應(yīng)變分析課案

1、第三章 應(yīng)變分析在第二章我們研究了應(yīng)力張量本身和體力、面力之間的關(guān)系式，即平衡 規(guī)律。本章將討論變形體研究的另一個(gè)基本關(guān)系：變形與位移之間的關(guān)系。 當(dāng)然要以小變形假設(shè)為基礎(chǔ)，位移和形變相對(duì)于變形體幾何尺寸是微小的。第1節(jié) 位移和（工程）應(yīng)變11位移變形體任意點(diǎn)p的位移矢量u = me， u有三個(gè)分量12 （工程）應(yīng)變工程應(yīng)變是通常工程中描述物體局部幾何變化，分為正應(yīng)變和剪應(yīng) 變。，：l,（角變形）=兩微元線(xiàn)段夾角的改變量。（工程）正應(yīng)變：；11、么、；33 ,（工程）剪應(yīng)變:12= xy、23= yz、V31= zx工程應(yīng)變共有六個(gè)分量：三個(gè)正應(yīng)變和三個(gè)剪應(yīng)變，正應(yīng)變以伸長(zhǎng)為正,剪應(yīng)變以使直角

2、變小為正。第2節(jié)應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量是描述一點(diǎn)變形和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)非常重要的物 理量，本節(jié)將討論一下它們與位移之間關(guān)系，在討論之前，先介紹一下相 對(duì)位移矢量和張量.2.1相對(duì)位移矢量和相對(duì)位移張量PQ平移PQ伸長(zhǎng)+轉(zhuǎn)動(dòng)，p'Q11I!IIQ Q 二 du 二 dr - dr相對(duì)位移矢量du = *xj(a)u = uiei而 dr 二 dXjejdXj 二勺 dr （b）將（b）式代入（a）式，得du = ui,jeiej Idr根據(jù)商法則du二U - dr則 U = ui,jeej = U ijeiej為一個(gè)二階張量相對(duì)位移張量22應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量相對(duì)位移張量Ui,

3、j包含了變形和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，為了將兩者分開(kāi)，對(duì)Ui,j進(jìn)行整理，張量分成對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)張量之和。1 1Uj = 5,廠 2（Ui,j 5）2（Ui,j - 5）U = ij- - = £ - + 或 ij i, j ijij1 1其中 "廠 2（ui,j Uj,i），j = 3（ui,j 一 Uj,i）顯然 滬了 （對(duì)稱(chēng)張量），：ij=ji（反對(duì)稱(chēng)張量）而Ij表示變形體的形變，ij表示了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。以在平面x1 x2的兩個(gè)垂直線(xiàn)段PQ、PR的相對(duì)位移來(lái)說(shuō)明并 直觀看一下習(xí)，ij二階張量表示了形變和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。X2Ui ,15U2,1 ,u比,2相對(duì)位移21=(U2 ,1 -U1 ,2

4、 )/212= (Ui ,2 -U2 ,1 ) /2引1=Ui ,1 | £12=(u1 ,2 +U2 ,1 )/211 ,12= 21 ,22 純變形''12=' 21 純轉(zhuǎn)動(dòng)2.3轉(zhuǎn)動(dòng)張量的對(duì)偶矢量由純剛體轉(zhuǎn)動(dòng)可見(jiàn)，-12= - '21，正好相當(dāng)于一個(gè)沿X3軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)矢 量3勺，方向?yàn)閑3，其大小'3 :1 12(' 1 '21 2(e!23 '12 ' e213 ' 21)類(lèi)似可得，其它兩個(gè)坐標(biāo)平面，轉(zhuǎn)動(dòng)矢量1© >2e21 1 1 1 綜合三個(gè)坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)矢量：形=RkQ = e

5、jkJijS為轉(zhuǎn)動(dòng)張量的對(duì)偶矢量。*比較工程應(yīng)變定義和應(yīng)變張量，可得：11V1213|；112七21321；22y-23-:2価；222 ； 2331y32；33一2'12 ； 32；33第3節(jié)_應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量的坐標(biāo)變換式在Xk坐標(biāo)系中，已知變形體內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變張量 ；kl和轉(zhuǎn)動(dòng)張量'kl，則 在新笛卡爾坐標(biāo)系x'中此點(diǎn)應(yīng)變張量和均可以通過(guò)二階張量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式求出它們。即:ij=Q ikQ j'lklijQ i'kQ j'l klQki kV ek Si第4節(jié)主應(yīng)變、應(yīng)變方向應(yīng)變張量的三個(gè)不變量確定一點(diǎn)的主應(yīng)變和應(yīng)變主方向方法與求主應(yīng)力和應(yīng)力主

6、方向的方法完全一致，求主應(yīng)變的方程-1 ； 2-山0解出；1、； 2、；3（實(shí)根）,I、u .、川分別為應(yīng)變張量的三個(gè)不變量：心心GI - ；11 ；22；33 二；1 ；2 ；3 二 e體積應(yīng)變=V T122 33 1川；八2；3當(dāng)J ；2；3時(shí)（三個(gè)主應(yīng)變不相等），三個(gè)主方向相互垂直第5節(jié) 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件）在本章第二節(jié)中我們討論了一點(diǎn)的應(yīng)變張量，它包含了一點(diǎn)的變形信息，應(yīng)變張量與位移微分關(guān)系稱(chēng)為幾何方程（共六個(gè)）。如果已知變形體的 位移狀態(tài)U，則由這六個(gè)方程直接求出應(yīng)變張量，但反之由六個(gè)獨(dú)立的任 意；ij求ui不行。1 / 、2（Ui，j U j，i）因?yàn)?；j僅包含形變，由其求出位

7、移時(shí)，剛體位移是無(wú)法確定的，因 此，位移U無(wú)法確定。1j分量之間必須滿(mǎn)足一定的條件（方程），才能由幾何方程積分求出 單值連續(xù)的位移場(chǎng)u習(xí)的分量必須滿(mǎn)足的方程稱(chēng)為變形協(xié)調(diào)方程或相容 方程。變形協(xié)調(diào)方程共有六個(gè)，可由幾何方程直接導(dǎo)出。即:2 匚 222 2:;22 j ;12：Xx22；23=2-7x2 x3Xi：2u2:x .x3聖庫(kù)竺十單土十尊竺）i凰ul. X-1 :x2:Xv：X2. x2 . x3. x2 :x3:x . x3 2 ；x2:x3.x2；x3呼11-：x2 ；：x3:xx1.2:；33：-；23.x1X :x3: x1:x2.xi :x2用指標(biāo)符號(hào)表示：；ij,kl ；kl

8、,ij 一 ；ik,jlji,ik = 0或用張量表示:emij enklik, jl結(jié)論:應(yīng)變張量了滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)方程是保證單連域的位移單值連續(xù)解存在的必要和充分條件。對(duì)于復(fù)連域還需附加補(bǔ)充條件 位移單值條件。*單連域：變形體內(nèi)的任何一條封閉線(xiàn)當(dāng)縮小時(shí)均能變?yōu)橐稽c(diǎn)，當(dāng)不滿(mǎn)足時(shí)為多連域。對(duì)于多連域附加補(bǔ)充條件辦法為：假想通過(guò)適當(dāng)截?cái)?使域?yàn)閱芜B域，在截?cái)嗝鎍b兩側(cè)u： = u -i即為補(bǔ)充條件作業(yè)：1. 給定位移分量2 2 2U1=CX1（X2+X3）, U2=CX2（Xl+X3）, U3=CX3（Xl+X2）此處C為一個(gè)很小的常數(shù)，求應(yīng)變張量；ij和轉(zhuǎn)動(dòng)張量 ij。2. 將直角坐標(biāo)系繞X3軸轉(zhuǎn)動(dòng)角，求新坐標(biāo)系應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。3. 假定體積不可壓縮，位移 Ul（Xi,X2）與 U2（Xi,X2）很小，U3=0。在 一定區(qū)域內(nèi)已知Ui=c（1-X22）（a+bxi+cxi2）,其中a、b、c為常 數(shù)，且 i2=0 ,求 U2（Xi,X2）o4. 試分析以下工程應(yīng)變狀態(tài)能否存在2 2 2（1） ii = k（Xi +X2 ） X3 , 22=kX2 X3 , 33=0,i2=2kXiX2X3,23= i3=02