方波的分解課程設(shè)計

1、j我a/疼Wuhan nstiuitc of Technology課程設(shè)計說明書課程設(shè)計名稱：方波的合成與分解課程設(shè)計題目：方波的合成與分解學院名稱：理學院專業(yè)班級：激光一班學生學號：1409090113學生姓名：汪玉琛學生成績：指導教師：郝向英課程設(shè)計時間：2016.06.08 至 2016.06.23目錄1設(shè)計的目的和要求 22設(shè)計方法與步驟 22.1信號分解為正交函數(shù) 22.2周期信號的分解與合成 42.2.1周期連續(xù)信號的特點 42.2.2周期為T的信號f(t)的三角形式的傅里葉級數(shù)表示的一般形式 53 MATLAB的仿真實現(xiàn)63.1基于MATLA方波信號的分解與合成 63.1.1方波

2、信號的分解與合成 63.1.2使用MATLA進行分解83.1.3使用MATLA進行合成93.1.4方波信號的頻譜圖 113.1.5方波信號的誤差分析 113.2結(jié)論 124心得體會 135參考文獻 131武漢工程大學本科課程設(shè)計1設(shè)計的目的與要求用MATLAB件將方波分解成多次正弦波之和。已知某一周期性方波（參數(shù)自擬） 用MATLA演示諧波合成情況，并討論相關(guān)參數(shù)對分解和合成波形的影響。2設(shè)計方法與步驟2.1信號分解為正交函數(shù)設(shè)有n個函數(shù)i（t）, 2（t）, ：3（t）,川，n（t）在區(qū)間（tit）構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f（t）用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為nf(t)

3、: Ci i(t) C2 2(t)川 Cnn(t)Cjj(t)( 1-1)j A這里的問題是：如何選擇 Cj才能得到最佳近似。顯然，應選取個系數(shù) Cj使實際函數(shù)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間內(nèi)為最小。這里“誤差最小”不是平均誤差最小，因為在平均 誤差最小甚至等于零的情況下，也可能有較大的正誤差和負誤差在平均過程中相互抵 消，以致不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。 通常選擇誤差均方值（或稱為方均值）最小, 這時，可以認為已經(jīng)得到了最好的近似。 誤差的均方值也稱為均方誤差，用符號；2表示(1-2)t2 .I |f(t)瓦 CjWj(t) dtJjm1在j =12l|,ij|,n中，為球的使均方誤差最小的第i

4、個系數(shù)C，必須使:20 Ci(1-3)可屮吒和屮嚴展開上式的被積函數(shù)，注意到有序號不同的正交函數(shù)相乘的各項，其積分均為零，而 且所有不包含Ci的各項對Ci求導也等于零。這樣，式（1-3）中只有兩項不為零，它可 以寫為C (-2Ci f (t 沱(t) + Ci2”2(t)dt = 0交換微分與積分次序，得t2t2 2-2 t f (t)爭(t)dt + 2Ci 卑2 (t)dt = 0t1-t1于是可求得t2t f(t) i t(d)t1 t2CUf (t V t(dt(1-4)Cit2 2t T (t ) i t(dt出2(t)dtKi 1t1式中Ki 十；(t)dt柱1(1-5)這就是滿足

5、最小均方誤差的條件下，式（1-1）中各系數(shù)G的表達式。此時，f（t）能獲得最佳近似。當按式（1-4）選取系數(shù)G時，將G代入到式（1-2），可以得到最佳近似條件下的 均方誤差為1t22n 2 t22nt2t2 _t1t221 t2考慮到 f 比2(t)dt = 0 , Cj= f(t)j(t)dt，得-Kj t1-21t2 2 n2 n2 1t2 2 n2孑=宀打 f2（t）dt 書 C2Kj 2瓦 c2Kj=（ f2（t）dt送 CfKj（ 1-6）t2 _t1 1j 三jTt t1 1jT利用上式可直接求得在給定項數(shù)n的條件下的最小均方誤差。有均方誤差的定義式（1-4）可見，由于函數(shù)平方后再

6、積分，因而 不可能為負， 即恒有-0。由式（1-5）可見，在用正交函數(shù)去近似（或逼近）f（t）時，所取的項數(shù)越多，即n愈大，則均方誤差愈小。當n時，；2 =0。由式（1-6）可得，如；2=0，則有tnt2 f2（t）dtC2Kj（1-7）t1j#式（1-7）稱為帕斯瓦爾（Parseva）方程。如果信號f（t）是電壓或電流，那么，式（1-7）等號左端就是在（）區(qū)間信號的能量，等號右邊是在魚乙）區(qū)間信號各正交分量的能量之和。式（1-7）表明：在區(qū)間魚花） 信號所含能量恒等于此信號在完備函數(shù)集中各正交分量能量的總和。與此相反，如果信號在正交函數(shù)中的各正交分量能量的總和小于信號本身的能量，這時式(1-

7、7)不成立，該正交函數(shù)集不完備。這樣，當n時，均方誤差；2=o,式(i-i)可寫成Q0(1-8)f(t)八 Cj j t()j 4即函數(shù)f(t)在區(qū)間魚1)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和2.2周期信號的分解與合成2.2.1周期連續(xù)信號的特點周期連續(xù)信號f(t)有如下特點：(1) 滿足f (t +mT) = f (t)，m是整數(shù)，是周期。從波形上看，有一個時間跨度為的基本波形，其余的是該基本波形經(jīng)平移 T1的整數(shù)倍后的重新拷貝。(2) f(t)在一個周期T1內(nèi)的積分，其值與積分的起點和終點無關(guān)，即有T1(3) 將周期信號展開成傅里葉級數(shù)具有的以下顯著優(yōu)點是： 三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是自然界中最常見、最

8、基本的函數(shù)。 三角函數(shù)和復指數(shù)函數(shù)是間諧函數(shù)，用它們表示時間信號，就自然地建立了時 間和頻率這兩個基本物理量之間的關(guān)系。 間諧信號較其他信號更容易產(chǎn)生和處理。 三角函數(shù)(或指數(shù)函數(shù))信號通過線性時不變系統(tǒng)后，仍為三角函數(shù)(或指數(shù) 函數(shù))，其重復頻率不變，只是幅度和相位有變化。線性時不變系統(tǒng)對三角函數(shù)(或指數(shù)函數(shù))信號的響應可以很方便地求的。 很多系統(tǒng)(例如濾波器、信息傳輸?shù)?的特性主要是由其頻域特性來描述的， 因此常常更需要知道的并不是這些系統(tǒng)的沖激響應，而是其沖激響應所對應的 頻率特性。 時域中的卷積運算在頻域會轉(zhuǎn)化為乘積運算，從而找到了計算卷積的一種新方 法，這可使時域中難以實現(xiàn)的卷積運算

9、求解便于實現(xiàn)。周期信號f(t)當滿足狄里赫利(Dirichlet )條件時可以展開成傅里葉級數(shù)。傅里葉(1)在一個周期內(nèi),級數(shù)分三角形式和指數(shù)形式兩種。狄里赫利條件如下:f (t)是絕對可積，即f(t)dt ,HI LJ4 321, - - n n將它們代入（2-1 ）式，可得圖1所示的方波信號的傅立葉級數(shù)展開式為f(t)sinsitnCZ1 ) Jtsi5帕叮)nt 同n( n =)1,3,5,它只含一、三、五、奇次諧波分量周期為T=1的f (t)可分解為n =1,3,5,111f(t- sin(2 二t)sin(6二t)sin(10二t) |sin(2n二t) | ,3 5n3.1.2使用

10、MATLA進行分解由周期T=1為例：圖2為周期為T=1的方波信號，經(jīng)傅立葉級數(shù)分解以后而得到的基波到七次諧波 的仿真圖，左上角為基波圖，它是一個非常正規(guī)的正弦波，幅值在1到1.5之間，要高于原方波的幅值。而且它的角頻率與原方波信號相同。右上角為三次諧波圖，其也是正 弦波，明顯，其幅值降到了 0.5以下，但是三次諧波的頻率是基波的1.5倍。其它圖形依次為五次諧波，七次諧波。三次詩蕊五；吳街渕2 d Q 12七次ifiSE圖2周期為T=1方波信號的分解圖 方波信號的分解：t=-3*pi:pi/100000:3*pi; f=square(2*pi*t,50);f1=4*si n(2*t*pi)/pi

11、;f2=4*si n(6*t*pi)/(pi*3);f3=4*si n(10*t*pi)/(pi*5);f4=4*si n(14*t*pi)/(pi*7); subplot(221),plot(t,f1); hold onplot(t,f,r-);grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5); subplot(222),plot(t,f2); hold onplot(t,f,r-);grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5); subplot(223),plot(t,f3); hold onplot(t,f,r-);grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);

12、 subplot(224),plot(t,f4); hold onplot(t,f,r-);grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);3.1.3使用MATLA進行合成圖3為方波信號分解以后取有限次諧波的合成波形。左上方圖是單獨的基波，是正 弦波，波身較為平滑，波峰和波谷尖銳。右上方是基波和三次諧波疊加而成的波，大體 仍是正弦的形式，但是波身已經(jīng)比單獨的基波較為陡峭，波峰和波谷出現(xiàn)波動，已經(jīng)趨 向方波，有了方波的雛形。以下依次疊加起五次諧波，七次諧波的波形。圖3周期為T=1方波信號的合成圖方波信號的合成：t=-3*pi:pi/100000:3*pi;f1=4*si n(2*t*pi

13、)/pi;f2=4*si n(2*t*pi)/pi+4*si n(6*t*pi)/(pi*3);f3=4*si n(2*t*pi)/pi+4*si n(6*t*pi)/(pi*3)+4*si n(10*t*pi)/(pi*5); f4=4*si n(2*t*pi)/pi+4*si n(6*t*pi)/(pi*3)+4*si n(10*t*pi)/(pi*5)+4*si n(14*t*pi)/(pi*7); subplot(221),plot(t,f1);hold onplot(t,f,r-);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;subplot(222),plot(t,f2)

14、;hold onplot(t,f,r-);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;subplot(223),plot(t,f3);hold onplot(t,f,r-);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;subplot(224),plot(t,f4);hold onplot(t,f,r-);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;圖4偶次諧波與奇次諧波的對比由圖4可以看出，由于原方波信號經(jīng)傅立葉級數(shù)分解后，偶次諧波不存在，所以在圖 中只能觀察到奇次諧波。方波信號的奇偶次諧波的對比：t=-3*pi:pi/100000:3*pi;f1=4*si

15、 n(2*t*pi)/pi+4*si n(6*t*pi)/(pi*3)+4*si n(10*t*pi)/(pi*5)+4*si n(14*t*pi)/(pi*7);subplot(211),plot(t,f1);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;t=-3*pi:pi/100:3*pi;f2=0;subplot(212),plot(t,f2);3.1.4方波信號的頻譜圖方波借號顎譜團1 *1 2-1-0 8-0 60 4-0 2Q1-0h1-at11IU345tJ7圖5方波信號的頻譜圖圖5為周期信號的頻譜圖，在頻譜圖中，=1時，信號的幅值在1.2到1.4之間，=2時，信號的

16、幅值為0,=3時，幅值在0.2到0.4之間，=4 5、6、7、時,幅值有起伏，但總體趨勢是呈下降趨勢。方波信號的頻譜圖：N=7;n=1:N;for i=1:2:NC(i)=4/(pi*(2*i-1);en d;stem( n,C);3.1.5方波信號的誤差分析表3-1方波信號前七項合成的誤差分析前N之和基波基波+三次諧波基波+三次諧波+五次諧波基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波en ( t)0.99800.99600.99400.9920基逓詣差1 5前三占諧波董協(xié)檸差050451 2前五坎諧波晏加誤差前七;匸諧波蠱加誤菱圖6方波的誤差分析圖由圖6和表3-1知道，在信號合成時，其疊加的諧波次數(shù)

17、越多，將產(chǎn)生的誤差值將越小, 說明，合成波形越加的向原三角波形靠近誤差分析：e1=f-f1;e2=f-f2;e3=f-f3;e4=f-f4;subplot(221),plot(t,e1);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;subplot(222),plot(t,e2);3.2結(jié)論、由圖5可見，周期信號的頻譜圖有以下特點:(1) 離散性。頻譜圖中的變量為二nj，由于n只能是整數(shù)(單邊頻譜中是正整數(shù))，因而譜線是離散的而非連續(xù)的，譜線的間隔是 叫，所以周期信號的頻譜是離散頻 譜。(2) 諧波性。由于n只取整數(shù)，因而譜線在頻譜軸上的位置是基頻1的整數(shù)倍。(3) 收斂性。幅度譜中

18、各譜線的高度盡管不一定歲隨諧波次數(shù)的增高作單調(diào)的減小， 中間有可能有起伏，但總的趨勢是隨 n的增高而減小的，當n為:：時，高度趨于零。二、由圖2可以得出，任何周期信號都可以由一系列的正弦（或余弦）波組成，隨著 諧波次數(shù)的增大，諧波的幅值越來越小，頻率越來越大。三、由圖3可以得到，合成波形所包含的諧波分量越多時，除間斷點附近外，它越接 近與原波形信號。在間斷點附近，隨著所含有的諧波次數(shù)的增加，合成波形的波身越陡 峭，波峰越靠近間斷點，但尖峰幅度并未明顯減小。在傅立葉級數(shù)的項數(shù)取得很大時，間斷點出尖峰下的面積非常小以趨近于零，因而在均方的意義上合成波形同原波形的真值之間沒有區(qū)別。4心得體會通過這次課程設(shè)計，讓我對 MATLAB 這個軟件有了很豐富的了解，掌握了 MATLAB 一些基本的功能和技巧，并且能在設(shè)計時充分利用。這對我以后的學習有很 大的幫助，尤其作為激光專業(yè)的我更加需要掌握這個軟件。MATLAB的功能很強大，在這次實習中感受到了它對信號的處理功能極其強大，而且直觀的圖示和簡單方便的操 作更讓人易懂。但我知道這只是冰山一角，需要學習的東西還很多。5參考文獻1 曹弋.MATLAB教程及實訓M.北京：機械工業(yè)出版社，2008: 264