知三求三的目的（4）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為（ ）（A）2（B）4（C

3、）6（D）8【答案】B【解析】試題分析：依次循環(huán)：結(jié)束循環(huán)，輸出，選B.考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖【名師點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).（5）設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1+a2n<0”的（ ）（A）充要條件 （B）充分而不必要條件（C）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：由題意得，故是必要不充分條件，故選C.

4、考點(diǎn)：充要關(guān)系【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法1定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假并注意和圖示相結(jié)合，例如“pq”為真，則p是q的充分條件2等價(jià)法：利用pq與非q非p，qp與非p非q，pq與非q非p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法3集合法：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件（6）已知雙曲線(xiàn)（b>0），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線(xiàn)的方程為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)【名師點(diǎn)睛】求雙

5、曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)注點(diǎn)：(1)確定雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個(gè)“定位”條件，兩個(gè)“定量”條件，“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法(2)利用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?，以避免討論若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)不能確定時(shí)，可設(shè)其方程為Ax2By21(AB0)若已知漸近線(xiàn)方程為mxny0，則雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為m2x2n2y2(0)（7）已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】試題分析：設(shè)，故選B.考點(diǎn)：向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量數(shù)量積，一般有兩個(gè)思路，一是建

6、立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實(shí)質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡(jiǎn). 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語(yǔ)言“坐標(biāo)語(yǔ)言”，實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線(xiàn)性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)（8）已知函數(shù)f（x）=（a>0,且a1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）（A）（0， （B）， （C），（D），）【答案】C【解析】試題分析：由在上遞減可知，由方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可知，又時(shí)，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相切，也符合題意，實(shí)數(shù)的去范圍是，故選C.考點(diǎn)：

7、函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解第卷注意事項(xiàng)：1、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上.2、本卷共12小題，共計(jì)110分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.（9）已知，i是虛數(shù)單位，若，則的值為_(kāi).【答案】2【解析】試題分析：，則，所以，故答案為2考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等【名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)

8、的概念，屬于基本題.首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如. 其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、共軛為（10）的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為_(kāi).(用數(shù)字作答)【答案】考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理【名師點(diǎn)睛】1.求特定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)2有理項(xiàng)是字母指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)解此類(lèi)問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解（11）已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四

9、邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為_(kāi)m3.【答案】2【解析】試題分析：由三視圖知四棱錐高為3，底面平行四邊形的底為2，高為1，因此體積為故答案為2考點(diǎn)：三視圖【名師點(diǎn)睛】1.解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫(huà)出其直觀圖2三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長(zhǎng)、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)（12）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為_(kāi).【答案】【解析】試題分析：設(shè)，則由相交弦定理得，又，所以，因?yàn)槭侵睆?，則，在圓中，

10、則，即，解得考點(diǎn)：相交弦定理【名師點(diǎn)睛】1.解決與圓有關(guān)的成比例線(xiàn)段問(wèn)題的兩種思路(1)直接應(yīng)用相交弦、切割線(xiàn)定理及其推論；(2)當(dāng)比例式(等積式)中的線(xiàn)段分別在兩個(gè)三角形中時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形比例式等積式”在證明中有時(shí)還要借助中間比來(lái)代換，解題時(shí)應(yīng)靈活把握2應(yīng)用相交弦定理、切割線(xiàn)定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線(xiàn)段成比例與相似三角形、圓的切線(xiàn)及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等（13）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-，0）上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足，則a的取值范圍是_.【答案】考點(diǎn)：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式【名師點(diǎn)睛】不等式中的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，在解題時(shí)既要想形又要以

11、形助數(shù)，常見(jiàn)的“以形助數(shù)”的方法有：(1)借助數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)軸的有關(guān)概念，解決與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題，解決數(shù)集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算非常有效(2)借助函數(shù)圖象性質(zhì)，利用函數(shù)圖象分析問(wèn)題和解決問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的基本方法，需注意的問(wèn)題是準(zhǔn)確把握代數(shù)式的幾何意義實(shí)現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化(14) 設(shè)拋物線(xiàn)，（t為參數(shù)，p0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l.過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)A作l的垂線(xiàn)，垂足為B.設(shè)C（p,0），AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面積為，則p的值為_(kāi).【答案】【解析】試題分析：拋物線(xiàn)的普通方程為，又，則，由拋物線(xiàn)的定義得，所以，則，由得，即，所以，所以，考點(diǎn)：拋物線(xiàn)定義【名師點(diǎn)睛】1.凡涉及

12、拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)距離處理2若P(x0，y0)為拋物線(xiàn)y22px(p0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|x0；若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為|AB|x1x2p，x1x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類(lèi)似地得到三、解答題：本大題共6小題，共80分.（15）已知函數(shù)f(x)=4tanxsin()cos()-.()求f(x)的定義域與最小正周期；（）討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】（），（）在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減.【解析】試題分析：（）先利用誘導(dǎo)公式、兩角

13、差余弦公式、二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求定義域、周期根據(jù)（1）的結(jié)論，研究三角函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性試題解析： 解：的定義域?yàn)?所以,的最小正周期解：令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由,得 設(shè)，易知.所以, 當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減.考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓剑墙鉀Q三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開(kāi)方

14、時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證. 對(duì)于三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，常常是先化為yAsin(x)k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角恒等變換要堅(jiān)持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運(yùn)用降次公式 (16) （本小題滿(mǎn)分13分）某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).（I）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（II）設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

15、. 【答案】（）（）詳見(jiàn)解析試題解析：解：由已知，有所以，事件發(fā)生的概率為.隨機(jī)變量的所有可能取值為，.所以，隨機(jī)變量分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)：概率，概率分布與數(shù)學(xué)期望【名師點(diǎn)睛】求均值、方差的方法1已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；2已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線(xiàn)性函數(shù)ab的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；3如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解 (17) （本小題滿(mǎn)分13分）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點(diǎn)G為AB

16、的中點(diǎn)，AB=BE=2.（I）求證：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）設(shè)H為線(xiàn)段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線(xiàn)BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）詳見(jiàn)解析（）（）.（I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€(xiàn)，所以.（II）解：易證，為平面的一個(gè)法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值為.（III）解：由，得.因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，從而，因此.所以，直線(xiàn)和平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)：利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】1.利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑 ：一是根據(jù)數(shù)

17、量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算2利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題(1)a0，b0，aba·b0；(2)|a|；(3)cosa，b.(18)已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對(duì)任意的是和的等差中項(xiàng).()設(shè)，求證：是等差數(shù)列；()設(shè)，求證：【答案】（）詳見(jiàn)解析（）詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：（）先根據(jù)等比中項(xiàng)定義得：，從而，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：（） 對(duì)數(shù)列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡(jiǎn)，再利用裂項(xiàng)相消法求和，易得結(jié)論.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比中項(xiàng)、分組求和、裂項(xiàng)相消求和【名師點(diǎn)睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型(1)若anbn±cn，且bn，

18、cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和（19）（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（）求橢圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線(xiàn)與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（）先化簡(jiǎn)條件：，即M再OA中垂線(xiàn)上，再利用直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線(xiàn)方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線(xiàn)斜率.取值范圍試題解

19、析：（1）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（2）（）解：設(shè)直線(xiàn)的斜率為（），則直線(xiàn)的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.設(shè)，由方程組消去，解得.在中，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或.所以，直線(xiàn)的斜率的取值范圍為.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線(xiàn)方程【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍（20）（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)函數(shù),，其中(I)求的單調(diào)區(qū)間；(II) 若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；（）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于.【答案】（）詳見(jiàn)解析（）詳見(jiàn)解析（）詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：（）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：