初中數(shù)學(xué)中的折疊問題

1、初中數(shù)學(xué)中的折疊問題折疊問題（對稱問題）是近幾年來中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型，學(xué)生往往由于對折疊的實(shí) 質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致對這類中檔問題失分嚴(yán)重。本文試圖通過對在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到 的幾種折疊的典型問題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問題的常規(guī) 方法。其實(shí)對于折疊問題，我們要明白：1、折疊問題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換.2、折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱.對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折登前后 圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.3、對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，在畫圖時，畫出折疊前后的圖形， 這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置

2、關(guān)系.4、在矩形（紙片）折疊問題中，重合部分一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì) 用含X的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求解.一、矩形中的折疊1 .將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC, BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上,/CBD二一度.根?BC、BD 是折痕，所以有/ABC = NGBC, ZEBD= ZHBD 則 NCBD = 90°折卷前后的對應(yīng)角相等,2 .如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，再過點(diǎn)A'折疊使折

3、痕DE BC,若 AB=4, AC=3,則AADE 的面積是.沿BC折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn)A，處，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到BC垂直平分AA,即AF=；AA',又DEBC,得到4ABC - AADE,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求 出三角形ADE的面積=24DBADBA對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線3 .如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4, AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，得折 痕DG,求AG的長.由勾股定理可得BD = 5,由對稱的性質(zhì)得4ADG9 A DG,由 A'D = AD = 3, AG' = AG,則 A'B = 5-3 = 2, 在RtA

4、A BG中根據(jù)勾股定理，列方程可以求出AG的值根據(jù)對稱的性質(zhì)得到相等的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即 可4 .把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著BF折疊，使得折痕 BE也與BC邊重合，展開后如圖所示,則ZDFB等于（） 根據(jù)對稱的性質(zhì)得到/ABE=NCBE, NEBF=NCBF,據(jù) 此即可求出NFBC的度數(shù)，又知道NC=90° ,根據(jù)三角形 外角的定義即可求出/DFB = 112.5°注意折疊前后角的對應(yīng)關(guān)系5 .如圖，沿矩形ABCD的對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知BC=8cm, AB=6cm,求 折卷后重合部

5、分的而積.點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線BD對稱，N1=N2VAD/7BC, Z.Z1 = N3A Z2 = Z3FB = FD設(shè) FD = x,則 FB = x, FA = 8-x在 RtZkBAF 中，BA2+AF2 = BF2.62 + (8-x)2 = x2解得x = y119R7R所以，陰影部分的而積Sa=5 FDXAB=? X- X6 = - cm3 乙乙氣重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形6.將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊，若折疊角NFEC=64° ,則N1二度;4EFG的形狀三角形.四邊形CDFE與四邊形C D FE關(guān)于直線EF對稱Z. Z2 = Z3 = 64°

6、A Z4= 180° -2 X 64c =52°VAD/BCZ.Z1 = Z4 = 52°Z2= Z5XV Z2= Z3A Z3 = Z5A GE = GFEFG是等腰三角形對折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫出對折前后的圖形，便于尋找對折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰4GEF7 .如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進(jìn)行折疊：對折，展平，得折痕EF （如圖）； 延CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B'處，（如圖）：展平，得折痕GC （如圖）：沿 GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C'處，（如圖）；沿GC'折疊（

7、如圖）；展平，得折 痕GC' , GH （如圖）.（1）求圖中NBCB'的大?。海?）圖中的GCC'是正三角形嗎？請說明理由.（1）由對稱的性質(zhì)可知：B'C=BC,然后在RtZB' FC中，求得cosNB'CF= 1，利用特殊角的三角函數(shù)值的知識即可求得NBCB'=60° ：（2）首先根據(jù)題意得：GC平分NBCBT即可求得NGCC'=60° ,然后由對稱的性質(zhì)知I： GH是線段CC'的對稱釉，可得GC'=GC,即可得GCC'是正三角形.理清在每一個折疊過程中的變與不變8 .如圖，正方形紙

8、片ABCD的邊長為8,將其沿EF折疊，則圖中四個三角形的周 長之和為 四邊形BCFE與四邊形B Cf FE關(guān)于直線EF對稱，則這四個三角形的周長之和等于正方形ABCD的周長折置前后對應(yīng)邊相等9 .如圖，將邊長為4的正方形ABCD沿著折痕EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的中點(diǎn)G處，求四邊形BCFE的面枳設(shè) AE = x,則 BE = GE = 4x,在RtZkAEG中，根據(jù)勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即:X2 + 4 = (4 . x)2解得 x=L5, BE = EG = 4-1.5 = 2.5VZ1 + Z2 = 90° , Z2+ Z3 = 90°AZI = Z

9、3又,： 4R= ZD = 90°AAAEG s ADGP.AE EG niI1.5 2.5 人10*DG = GP '則菱-=GP '解® GP= y102PH = GH-GP = 4 -彳=彳 JJN3 = N4, tanN3 = tanN 1 = j3 FH 3332AtanZ4=,，麗=j , FH =彳 XPH= j X? = 5ACF=FH=；2 4 + 1 )X4 = 6注意折疊過程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊與對應(yīng)角相等10.如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折卷，使點(diǎn)B落在邊AD上 不與A、D 重合.MN為折痕，折疊后B

10、'U與DN交于P.(1)連接BB',那么BB，與MN的長度相等嗎？為什么？設(shè)BM=y, AB'=x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；猜想當(dāng)B點(diǎn)落在什么位置上時，折疊起來的梯形MNCB，面積最??？并驗(yàn)證你的猜想. BB' = MN過點(diǎn)N作NHBC交AB于點(diǎn)H),證aABB'且 AHNM(2)MB' = MB = y, AM=1 -y, AB'=x在 RtZkABB'中BB，= AB2 +AB*2 =因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于MN對稱，所以BQ = B'Q,則 BQ =+x2由BMQsBB'A 得BMXBA = BQXBB,y

11、 = p/1 + x2 X -/l + x2 = 1(1 + x2) (3)梯形MNC' B的面積與梯形MNCB的面積相等 由可知,HM = AB = x,BBH = BM-HM = y-x,則 CN = y-x梯形MNCB的面積為：I (y-x + y) XI = 1 (2y-x) = （2X（1 +x2） -x）1 z 1 、23，（X-”2+w當(dāng)x=J時，即B點(diǎn)落在AD的中點(diǎn)時，梯形MNC'B，的面積有最小值，且最小值是9Lo二、紙片中的折疊11 .如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則的度數(shù)等于（）Z a = Zl, Z2= Z1A Z o = Z2 .-.2Za+ZAB

12、E=180o ,即 2Na+30° =180° , 解得Na =750.題考查的是平行線的性質(zhì)，同位角相等，及對稱的性質(zhì)，折疊的角與其對應(yīng)角相等，和平角 為180度的性質(zhì)，注意4EAB是以折痕AB為底的等腰三角形12 .如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC,使NCAB=45° ,則后重合部分的面積為作 CDJ_AB, VCE/7AB, AZ1=Z2, 根據(jù)翻折不變性，Z1=ZBCA, 故 N2=NBCA.AAB=AC.XVZCAB=45° , ，在 RtADC 中，AC= 22 ， AB = 22 Saabc = 5 ABXCD = 2yf2在折疊問題中，

13、一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補(bǔ)充完整，對于矩形（紙片） 折棱，折登后會形成“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個以折痕為底邊的 等腰三角形ABC13 .將寬2cm的長方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是如圖，作QHLPA,垂足為H,則QH=2cm,由平行線的性質(zhì)，得NDPA=NPAQ=60°由折疊的性質(zhì)，得NDPA =ZPAQ,A ZAPQ=60° ,又：240二/,”0二60° ,APQ為等邊三角形，在 RSPQH 中，sinZHPQ =.浮=看,則因=¥注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系.在矩形（紙片）折疊問題中，會出現(xiàn)“平

14、行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)圖形，即有以折痕為 底邊的等腰三角形APQ14 .如圖a是長方形紙帶，ZDEF=20° ,將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c, 則圖c中的/CFE的度數(shù)是（）ADBC,，NDEF=NEFB=2(T ,在圖 b 中,GE = GF, ZGFC=180° -2ZEFG=140° ,在圖 c 中 NCFE=NGFC-NEFG=120° ,本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折卷是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸 對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.由題意知NDEF=NEFB=20° 圖 bNGFC=140

15、° ,圖 c 中的NCFE=NGFC-NEFG15 .將一張長為70cm的長方形紙片ABCD,沿對稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后,AB與CD間的距離為60cm,則原紙片的寬AB是（）設(shè) AB=xcm.右圖中，AF = CE = 35, EF = x根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，得AE=CF=35-x (cm). 則有 2 (35-x) +x=60,x=lO.16 . 一根30cm、寬3cm的長方形紙條，將其按照圖示的過程折疊（陰影部分表示紙條的反 而），為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點(diǎn)P的長度相等，則最初折疊時，求MA的長將折疊這條展開如圖,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,兩個梯形的上底等于紙

16、條寬，即3cm.下底等于紙條寬的2倍，即6cm, 兩個三角形都為等腰直角三角形, 斜邊為紙條寬的2倍，即6cm,故超出點(diǎn)P的長度為（30-15 ） +2=7.5,AM=7.5+6=13.5又 tanNl=XH/. AH = |a，BH= 1a則 tanNB=瞿，得NB = 60° bH.CBD是等邊三角形/ Z2 = Z4A Z3 = Z4, ADZ/CBz又 CBz = BC = BD = a, ACB2 = AD，四邊形ADCB2是平行四邊形則重疊部分4CDE的面積是4ABC面積的;(3)如右圖，由對稱的性質(zhì)得，Z3= N4, DA = DB3AZI = Z2又Z4= Z1 +Z

17、2A Z4 = Z1 ，AB3CD注意“角平分線+等腰三角形”的基本構(gòu)圖，折疊前后圖形之間的對比,找出相等的對應(yīng)角 和對應(yīng)邊19.在AABC中，已知NA=80° , NC=30° ,現(xiàn)把ACDE沿DE進(jìn)行不同的折疊得：'DE,對折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究：（1）如圖（1）把4CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內(nèi)，則求N1+N2的和：（2）如圖（2）把4CDE沿DE折疊覆蓋NA,則求N1+N2的和：（3）如圖（3）把ACDE沿DE斜向上折卷，探求Nl、N2、NC的關(guān)系.C'（I）根據(jù)折卷前后的圖象全等可知，N 1 = 180° -2NCDE, N2=18

18、0。-2/CED,再根據(jù)三 角形內(nèi)角和定理比可求出答案：（2）連接DG.將NADG+NAGD作為一個整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求；（3）將/2看作180° -2NCED, N1看作2/CDE-18（T ,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求.解：(1)如圖(1)Z1+Z2=I8O° -2ZCDE +1800 -2ZCED=360° -2 (ZCDE+ZCED)=360° -2 (180° - ZC)=2ZC=60° ：(2)如圖(2) 連接DG,Zl+Z2=180c - ZCr - (ZADG+ZAGD) = 180° -30

19、76; - (180° -80° ) =50° ：(3)如圖(3)Z2-Zl = 1800 -2NCED- (2ZCDE- 180° )=360° -2 (ZCDE + ZCED)=360° -2 (180° - ZC)=2ZC所以：Z2- Z1=2ZC.由于等腰三角形是軸對稱圖形，所以在折福三角形 時常常會出現(xiàn)等腰三角形20 .觀察與發(fā)現(xiàn)：將三角形紙片ABC （AB>AC）沿過點(diǎn)A的直線折登，使得AC落在AB邊上，折痕為AD. 展開紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合, 折痕為E

20、F,展平紙片后得到4AEF （如圖）.小明認(rèn)為4AEF是等腰三角形，你同意嗎？ 請說明理由.實(shí)踐與運(yùn)用：將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE （如 圖）：再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D，處，折痕為EG （如圖）；再展 平紙片（如圖）.求圖中如a的大小.在第一次折卷中可得到NEAD=ZFAD在第二次折登中可得到EF是AD的垂直平分線，則AD±EF，ZAEF = ZAFE/. AAEF是等腰三角形(1)由折疊可知ZAEB = NFEB, ZDEG = ZBEG而NBEG = 450 + Na因?yàn)?NAEB + ZBEG + ZDEG

21、= 180°所以 45° + 2 (45°1800Za = 22.5°由于角平分線所在的直線是角的對稱軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關(guān)。要 抓住折疊前后圖形之間的對應(yīng)關(guān)系 將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF,折痕與AD邊交于點(diǎn)E,與 BC邊交于點(diǎn)F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都 與點(diǎn)F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ （如圖），求NMNF的大小.由題意得出：NNMF=NAMN=NMNF, ，MF=NF,由對稱性可知,MF=PF,，NF=PF,而由題意得出：MP=MN,又 M

22、F=MF, ，NPMF=NNMF,而NPMF+NNMF+NMNF=18O0 ,即 3NMNF=18O° ,A ZMNF=60° ，在矩形中的折疊問題，通常會出現(xiàn)“角平分線+平行線”的基本結(jié)構(gòu)，即以折痕為底邊的等 腰三角形21 .直角三角形紙片ABC中，NACB=90° , ACBC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，使 點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D,設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F.探究：如果折疊后的4CDF與4BDE均為等腰三角形，那么紙片中NB的度數(shù)是多少？寫 出你的計算過程，并畫出符合條件的后的圖形.:CDF中，ZC=90c ,且ACDF是等腰三角形,A

23、CF=CD,A ZCFD=ZCDF=45° ,圖1設(shè)NDAE=° ,由對稱性可知，AF=FD, AE=DE, ZFDA=| ZCFD=22. 5° , ZDEB=2x° ,分類如下：當(dāng) DE=DB 時，ZB=ZDEB=2x° , 由 NCDE=NDEB+NB,得 45° +22.5° +x=4x, 解得：x=225°.此時NB=2x=45° ： 見圖形(1),說明:圖中AD應(yīng)平分NCAB.當(dāng) BD二BE 時，則NB=(180° -4x) ° , 由 NCDE=NDEB+NB 得：45+

24、22. 5+x=2x+180-4x, 解得 x=37.5° ,此時 NB=(180-4x) ° =30° . 圖形(2)說明：ZCAB=60° , ZCAD=22.5° .DE=BE時，則NbJ"n1800 - 2x由 NCDE=NDEB+NB 的，45+22. 5+x=2x+-此方程無解.ADE=BE不成立.綜上所述NB=45°或30°先確定4CDF是等腰三角形，得出NCFD=NCDF=45° ,因?yàn)椴淮_定ABDE是以那兩條邊 為腰的等腰三角形，故需討論，DE=DB,BD=BE,DE=BE,然后分別利用

25、角的關(guān)系 得出答案即可22.下列圖案給出了折疊一個直角邊長為2的等腰直角三角形紙片（圖1）的全過程：首先 對折，如圖2,折痕CD交AB于點(diǎn)D：打開后，過點(diǎn)D任意折卷，使折痕DE交BC于點(diǎn) E,如圖3：打開后，如圖4：再沿AE折疊，如圖5：打開后，折痕如圖6.則折痕DE和 AE長度的和的最小值是（ ）過D點(diǎn)作DFBC,交AC于F,作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A',連接DA', 則DA'就是DE和AE的最小值.；D點(diǎn)是AB的中點(diǎn),ADF=b FC=1, AFA7 =3ADA;= yjl2 + 32 = 近.折痕DE和AE長度的和的最小值是，記本題經(jīng)過了三次折疊，注意理清折卷過程中

26、的對稱關(guān)系，求兩條線段的和的最小值問題可以參見文 革 http：/wenku. baidu. com/view/f6a6b4dda58da0116c 174995. html23 .小華將一條1 （如圖1）,沿它對稱軸折疊1次后得到（如圖），再將圖沿它對稱軸折 疊后得到（如圖3）,則圖3中一條腰長：同上操作，若小華連續(xù)將圖1折卷n次后所得到 （如圖n+1） 一條腰長為多少？解：每次折疊后，腰長為原來的乎故第2次折疊后得到的等腰直角三角形的一條腰長為（坐）T則小華連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形的一條腰長為（亞）32本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于

27、找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些 部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.24 .如圖，矩形紙片ABCD中，但#,BC=yflO .第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合, 折痕與BD交于點(diǎn)0出的中點(diǎn)為Di,第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)以重合，折痕與BD 交于點(diǎn)02：設(shè)O2D1的中點(diǎn)為D2，第三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn) 。3,按上述方法，第n次折疊后的折痕與BD交于點(diǎn)品，則BOk , B0n=第一次折圖第二次折疊第三次折疊第一次折卷時，點(diǎn)0：是BD的中點(diǎn)，則B0：二D01第二次折疊時，點(diǎn)”是BL的中點(diǎn)，則B0二二DQ二 第三次折疊時，點(diǎn)6是BD：的中點(diǎn)，則BOs二D9： 因?yàn)锳B二#

28、，BC二小,所以BD = 4 第一次折疊后，有BO： = D0,ABO： = 2第二次折疊后，有BO： = DQ二第三次折疊后,有B0,= DAabo3 =BD： DiD：23031-1即當(dāng)n=1時，BO：二2亍二玄e33°3' -'當(dāng) n = 2 時，B0：=；="=乙 乙乙93 二 3 -1當(dāng) n = 3 時，B()3 = § =亍=93：2-3則第n次折疊后，B0.= 問題中涉及到的折疊從有限到無限，要明白每一次折卷中的變與不變，充分展示運(yùn)算的詳細(xì) 過程。在找規(guī)律時要把最終的結(jié)果寫成一樣的形式，觀察其中的變與不變，特別是變化的數(shù) 據(jù)與折疊次數(shù)

29、之間的關(guān)系25 .如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3, AC=4, D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折 疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pi；設(shè)PQ的中點(diǎn)為Di,第2次將紙片折卷， 使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2：設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2,第3次將紙片折疊，使 點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3：；設(shè)Pn.lDn.2的中點(diǎn)為Dn-i,第n次紙片折疊,使A與點(diǎn)Du重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n>2）,則APe長（)AD = |第一次折疊后,AP = PD, P1D1 = DD ap AD 5 APi= - = 4第二次折疊后，AP2 = PzDi, P2D2 = D2D

30、1AD 一獨(dú)AD AD-DDi au 215 AP2= - =2= -2 = 16第三次折疊后，AP3 = P3D2AP2 5 15 AD. AD r D|D2 ADi-9-變45.AP3= - = -22= 6453。乂5即當(dāng) n = 1 時，AP = W = 2215 VX5"i n = 2 時，AP?=亡='J,4532X5為 n = 3 時，AP3 =石=3n1義5則第n次折疊后， APn = "22n故 APb =35X52】2此題考查了翻折變換的知識，解答本題關(guān)鍵是寫出前面幾個有關(guān)線段長度的表達(dá)式，從而得 出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力26 .閱

31、讀理解如圖1, ZABC中，沿NBAC的平分線ABi折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿NBiAK的平 分線%B2折疊，剪掉重復(fù)部分；：將余下部分沿NBnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn) C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，NBAC是AABC的好角.小麗展示了確定NBAC是AABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂 角NBAC的平分線ABi折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿NBAC的平分線ABi折疊, 剪掉重復(fù)部分：將余下部分沿NBiAiC的平分線A1B2折疊，此時點(diǎn)出與點(diǎn)C重合.探究發(fā)現(xiàn)（0ABC中，NB=2NC,經(jīng)過兩次，NBAC是不是AABC的好

32、角？（填“是”或“不是”）.（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了 NBAC是ABC的好角，請?zhí)今籒B與NC （不妨設(shè)NB>NC） 之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊NBAC是AABC的好角，則NB與NC（不妨設(shè)NBANC）之間的等量關(guān)系為 應(yīng)用提升 ZB = nZC所以y =44（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60。、105。，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個 角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個三角形的最小角是4° ,試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形 的三個角均是此三角形的好角.設(shè)另外兩個角是4x, 4y,則4x + 4

33、y + 4 = 18004x = 4yXa%是正整數(shù)）因?yàn)閤, y, a,都是正整數(shù)，則a的值應(yīng)為：1、3、10、21、43當(dāng) a = 1 時，x = y 二 22, 4x = 4y = 88°當(dāng) a =3 時，y =11,x=33,4x= 13204y=44°當(dāng) a =10 時，y=4,x=40,4x=16004y=16°當(dāng) a 二21 時，y=2,x=42,4x=16804y=8°當(dāng) a 二43 時，y=1,x=43,4x= 17204y=4°注意折疊過程中的對應(yīng)角和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和的運(yùn)用，理解 三角形中如果有一

34、個角是好角之后，另兩個角之間的關(guān)系，通過這樣的問題培養(yǎng)歸納總結(jié)能 力27 .我們知道：任意的三角形紙片可通過如圖所示的方法折疊得到一個矩形.（1）實(shí)踐：將圖中的正方形紙片通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個矩形（在圖中畫圖說明）.（2）探究：任意的四邊形紙片是否都能通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ鄣浅梢粋€矩形？若能，直接在圖 中畫圖說明：若不能，則四邊形至少應(yīng)具備什么條件才行？并畫圖說明.（要求：畫圖應(yīng) 體現(xiàn)折疊過程，用虛線表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無縫隙又無重登部分）解：（1）折卷方法如圖所示.四邊形至少應(yīng)具備的條件是：“對角線互相垂直 折登方法如圖所示.折疊即對稱28.如圖，雙曲線丫二9 （x>0）經(jīng)

35、過四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C, ZABC=90c , 0C平分OA X與X軸正半軸的夾角，ABx軸，將AABC沿AC翻折后得到AB'C, B'點(diǎn)落在0A上，則四 邊形OABC的面積是多少？設(shè) C(m. M根據(jù)對稱的性質(zhì)有：CD = CB = CB'所以 B(m, , ), A(y , , ), D(m, 0)AB = y , BD =卷,CD = * , OD = m 則四邊形OABC的面積為：| X(AB + OD)XBD- I XODXCD=1 X+m)X3XmXm=6明白折疊中的對應(yīng)邊就行29.已知一個直角三角形紙片OAB,其中NA0B=9（T , OA=2, 0

36、B=4.如圖，將該紙片放 置在平面直角坐標(biāo)系中，折卷該紙片，折痕與邊0B交于點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D.< 1）若折登后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若折疊后點(diǎn)B落在邊0A上的點(diǎn)為B',設(shè)OB' =x, OC=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù) 解析式，并確定y的取值范圍：（3）若折履后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B",且使B" DOB,求此時點(diǎn)C的坐標(biāo).(DAB =" + 16 = 2小VABCDABAD> ABCXB0 = BDXBA/.BCX4 二季 X2a/5 , BC 二 £5 33A0C = OB - BC = 4 -=-,則 C(0,-)乙 乙乙如右圖，BC= B'CB，C = BC = OB-OC = 4- y在 RtA0B，C 中根據(jù)勾股定理有：y + x= = （4 - y）:所以 y =- + 2 o當(dāng)0 W X W 2時，拋物線