第3章 機(jī)械振動(dòng)及機(jī)械波

1、第3章 機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波3-1判斷下列運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)？（1） 小球沿半徑很大的水平光滑圓軌道底部小幅度擺動(dòng)；（2） 活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)；（3） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（4） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（5） 質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)角度的微分方程為 答：（1）是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，類似于單擺運(yùn)動(dòng)；（2）不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)； （3）是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，為同頻率、同振動(dòng)方向的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成； （4）不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，為不同頻率、同振動(dòng)方向的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成； （5）不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。3-2物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12，周期T=2。當(dāng)時(shí)，物體的位移x=0.06，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：(1)此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；(2)時(shí)物體的位置、速度和加速度；(

2、3)物體從向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平衡位置所需的時(shí)間。解：（1）設(shè)此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為：，則振動(dòng)速度,振動(dòng)加速度由題意可知：m，s，則(rad/s) 又因?yàn)闀r(shí)m且，把初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代入有： ，則 又因?yàn)闀r(shí)，所以時(shí) 故此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為： m(2) 把代入簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式：（m） 把代入簡(jiǎn)諧振動(dòng)速度表達(dá)式：(m/s) 把代入簡(jiǎn)諧振動(dòng)加速度表達(dá)式：(m/s2)(3) 由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，物體在向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位為，而物體從向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平衡位置時(shí)，相位為，旋轉(zhuǎn)的角度，則所需的時(shí)間為：=0.83(s)k2v習(xí)題3-3 圖3-3 如圖示，質(zhì)量為的子彈以速度水平射入木塊，并陷入木塊中，使彈簧壓

3、縮而作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)，木塊的質(zhì)量為，桌面摩擦不計(jì)，試求：（1）振動(dòng)的振幅；（2）振動(dòng)方程。解：（1）子彈進(jìn)入木塊后，與木塊一起做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，子彈與木塊的作用時(shí)間短，在水平方向動(dòng)量守恒且彈簧沒有形變，設(shè)子彈進(jìn)入木塊后木塊的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右的方向?yàn)檎较?，子彈進(jìn)入木塊后與木塊的共同速度為，則，代入數(shù)據(jù)得：(m/s)，子彈與木塊相互作用時(shí)，彈簧沒有形變，即該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初始位置，彈簧簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率，代入數(shù)據(jù)得：(rad/s)，所以代入數(shù)據(jù)得：m。(2) 由時(shí)，且向X軸的正方向運(yùn)動(dòng)，所以，所以振動(dòng)方程為： m34一重為p的物體用兩根彈簧豎直懸掛，如圖所示，各彈簧的勁度系數(shù)標(biāo)明在圖上。

4、試求圖示兩種情況下，系統(tǒng)沿豎直方向振動(dòng)的固有頻率。解：a圖中兩彈簧是串聯(lián)的，總勁度系數(shù)， 彈簧振子的固有頻率為。b圖中兩彈簧是并聯(lián)的，總勁度系數(shù)，彈簧振子的固有頻率為。CRmgO3-5 一勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)質(zhì)量為，半徑為，繞通過環(huán)上一點(diǎn)而與環(huán)平面垂直的水平軸在鉛垂面內(nèi)作小幅度擺動(dòng)，求擺動(dòng)的周期。解：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸與細(xì)圓環(huán)的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過原點(diǎn)的豎直軸為Y軸，由轉(zhuǎn)動(dòng)軸定理可知，該圓環(huán)的小幅度擺動(dòng)的平衡位置為圓環(huán)的質(zhì)心在Y軸時(shí)，由平行軸定理可知，圓環(huán)對(duì)通過環(huán)上一點(diǎn)而與環(huán)平面垂直的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：把圓環(huán)沿逆時(shí)針方向拉離平衡位置轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)軸的重力矩為，方向?yàn)樵龃蟮姆捶较?，由轉(zhuǎn)動(dòng)軸定理：，即，由于環(huán)做小幅

5、度擺動(dòng)，所以sin，可得微分方程，擺動(dòng)的圓頻率為：，周期為：3-6 橫截面均勻的光滑的U型管中有適量液體如圖所示，液體的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)，求液面上下微小起伏的自由振動(dòng)的圓頻率。解：如圖所示建立坐標(biāo)，兩邊液面登高時(shí)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為Y軸正方向，左邊液面上升y，則右邊液面下降y，U型管的橫截面面積為，液體的密度為，則左右液面的壓力差為：，方向?yàn)閅軸的負(fù)方向，由牛頓第二定律：可知，即，故液面上下微小起伏的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)的圓頻率3-7 如圖一細(xì)桿AB一端在水平槽中自由滑動(dòng)，另一端與連接圓盤上，圓盤轉(zhuǎn)軸通過o點(diǎn)且垂直圓盤和OX軸，當(dāng)圓盤以角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出槽中棒端點(diǎn)B的振動(dòng)方程，自行設(shè)計(jì)參數(shù)

6、，利用mathematica軟件或matlab軟件畫出振動(dòng)圖線。解：在AOB中，AB長(zhǎng)度不變，設(shè)為l，圓半徑OA不變?cè)O(shè)為R，OA與OB的夾角設(shè)為，則B點(diǎn)的坐標(biāo)x滿足關(guān)系式：上式表明，x是時(shí)間t的周期函數(shù)，但不是諧振動(dòng)函數(shù)。取,畫圖如下。3-8質(zhì)量為kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作振動(dòng)，式中以秒計(jì)，以米計(jì)。求：（1）振動(dòng)的圓頻率、周期、振幅、初位相；（2）振動(dòng)的速度、加速度的最大值；（3）最大回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能；畫出這振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并在圖中指明、2、10等各時(shí)刻的矢量位置。解：（1）由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可知：振幅m，圓頻率rad/s，周期(s)，初相位。（2）振動(dòng)的速

7、度：，振動(dòng)速度的最大值為：(m/s)，振動(dòng)的加速度：，振動(dòng)加速度的最大值為：(m/s2)（3）最大回復(fù)力：(N)，振動(dòng)能量：(J)平均動(dòng)能和平均勢(shì)能：(J)3-9 質(zhì)量為的物體，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，勁度系數(shù)，如果開始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能和動(dòng)能，求：（1） 振幅多大？經(jīng)過平衡位置的速度。（2） 位移為多大時(shí)，動(dòng)能恰等于勢(shì)能？解：（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量守恒，其總能等于任意時(shí)刻的動(dòng)能與勢(shì)能之和，即，所以振幅(m)，在平衡位置時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)（假設(shè)彈簧座水平方向諧振動(dòng)），此時(shí)只有動(dòng)能，即(J)，所以速度(m/s).（2）要使(J)，即(J)，則位移(m)。3-10 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)平行于同一直線并排作同頻率、同振幅

8、簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在振動(dòng)過程中，每當(dāng)它們經(jīng)過振幅一半的地方時(shí)相遇，而運(yùn)動(dòng)方向相反。求它們的位相差，并作旋轉(zhuǎn)矢量圖表示之。解：設(shè)它們的振動(dòng)方程為，OxA當(dāng)時(shí)，可得位相為由于它們?cè)谙嘤鰰r(shí)反相，可取，它們的相差為，同理當(dāng)時(shí)，可得位相為，它們的相差為矢量圖如圖所示3-11 已知兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)如下：，（1） 求它們合成振動(dòng)的振幅和初位相；（2） 另有一同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)，問為何值時(shí)，的振幅為最大？為何值時(shí)，的振幅為最??？為何值時(shí)，的振幅最??？解：（1）由同頻率、同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成可知：，其中m，m，所以它們的合振動(dòng)振幅為：m，它們合振動(dòng)的初相位：。（2）由同頻率、同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成可知，同相位振動(dòng)，其合成振

9、幅最大；反相位振動(dòng)，其合成振幅最小。所以要使的振幅為最大，則；要使的振幅為最小，則時(shí)；要使的振幅最小，則。3-12 三個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)為,求：（1）合振動(dòng)的圓頻率、振幅、初相及振動(dòng)表達(dá)式；（2）合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到所需最短時(shí)間（為合振動(dòng)振幅）。解：（1）合振動(dòng)的圓頻率為(rad/s)，(m)，根據(jù)公式得(m）合振幅為：= 0.16(m)，初位相為：。 合振動(dòng)的方程為：（2）當(dāng)時(shí)，可得，解得或由于，所以只能取第二個(gè)解，可得所需最短時(shí)間為t = 0.0125(s)313 將頻率為的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動(dòng)和一待測(cè)頻率的音叉合成，測(cè)得拍頻為，在待測(cè)音叉的一端加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測(cè)音叉的

10、固有頻率。01212解：標(biāo)準(zhǔn)音叉的頻率為：(Hz)，拍頻為：(Hz)，待測(cè)音叉的固有頻率可能是：(Hz)，也可能是：(Hz)。在待測(cè)音叉上加一小塊物體時(shí)，相當(dāng)于彈簧振子增加了質(zhì)量，由于，可知其頻率將減小如果待測(cè)音叉的固有頻率，加一小塊物體后，其頻率將更低，與標(biāo)準(zhǔn)音叉的拍頻將增加；實(shí)際上拍頻是減小的，所以待測(cè)音叉的固有頻率，即387Hz。3-14 火車提速是社會(huì)發(fā)展的必然趨勢(shì)。假如你是火車提速的決策者之一，試問：從物理學(xué)角度，你會(huì)考慮哪些問題？答：鐵軌的抗震能力、鐵軌與火車共振時(shí)鐵軌的耐壓力等。3-15 說明以下幾組概念的區(qū)別和聯(lián)系： (1) 振動(dòng)和波動(dòng)；（2）振動(dòng)曲線和波動(dòng)曲線；（3）振動(dòng)速度

11、和波動(dòng)速度；解：（1）振動(dòng)是物體在平衡位置做往復(fù)運(yùn)動(dòng)；波動(dòng)是振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播； （2）振動(dòng)曲線表示的是物體運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間函數(shù)關(guān)系，用曲線表示；波動(dòng)曲線表示的某一時(shí)刻不同質(zhì)元離開平衡位置的位移，用曲線表示。 （3）振動(dòng)速度是描述物體運(yùn)動(dòng)的快慢，用表示；波動(dòng)速度表示振動(dòng)傳播的的快慢，與介質(zhì)和波的類型有關(guān)。3-16 已知一波的波函數(shù)為()（1）求波長(zhǎng)、頻率、波速及傳播方向；（2）說明時(shí)波函數(shù)的意義,并作圖表示。解： （1）與波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比可知：波長(zhǎng)(m)，t/sy/cm500.10.20.3頻率(Hz)，波速(m)，傳播方向沿X軸的正方向。（2）當(dāng)時(shí)波動(dòng)方程就成為該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：，

12、振動(dòng)曲線如圖3-17 已知波的波函數(shù)為（SI）（1）寫出時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)表示式，并計(jì)算此時(shí)離原點(diǎn)最近的波峰的位置，該波峰何時(shí)通過原點(diǎn)？（2）畫出時(shí)的波形曲線。解：（1）波峰位置時(shí)，則時(shí)，波峰位置的坐標(biāo)為：；當(dāng)時(shí)，為離原點(diǎn)最近的波峰位置。由波函數(shù)為可知波速為m/s，則該波從坐標(biāo)原點(diǎn)傳播到所用時(shí)間為(s)，該波峰在s時(shí)通過坐標(biāo)原點(diǎn)。（2），該波動(dòng)函數(shù)為：A-Au0.15 555555555555Ox/my/m3-18 一平面波在介質(zhì)中以速度 ms-1沿負(fù)方向傳播。已知在傳播路徑上的某點(diǎn)的振動(dòng)方程為。（1）如以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波函數(shù)；（2）如以距點(diǎn)5米處的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波函數(shù)；（3）計(jì)算B、

13、C兩點(diǎn)振動(dòng)的相差。解：（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程為：。（2）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程為：。（3）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則m、m，、兩點(diǎn)的振動(dòng)方程分別為，則、兩點(diǎn)的振動(dòng)的相差為：。3-19 一列簡(jiǎn)諧波沿軸正向傳播，在，時(shí)刻的波形如圖所示。試求：(1)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；(2)波動(dòng)表達(dá)式；(3)畫出點(diǎn)的振動(dòng)曲線。解：（1）設(shè)P點(diǎn)的振動(dòng)方程為：由題設(shè)可知：振幅m，波長(zhǎng)m，由、時(shí)刻的波形圖，可知該波在s內(nèi)，波向右傳播了，則可知該波的周期s，波速m/s，波的圓頻率rad/s。當(dāng)時(shí)，即，由于波沿x軸正向傳播，所以P點(diǎn)在此時(shí)向上運(yùn)動(dòng)，速度大于零，所以P點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：（2）P點(diǎn)的位置是m，所以波動(dòng)方程為：

14、t/sy/m0.2O0.51（3）在x = 0處的振動(dòng)方程為：曲線如圖所示3-20一平面簡(jiǎn)諧波沿X軸正向傳播，其振幅、圓頻率分別為A和，波速為U，設(shè)t0時(shí)的波形曲線如圖所示。（1）寫出波函數(shù) 求距0點(diǎn)分別為/8，和3/8兩處質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的振動(dòng)速度。解：（1）設(shè)該波的波函數(shù)為：，由時(shí)刻的波形圖可知，且向下振動(dòng)，故，所以波函數(shù)為：（2）振動(dòng)速度：，把、和、分別代入振動(dòng)速度表達(dá)式，則有：，3-21 一平面簡(jiǎn)諧波沿X軸正向傳播，其振幅A=10cm，波的圓頻率=7rads-1，當(dāng)t=1.0s時(shí)，x=10cm處的a質(zhì)點(diǎn)正通過其平衡位置向Y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，而x=20cm處的B質(zhì)點(diǎn)正通過Y=5.0cm點(diǎn)向Y軸正

15、方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)該波的波長(zhǎng)10cm，求該平面波的表達(dá)式。解：由題意和旋轉(zhuǎn)矢量法可知在s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的相位為，質(zhì)點(diǎn)相位為，、兩質(zhì)點(diǎn)為相差為，所以該波的波長(zhǎng)：，即cm，設(shè)該平面波的的表達(dá)式為：，因?yàn)閟時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的相位為，所以，所以該平面波的的表達(dá)式為：3-22 一簡(jiǎn)諧波沿正向傳播，波長(zhǎng)，周期，已知處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。（1）寫出處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）寫出波的表達(dá)式；（3）畫出時(shí)刻的波形曲線。解：（1）設(shè)處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：，其中，由振動(dòng)曲線圖可知，當(dāng)時(shí)，因此，且時(shí)，處質(zhì)點(diǎn)向下振動(dòng)，即，所以x/my/m1O-10.5u2/3所以處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：。（2）波的表達(dá)式為：（3）時(shí)刻的波形方程為：，波形

16、曲線如圖所示3-23 比較簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量與簡(jiǎn)諧波波動(dòng)能量特征，若簡(jiǎn)諧波傳播時(shí)某體積元的的動(dòng)能為0.2J,則勢(shì)能多少？總能量多少？答：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量守恒，即振動(dòng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和不變；而簡(jiǎn)諧波傳播時(shí)某體積元的動(dòng)能與勢(shì)能總是相等，固當(dāng)某質(zhì)元的動(dòng)能為時(shí)，其勢(shì)能也為，其總能為動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和，即。3-24 一平面簡(jiǎn)諧聲波在空氣中傳播，波速，頻率為。到達(dá)人耳時(shí)，振幅，試求人耳接收到聲波的聲強(qiáng)的大??？此時(shí)聲強(qiáng)相當(dāng)于多少分貝？已知空氣密度。解：質(zhì)點(diǎn)的圓頻率為：(rad/s)，聲波的平均能量密度為：(J/m3)，平均能流密度為：(W/m2)，標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)為：(W/m2)，此聲強(qiáng)的分貝數(shù)為：(dB)。3-25 與

17、為兩相干波源，光強(qiáng)均為I0,相距波長(zhǎng)，比的位相超前。問、連線上在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的光強(qiáng)如何？又在外側(cè)各點(diǎn)的光強(qiáng)如何？xS1xS2/4x解：合成波的光強(qiáng)正比于振幅的平方，即如圖所示，設(shè)S1在其左側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為：，那么S2在S1左側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為：，由于兩波源在任意點(diǎn)x產(chǎn)生振動(dòng)反相，所以合振幅為零，所以合成波的光強(qiáng)為0。S1在S2右側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為：，那么S2在其右側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為：，由于兩波源在任意點(diǎn)x產(chǎn)生振動(dòng)同相，所以合振幅為單一振動(dòng)的兩倍，所以合成波的光強(qiáng)為。3-26 簡(jiǎn)述駐波的形成條件和特點(diǎn)（提示：突出駐的含義）；查找資料，探索駐波在本專業(yè)的應(yīng)用有哪些？答：在同一

18、介質(zhì)中兩列振幅相同的相干波，沿同一直線相向傳播時(shí)，產(chǎn)生特殊的干涉現(xiàn)象，疊加形成的波叫駐波。駐波沒有波形和能量的傳播，其實(shí)質(zhì)為各質(zhì)元做振幅不等的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅最大的質(zhì)元位置為波腹，振幅最小的質(zhì)元位置為波節(jié)，波腹只有動(dòng)能，波節(jié)只有勢(shì)能，能量只在相鄰波節(jié)與波腹間相互轉(zhuǎn)化。3-27 一條琴弦上產(chǎn)生駐波，相鄰節(jié)點(diǎn)間的距離為65cm，弦的振動(dòng)頻率為，求波的傳播速度和波長(zhǎng)。解：相鄰波節(jié)之間的距離為，所以波長(zhǎng)(cm)，波速：(m/s)3-28 兩波在一很長(zhǎng)的弦線上傳播，設(shè)其表達(dá)式為， 用厘米、克、秒（cm、g、s）制單位，求： （1）各波的頻率、波長(zhǎng)、波速；（2）節(jié)點(diǎn)的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大？解：（1）對(duì)比波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：可知，波的頻率：(Hz)；波長(zhǎng)：(cm)；波速：(cm/