高中數(shù)學高考總復習函數(shù)的奇偶性習題與詳細講解

1、一、選擇題1 .(文)下列函數(shù)，在其定義域既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()A. y = x + x3( x C R)B. y = 3x(xCR)C. y= log 2x(x0, xCR)D. y=-(x R, xw0) x答案A解析首先函數(shù)為奇函數(shù)、定義域應關于原點對稱，排除C,若x=0在定義域，則應有f(0) =0,排除B;又函數(shù)在定義域單調遞增，排除D,故選A.(理)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間1,1上單調遞減的是()A. f(x)=sinxB. f(x)=|x+1|C. f (x) =1(ax+a x)D. f (x) = ln2x22十x答案D解析y= sin x與y = ln 2 為奇

2、函數(shù)，而 y=1(ax+a-x)為偶函數(shù)，y=|x+ 1|是 2 i x2非奇非偶函數(shù).y=sin x在 1,1上為增函數(shù).故選 D.2. (2010 理，4)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1) = 1, f(2) = 2,則f (3)f(4)=()A. - 1B. 1C. - 2D. 2答案A解析f (3) -f(4) =f (-2) - f( -1) = - f (2) +f(1) = 2+1 = 1 ,故選 A.3. (2010 )已知f(x)與g(x)分別是定義在 R上奇函數(shù)與偶函數(shù)，若f(x)+g(x) =log 2( x2+x+2),則 f (1)等于(1 B.-21

3、f解析由條件知，fA 2 C. 1D.2答案B1+g 1 =2-1+ g - 1= 1. f (x)為奇函數(shù)，g( x)為偶函數(shù).4.f 1 +g 1 =2g 1 f 1 = 11-f(1) =2.(文)(2010 北京崇文區(qū))已知f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，并滿足 f(x+2)= ,當 1WxW2 時，f (x) =x-2,則 f (6.5)=(A. 4.5B. 4.5C. 0.5D. 0.5答案D.1.1.解析-f(x+2) = -f-, /.f(x+ 4) = f(x+2)+2=f 、2 =f(x),f(x)周期為 4,f (6.5) =f(6.5 8)=f( 1.5) =f(1.5

4、) =1.5-2=- 0.5.(理)(2010 日照)已知函數(shù)f(x)是定義域為 R的偶函數(shù)，且f(x+2)=f(x),若f (x)在1,0上是減函數(shù)，則f(x)在2,3上是()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減的函數(shù)D.先減后增的函數(shù)答案A解析由f(x+ 2)=f(x)得出周期T= 2,. f(x)在1,0上為減函數(shù)，又f (x)為偶函數(shù)，f (x)在0,1上為增函數(shù)，從而 f (x)在2,3上為增函數(shù).5. (2010 )已知函數(shù) f(x)是定義在區(qū)間 a, a( a0)上的奇函數(shù)，且存在最大值與 最小值.若g(x) =f(x)+2,則g(x)的最大值與最小值之和為()A. 0B. 2C.

5、4D.不能確定答案C解析:f (x)是定義在a, a上的奇函數(shù)，. f(x)的最大值與最小值之和為 0,又 g(x) =f(x) + 2是將f(x)的圖象向上平移2個單位得到的，故g(x)的最大值與最小值比f (x) 的最大值與最小值都大 2,故其和為4.2? x6. te義兩種運算：a?b=a b , ab=|ab|,則函數(shù) f(x)=x2()A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)答案B解析f(x)= C , I I |x 2| 2 x2W4, . 2W x2,又. xw0, xC 2,0) U (0,2.則 f(x)=,f(x) +f(x) =0,故選

6、 B.7.已知f(x)是定義在(一8, +oo)上的偶函數(shù)，且在 (一8, 0上是增函數(shù)，設 a =1 06f (log 47), b=f (log 23), c= f (0.2 )，則 a、b、c 的大小關系是()A. cbaB. bcaC. bacD. ab1, 110g 23| = log 23log 27, 00.2O.6|log 47|0.2 0.6|.又f(x)在(一8, 0上是增函數(shù)，且f(x)為偶函數(shù),.f(x)在0 , +8)上是減函數(shù).bac.故選 C. .1 + f x 一,一8.已知函數(shù) f(x)滿足：f(1) =2, f(x+1)=-,則 f(2011)等于()1 T

7、 xA. 2C.B. - 31D3答案C解析由條件知，f(2) =-3, f (3) =-1, f (4) =1, f(5) =f (1) =2,故 f(x+ 4)=23*f (x)(x e N).f(x)的周期為4,，1故 f (2011) =f (3)=-.點評嚴格推證如下:1 + f f(x+2)= 1 Tx+ 1x+ 1log .T(x+ 4) =T( x+2)+2 =T(x).即 T(x)周期為 4.故 f(4k+x) =T(x) , (xCN*, kCN*),29.設T(x)=lg yx + a是奇函數(shù)，則使T(x)0的x的取值圍是(A. (1,0)B. (0,1)C.(巴 0)D

8、. (8, 0) U (1 , +oo)答案A解析:“*)為奇函數(shù)，T(0) =0, a=- 1.一x+1 ，一 一 -T(x) = lg T-,由 T(x)0 得 x0學1,1x0得，一2vx2,排除口兀當x = 百時，兀6兀.y=7=干1,兀 3sin 6排除B,故選C.二、填空題sin 兀 x11.(文)已知 f (x) =f x-1x01111 ,，則f 石+f石的值為答案2115.1斛析 f 3=f 6 T=f 2.11.11 兀 .兀 1-、,0的解集是f 一至=sin 一丁 =Sin 石=2，原式=- 2.答案解析依據(jù)偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，先補全f(

9、x)、g(x)的圖象,f xg_xf0, g00,觀察兩函數(shù)的圖象，其中一個在 x軸0上方，一個在x軸下方的，即滿足要求，.兀一兀x0 或xl時，f(x) = (x+b)2,則 f(3)+f(5) =.答案12解析. (x)是R上的奇函數(shù)，f(0) =0,一 1wxwi 時，f(x) =a, 1, a=0. 1- f (1) = (1 + b) 2 = 0,b= - 1. 當 xw1 時，一x1, f( - x) = ( - x-1)2= (x+1)2, f(x)為奇函數(shù)，f(x) = - (x+1)2,x+1 2x - 1.f(x)= 0 -1xl.f( -3) +f (5) =- ( 3+

10、 1)2+(5 1)2=12.點評求得b= 1后，可直接由奇函數(shù)的性質得f(3)+f(5) = - f(3) +f(5)=-(3 - 1)2+(5 1)2=12.14.(文)(2010 棗莊模擬)若(刈=刈 工 +a(aCR)是奇函數(shù)，則 a=答案12x解析.f(x) = 1g 廠; +a是奇函數(shù),，f ( x) + f (x) = 0 恒成立,r 2x 2x即1g +a+1g E + a些.2x2xTg 1T7 + a 口 +a2x2x (a + 4a + 3) x (a 1) = 0,上式對定義的任意 x都成立,2a +4a+ 3= 0a2-1 = 0T點評可以先將真數(shù)通分，再利用f (

11、x) = f (x)恒成立求解，運算過程稍簡單如果利用奇函數(shù)定義域的特點考慮, a+ 2 x+ a則問題變得比較簡單.f(x) = lg 1 + x為奇函數(shù)，顯然x= 1不在f(x)的定義域, ” a故x= 1也不在f (x)的7E義域，令x= -a-qy2 =1,得a=- 1.故平時解題中要多思少算，培養(yǎng)觀察、分析、捕捉信息的能力.a(理)(2010 質檢)已知函數(shù)f(x) = 1g -1+t- 為奇函數(shù)，則使不等式f(x) 1成2+x立的x的取值圍是答案18x211解析 f (x)為奇函數(shù)，f( - x) + f (x) = 0 恒成立，1g 1 +. a1g 一 1 + -2+x=1g

12、-1 + 2 T + 右”- T+三 f = =1，-4 a,. aw。， x?3 =0, . a=4, . 2-x-f(x) = 1g T+M =lgxZ 2由 f(x) 1 得，lg 紅x-1, 2十X2vx2,2-x 12-x2x得,2+x 10 .00 得,c3 18. 18 八x, .x0,解得 a 3或 a0 ,當 xC ( 1 , 1)時，g (x)0,1 一 一，一g( x)在x = 1處取得極大值，在 x=一同處取得極小值.3又9( 1) = 2, g( 1)=|0,且方程g(x) + b=0即g(x) =-b有三個不同的實數(shù)解，32 7b2,50一27.50解得2Vb0且a

13、W1)是定義在(一8, +oo )上的奇函數(shù).(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的值域；(3)當xC(0,1時，tf (x)2x 2恒成立，求實數(shù)t的取值圍.解析(1) ,f(x)是定義在(一8,+8)上的奇函數(shù)，即f ( x) = f(x)恒成立, f(0) =0.即 1 -0= 0,2x a + a解得a=2.c2x-1 y=2TT由 2x0 知 Fy0, 1 - y- 1y2 2 即為 2乂+1 2 -2.即：(2x)2 (t+1) 2x+t 2W0.設 2x=u,. x (0,1 , . uC (1,2. uC (1,2時 u2-(t +1) u+t 2wo 恒成立.,解得t 0.1

14、2- t + 1X 1+ t -2022- t + 1X2+ t -20(理)設函數(shù) f(x)=ax+bx+ c(a、b、c 為實數(shù)，且 aw0), F(x) =f x x0(1)若f( 1) =0,曲線y=f (x)通過點(0,2 a+3),且在點(一1, f( -1)處的切線垂直 于y軸，求F(x)的表達式；(2)在(1)的條件下，當xC1,1時，g(x) =kx f (x)是單調函數(shù)，求實數(shù) k的取值 圍；(3)設 mr0, a0,且 f(x)為偶函數(shù)，證明 F(n) + F(n)0.解析(1)因為 f (x) =ax2+bx+c,所以 f (x) = 2ax+ b.又曲線y=f(x)在點(一1, f( 1)處的切線垂直于 y軸，故f (1)=0,即一2a + b = 0,因此i b=2a.因為f ( 1) = 0,所以b= a+ c.又因為曲線y=f (