清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)

1、清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)1 陳信義編陳信義編 第第3章章 電勢(shì)電勢(shì)電磁學(xué)（第三冊(cè)）電磁學(xué)（第三冊(cè)）清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理- -電勢(shì)電勢(shì)2目目 錄錄【演示實(shí)驗(yàn)演示實(shí)驗(yàn)】高壓帶電操作、電容器儲(chǔ)能高壓帶電操作、電容器儲(chǔ)能3.1 靜電場(chǎng)的保守性靜電場(chǎng)的保守性3.3 電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理3.2 電勢(shì)差和電勢(shì)電勢(shì)差和電勢(shì)3.4 電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度3.5 電荷在外場(chǎng)中的靜電勢(shì)能電荷在外場(chǎng)中的靜電勢(shì)能3.6 電荷系的靜電能電荷系的靜電能3.7 靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量補(bǔ)充：補(bǔ)充：靜電場(chǎng)環(huán)路定理的微分形式靜電場(chǎng)環(huán)路定理的微分形式清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)33.1 靜

2、電場(chǎng)的保守性靜電場(chǎng)的保守性一、靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)一、靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)1、點(diǎn)電荷的靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)、點(diǎn)電荷的靜電場(chǎng)是保守場(chǎng) 單位正電荷沿任意路徑由點(diǎn)單位正電荷沿任意路徑由點(diǎn)ab b，電，電場(chǎng)力作的功場(chǎng)力作的功只與起、終點(diǎn)位置有關(guān)，與只與起、終點(diǎn)位置有關(guān)，與移動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。移動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。rrqE420 有心力場(chǎng)有心力場(chǎng)清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)4L babababLabaUUrqrqrrqrrrqW 0020204444d dd d清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)52、任意電荷體系的靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)、任意電荷體系的靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)電荷體系由點(diǎn)電荷組成電荷體系由點(diǎn)電荷組成場(chǎng)疊加原理場(chǎng)

3、疊加原理 ibaiibLaibLaiibLarErErErEd dd dd dd d路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān) 保守性的表述保守性的表述二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 )(0LrEd d靜電場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的積分等于零靜電場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的積分等于零 L清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)6二二、高斯定理與環(huán)路定理完備描述靜電場(chǎng)高斯定理與環(huán)路定理完備描述靜電場(chǎng)( (對(duì)任意電場(chǎng)都成立對(duì)任意電場(chǎng)都成立) ) )(01dSiSqSE ( (只對(duì)靜電場(chǎng)成立只對(duì)靜電場(chǎng)成立) ) )(0dLrE【思考思考】勻速運(yùn)動(dòng)電荷勻速運(yùn)動(dòng)電荷的電場(chǎng)是靜電場(chǎng)嗎？的電場(chǎng)是靜電場(chǎng)嗎？v+Q所以不是

4、靜電場(chǎng)！所以不是靜電場(chǎng)！環(huán)路積分不為零，環(huán)路積分不為零，清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)73.2 電勢(shì)差和電勢(shì)電勢(shì)差和電勢(shì) babarEUUd d靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)定義電勢(shì)差定義電勢(shì)差一、電勢(shì)差一、電勢(shì)差電勢(shì)的減少電場(chǎng)力作的功電勢(shì)的減少電場(chǎng)力作的功單位正電荷的單位正電荷的電勢(shì)能的差。電勢(shì)能的差。把單位正電荷由點(diǎn)把單位正電荷由點(diǎn)ab電場(chǎng)力作的功。電場(chǎng)力作的功。清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)8二、電勢(shì)二、電勢(shì)把單位正電荷自該點(diǎn)移到電勢(shì)零點(diǎn)，把單位正電荷自該點(diǎn)移到電勢(shì)零點(diǎn)，電電場(chǎng)力作的功。場(chǎng)力作的功。 把單位正電荷自電勢(shì)零點(diǎn)移到該點(diǎn)把單位正電荷自電勢(shì)零點(diǎn)移到該點(diǎn)外外力

5、作的功。力作的功。 0)(pprEpUd d00 pU選選 p0 點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)：點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)： ，則，則 p點(diǎn)電勢(shì)點(diǎn)電勢(shì)清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)9m電荷分布在有限范圍電荷分布在有限范圍選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn) prdEpU)(通常選地球?yàn)闊o(wú)窮遠(yuǎn)電勢(shì)零點(diǎn)。通常選地球?yàn)闊o(wú)窮遠(yuǎn)電勢(shì)零點(diǎn)。m電荷分布到無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)零點(diǎn)不能選在無(wú)電荷分布到無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)零點(diǎn)不能選在無(wú)限遠(yuǎn)。限遠(yuǎn)。電勢(shì)零點(diǎn)的選擇：電勢(shì)零點(diǎn)的選擇：【演示實(shí)驗(yàn)演示實(shí)驗(yàn)】高壓帶電操作高壓帶電操作清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)10三、三、 幾種帶電體的電勢(shì)分布幾種帶電體的電勢(shì)分布rqrrqrUr004d4

6、)(2 1、靜止點(diǎn)電荷的電勢(shì)靜止點(diǎn)電荷的電勢(shì)選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)112、均勻帶電球面的電勢(shì)均勻帶電球面的電勢(shì) 球面外點(diǎn)的電勢(shì)等于處球面外點(diǎn)的電勢(shì)等于處于球心的于球心的“點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷”在該在該點(diǎn)的電勢(shì)。點(diǎn)的電勢(shì)。 球面內(nèi)等電勢(shì)球面內(nèi)等電勢(shì), , 等于球等于球面上的電勢(shì)。面上的電勢(shì)。rq0URR RrrqrrqRrRqrrqrrErUrRRrr,44,440)(000022d dd dd dd d清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)12 RrrqRrrRRqrU,4,38)(02230 3、均勻帶電球體的電勢(shì)均勻帶電球體的電勢(shì)RqrR

7、rrrqERrrRqrE , 41, 41202301 22302138dd)(rRRqrErErURRr :Rr RqU0423)0( 球心：球心：0rURqR清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)134、無(wú)限長(zhǎng)圓柱面無(wú)限長(zhǎng)圓柱面( (線電荷密度線電荷密度 ) ) 的電勢(shì)的電勢(shì)電勢(shì)分布：電勢(shì)分布： 選選 點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn))(00rrp RrrE ,20 電場(chǎng)分布：電場(chǎng)分布：RrE , 0RrpRrpp0r0)ln(2dd)(:0000RrrRrErrrErURr )ln(2)(:000rrrrrErURr d d清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)14電勢(shì)零點(diǎn)不能選在無(wú)限遠(yuǎn)

8、！電勢(shì)零點(diǎn)不能選在無(wú)限遠(yuǎn)！ RrrrRrRrrU),ln(2),ln(2)(0000 rr0R0rp0清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)153.3 電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理注意：注意：各電荷的電勢(shì)零點(diǎn)必須相同。各電荷的電勢(shì)零點(diǎn)必須相同。應(yīng)用電場(chǎng)疊加原理證明應(yīng)用電場(chǎng)疊加原理證明 ：)()(00pUrErEpUiiippipp d dd d iiEE 在電荷體系的電場(chǎng)中，某點(diǎn)電勢(shì)等于各電在電荷體系的電場(chǎng)中，某點(diǎn)電勢(shì)等于各電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和 iiUU清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)161、點(diǎn)電荷體系、點(diǎn)電荷體系 niiirqpU104)(

9、 2、連續(xù)分布的電荷體系、連續(xù)分布的電荷體系 電電荷荷體體系系rdqpU04)( dqpriqiqjdqpr清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)qROx p【例例】均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢(shì)均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢(shì) rqpU04)(d d qqrd d041220044xRqrq rdq清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)18【例例】?jī)赏膸щ娗騼赏膸щ娗蛎?，求面，?A，B，C 點(diǎn)的點(diǎn)的電勢(shì)。電勢(shì)。q1q2R1R2ABCrArBrCAAArqqrqrq0210201444 2021012144RqRqUUUCCC 202012144RqrqUUUBBBB AAAUUU21單獨(dú)在該

10、點(diǎn)的電勢(shì)的和單獨(dú)在該點(diǎn)的電勢(shì)的和!清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)193.4 電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度一、等勢(shì)面一、等勢(shì)面電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的曲面。電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的曲面。1、電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處正交，并指向電勢(shì)電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處正交，并指向電勢(shì)降低的方向。降低的方向。 2、兩等勢(shì)面相距較近處的場(chǎng)強(qiáng)大，相距兩等勢(shì)面相距較近處的場(chǎng)強(qiáng)大，相距較遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)較小。較遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)較小。等勢(shì)面特征：等勢(shì)面特征：清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)20等勢(shì)面等勢(shì)面電場(chǎng)線電場(chǎng)線點(diǎn)電荷的等勢(shì)面點(diǎn)電荷的等勢(shì)面清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)21+等勢(shì)面等勢(shì)面電偶極子的等勢(shì)面電偶極子的等勢(shì)面電場(chǎng)線電場(chǎng)線清華

11、大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)22兩相等點(diǎn)電荷的等勢(shì)面兩相等點(diǎn)電荷的等勢(shì)面等勢(shì)面等勢(shì)面電場(chǎng)線電場(chǎng)線清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)23等勢(shì)面等勢(shì)面電場(chǎng)線電場(chǎng)線清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)24等勢(shì)面等勢(shì)面電場(chǎng)線電場(chǎng)線平行板電容器平行板電容器清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)25人心臟的等電勢(shì)人心臟的等電勢(shì)線，類似于電偶線，類似于電偶極子。極子。清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)26二、場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的關(guān)系二、場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的關(guān)系證明見力學(xué)證明見力學(xué)4.8由勢(shì)能求保守力。由勢(shì)能求保守力。電勢(shì)梯度矢量：電勢(shì)梯度矢量：U 靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，等于該點(diǎn)電靜電場(chǎng)

12、中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，等于該點(diǎn)電勢(shì)的負(fù)梯度勢(shì)的負(fù)梯度 kzUjyUixUUE靜電場(chǎng)強(qiáng)等于負(fù)電勢(shì)梯度矢量。靜電場(chǎng)強(qiáng)等于負(fù)電勢(shì)梯度矢量。清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)27 U 垂直于過(guò)該點(diǎn)的等勢(shì)垂直于過(guò)該點(diǎn)的等勢(shì)面，方向是電勢(shì)升高最快的方向。面，方向是電勢(shì)升高最快的方向。 U 的基本特征：的基本特征： 證明：證明： 垂直于等勢(shì)面，垂直于等勢(shì)面， 和和 與等勢(shì)面相切與等勢(shì)面相切n km nmk , ,以等勢(shì)面以等勢(shì)面U上上 p點(diǎn)為原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系點(diǎn)為原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系UU+D DUn km P清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)28nUnnUnmUmkUkU UU+D DUn km P

13、垂直于過(guò)該點(diǎn)的等勢(shì)面。垂直于過(guò)該點(diǎn)的等勢(shì)面。U 所以，所以， 電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處正交。兩等勢(shì)面相距電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處正交。兩等勢(shì)面相距較近處的場(chǎng)強(qiáng)大，相距較遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)較小。較近處的場(chǎng)強(qiáng)大，相距較遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)較小。因此因此清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)29所以，所以， 的方向是電勢(shì)升高最快的方向。的方向是電勢(shì)升高最快的方向。U nUnUlUlU cos UU+D DUn km PlnUnU 電場(chǎng)線指向電勢(shì)降低最快的方向。電場(chǎng)線指向電勢(shì)降低最快的方向。 清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)30【例例】均勻帶電球面，由電勢(shì)分布求場(chǎng)強(qiáng)分布。均勻帶電球面，由電勢(shì)分布求場(chǎng)強(qiáng)分布。場(chǎng)強(qiáng)沿徑向場(chǎng)強(qiáng)

14、沿徑向 只要計(jì)算徑向分量只要計(jì)算徑向分量0rURq RrrqRrRqrU,4,4)(00 RrrqrqrRrRqrrrUE,44, 04)(2000清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)31電荷的電量電荷的電量該點(diǎn)的電勢(shì)該點(diǎn)的電勢(shì)qUW“電荷與電場(chǎng)的相互作用能電荷與電場(chǎng)的相互作用能”3.5 電荷在外場(chǎng)中的靜電勢(shì)能電荷在外場(chǎng)中的靜電勢(shì)能【例例】氫原子中電子的靜電勢(shì)能氫原子中電子的靜電勢(shì)能“電子與電場(chǎng)（質(zhì)子）的相互作用能電子與電場(chǎng)（質(zhì)子）的相互作用能”原子核（質(zhì)子）的電勢(shì)：原子核（質(zhì)子）的電勢(shì)：rerU04)( 電子的靜電勢(shì)能：電子的靜電勢(shì)能：rerUeW024)()( 清華大學(xué)大學(xué)物理清華大

15、學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)32【例例】電偶極子在均勻外電場(chǎng)中的電勢(shì)能電偶極子在均勻外電場(chǎng)中的電勢(shì)能 WWWEpW , （受力矩：（受力矩： ）EpM EpW 【思考思考】勢(shì)能勢(shì)能W隨隨p的取向如何變化？的取向如何變化？-qE l+ql qp 證明：證明： cosdEllEUU qUqU UUq清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)333.6 電荷體系的靜電能電荷體系的靜電能一、點(diǎn)電荷體系的相互作用能一、點(diǎn)電荷體系的相互作用能其中其中Ui 為為 qi 所在處，由所在處，由 qi 以外的以外的其它電荷其它電荷所所產(chǎn)生的電勢(shì)。產(chǎn)生的電勢(shì)。 把把 n 個(gè)靜止點(diǎn)電荷從現(xiàn)有位置彼此分散到個(gè)靜止點(diǎn)電荷從現(xiàn)有位

16、置彼此分散到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，它們間的靜電力所作的功，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，它們間的靜電力所作的功，稱為這這 n 個(gè)點(diǎn)電荷間的相互作用能個(gè)點(diǎn)電荷間的相互作用能iniiUqW 121清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)34證明：證明：1、n=2rqqrrqqWr02120214d4 固定固定q1，把，把q2移到無(wú)限遠(yuǎn)電場(chǎng)力做的功移到無(wú)限遠(yuǎn)電場(chǎng)力做的功rqUrqU0210124,4 221121UqUqW 寫成對(duì)稱形式即寫成對(duì)稱形式即q2q1r1122qUqUW 清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)352、n=3q3q2q1 11333133222322111221qUqUqUqUqUqUW 類推，得

17、類推，得iniiUqW 121 33231223211131221qUUqUUqUU 33221121qUqUqU 清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)36式中式中U為在帶電體上，所有電荷在電荷元為在帶電體上，所有電荷在電荷元dq 處的電勢(shì)。處的電勢(shì)。二、連續(xù)分布的電荷體系的靜電能二、連續(xù)分布的電荷體系的靜電能 各電荷元間的靜電相互作用能各電荷元間的靜電相互作用能（帶電體）（帶電體）qUWd21【思考思考】為什么不包括電荷元為什么不包括電荷元dq 的自能？的自能？清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)37Rq【例例】均勻帶電球體的靜電能均勻帶電球體的靜電能分割成同心薄球殼分割成同心薄

18、球殼（dq）rdrdq)3(8)(2230rRRqrU qqrUWd)(21:點(diǎn)模型的發(fā)散困難點(diǎn)模型的發(fā)散困難RqW02203 :電荷元電荷元dq 的自能為零的自能為零所在處的電勢(shì)為所在處的電勢(shì)為,靜電能為靜電能為 WR,0若若q不變不變,0, 0WR若若 不變不變,Rq02203 RrrRqrRRq0232230d4343821 清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)38【例例】電子的經(jīng)典半徑電子的經(jīng)典半徑cerecm022203 另一種估算另一種估算:m m152020221082. 244 cmerrecmecce m m15202107 . 1203 cmerec 清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)39體系靜電能體系靜電能 = 相互作用能相互作用能自能自能三、連續(xù)帶電體體系的三、連續(xù)帶電體體系的靜電能靜電能體系體系Q1Q2Q3清華大學(xué)大學(xué)物理清華大學(xué)大學(xué)物理-電勢(shì)電勢(shì)403.7 靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量均勻帶電球面的靜電能均勻帶電球面的靜電能: )(d21球球面面qUWRq靜電能貯存在電場(chǎng)中靜電能貯存在