上式就是該球面上的點(diǎn)M的坐標(biāo)()所滿足的關(guān)系式

1、 圖7-41 圖7-42上式就是該球面上的點(diǎn)M的坐標(biāo)（）所滿足的關(guān)系式，它是一個(gè)關(guān)于x、y、z的二次方程.從上述列式過(guò)程說(shuō)明：凡是該球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，而不在該球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足此方程.我們稱（7.1）為該球面的方程. 特別，當(dāng)球心在原點(diǎn)時(shí)，即 球面方程為： 一般，任意給定一個(gè)關(guān)于的方程 , 如果將看成是空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則滿足上述方程的所有點(diǎn)的集合，通常構(gòu)成一張曲面（如圖7-42）.這樣，我們把代數(shù)方程與幾何曲面相聯(lián)系，從而可用代數(shù)的方法來(lái)研究曲面問(wèn)題.下面我們給出曲面方程的定義. 定義 在空間直角坐標(biāo)系中，如果某個(gè)曲面上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，而不在這曲面上的任何點(diǎn)的

2、坐標(biāo)都不滿足該方程，則方程稱為該曲面方程. 二、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程 設(shè)有方程，該方程不含豎坐標(biāo)z，在Oxy平面上，該方程表示一曲線，該曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足該方程.而由關(guān)于曲面方程的定義，該方程在空間直角坐標(biāo)系中為曲面方程，這是因?yàn)樵摲匠桃矠榭臻g的有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足，只要點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)相等即可，這就是說(shuō)把空間的這些點(diǎn)投影到Oxy平面上去的時(shí)候，它們的投影點(diǎn)與上的點(diǎn)相重合.這些空間點(diǎn)的全體是一張曲面，它可以看成是由平行于Oz軸的直線沿曲線平行移動(dòng)所生成，這個(gè)曲面稱為柱面，曲線稱為準(zhǔn)線，平行于Oz軸而沿平行移動(dòng)的直線稱為母線. 一般，由一條動(dòng)直線L沿一定曲線平行移動(dòng)所

3、形成的曲面稱為柱面，并稱動(dòng)直線L為該柱面的母線，稱定曲線為該柱面的準(zhǔn)線.（如圖7-43） 圖7-43 圖7-44 因此，表示一張柱面，其母線平行于Oz軸，其準(zhǔn)線為Oxy平面上的曲線（如圖7-44） 同理，及，都表示柱面，它們的母線分別平行于Ox軸與Oy軸，它們的準(zhǔn)線分別是Oyz平面與Ozx平面上的曲線. 例如：，分別表示母線平行于Oz軸的橢圓柱面（圖7-45）和拋物柱面（圖7-46）. 順便指出，在研究方程所表示的幾何圖形時(shí)，要注意到是在平面還是在空間中考慮這個(gè)前提.例如，在平面直角坐標(biāo)系中，方程表示平面上的一個(gè)圓，而在空間直角坐標(biāo)系中，方程表示準(zhǔn)線為母線平行于Oz軸的圓柱面.另外，在本書(shū)中，

4、我們將主要討論母線平行坐標(biāo)軸的柱面方程. 圖7-45 圖7-46 三、旋轉(zhuǎn)曲面 一平面曲線繞一定直線L旋轉(zhuǎn)而生成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，其中定直線L稱為此旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 下面我們給出平面上的曲線，繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程. 設(shè)是Oyz平面上的曲線，其方程為，將該曲線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)，就得到一個(gè)以O(shè)z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程可以求得如下：設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)曲線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周, 點(diǎn)p的軌跡是一個(gè)圓（如圖7-47）.設(shè)為這個(gè)圓上的任意一點(diǎn)，則有且q與 圖7-47Oz軸的距離恒等于即有 上式中當(dāng)時(shí)，取“+”號(hào)；當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)，因p點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程 . 所以有，所以q點(diǎn)的坐標(biāo)必滿足因?yàn)閝是旋轉(zhuǎn)曲面上的

5、任意一點(diǎn)，因此旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 至此，我們得到在曲線的方程中將y代以后所得，即為曲線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所生成的曲面方程. 同理，曲線：，繞Oy軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為. 讀者至此可自行推出曲線：分別繞Ox軸和Oy軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程. 圖7-48 圖7-49 例1 將Oyz平面上的直線y=z繞Oz軸旋轉(zhuǎn), 得一圓錐面（如圖7-48）,其方程為： 或 例2 將Ozx平面上的拋物線，繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)拋物面（圖7-49），其方程為 即 . 圖7-50 圖7-51 例3 將Oxy平面上的橢圓繞Oy軸旋轉(zhuǎn)生成的曲面(如圖7-50), 其方程為: . §7.2 空間曲線方程 一、用兩曲面交線表示的

6、空間曲線 任何空間曲線總可以看成兩曲面的交線.設(shè)表示兩曲面的方程.設(shè)它們相交，且設(shè)它們的交線是曲線，因?yàn)榍€上的任意點(diǎn)都同時(shí)在這兩個(gè)曲面上，所以曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這兩個(gè)曲面的方程. 反過(guò)來(lái)，坐標(biāo)同時(shí)滿足這兩個(gè)曲面方程的點(diǎn)一定在它們的交線上，所以把這兩個(gè)曲面聯(lián)立起來(lái)，則方程組 （7.2） 稱為空間曲線的方程.如圖7-51 例如 球面方程與平面z=2的交線是z=2平面上的一個(gè)圓，這兩個(gè)方程聯(lián)立起來(lái)就是這個(gè)圓的方程. 同時(shí)，我們還須指出，空間曲線由兩張曲面所表示的形式不是唯一的.換言之,(7.2)式所表示的曲線可以用與方程（7.2）等價(jià)的任何兩個(gè)方程聯(lián)立的方程組來(lái)代替. 例如：曲線 可以用方

7、程組 來(lái)表示. 二 用參數(shù)方程表示的空間曲線 在平面解析幾何中，平面曲線可以用參數(shù)方程表示.同樣，空間曲線也可以用參數(shù)方程來(lái)表示.即把空間曲線上的任何點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別表示為t的函數(shù)，其一般形式是 這一方程組稱為空間曲線的參數(shù)方程. 以下以螺旋曲線為例說(shuō)明. 例 設(shè)有一個(gè)直角三角形的紙片, 它的一銳角為，將其卷在一個(gè)圓柱面上，使角的一邊與圓柱的底圓周重合，斜邊在圓柱面上所成的曲線（圖7-52）叫做螺旋曲線，下面求其方程.圖7-52 解 設(shè)直圓柱底面圓半徑為R，將圓柱底面取為Oxy平面，底面圓的中心取為原點(diǎn)，并取Ox軸過(guò)三角形的頂點(diǎn)C, 設(shè)（）表示螺旋曲線上任一點(diǎn)p的坐標(biāo)，點(diǎn)p在Oxy平面上的投影

8、為N()，令為參數(shù)，則 ，在直角三角形CPN中，記 ,可得螺旋曲線的參數(shù)方程為 當(dāng)時(shí)，這表示p點(diǎn)繞Oz軸轉(zhuǎn)邊一周后在Oz軸方向上移動(dòng)的距離，這個(gè)距離叫做螺距. 三、空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影 前面我們已經(jīng)給出空間曲線可以用方程組（7.3）所表示.現(xiàn)將該方程組中消去一個(gè)變量，例如消去z所得方程為 由于方程是由方程組（7.3）中消去z后得到的結(jié)果，那么當(dāng)三個(gè)數(shù)x,y和z滿足方程組（7.3）的兩個(gè)方程時(shí)，前兩個(gè)數(shù)x,y必定滿足方程，這說(shuō)明曲線上所有點(diǎn)都在由方程所表示的曲面上.在§7.1中，我們已指出方程表示一個(gè)母線平行于Oz軸的柱面，所以這柱面必定包含曲線.因此，過(guò)曲線上的一切點(diǎn)的所作平行

9、于Oz軸的所有直線都在這柱面上，這柱面稱為投影柱面，而投影柱面與Oxy平面的交線就是空間曲線投影到Oxy平面上的所得的曲線，這曲線叫做空間曲線在Oxy平面上投影曲線，簡(jiǎn)稱投影，其方程為 至此，我們得到要求（7.3）式所表示的空間曲線在Oxy平面上的投影曲線，只要將聯(lián)立方程組中消去變量z，得到方程，與z=0聯(lián)立就得到所求投影曲線 同理，將方程組（7.3）中消去x（或y），得（或），與x=0(或y=0) 聯(lián)立，得到曲線在Oyz平面（或Ozx平面）的投影曲線 或 例1 求曲線 在Oxy平面上的投影曲線. 解 由（1）（2）得，6z9=9，即z=3 代入（1）消去z 得,即為投影柱面，與z=0聯(lián)立得所

10、求在Oxy平面上的投影曲線為 例2 求曲線在Oxy平面與Oyz平面上的投影曲線. 解 將方程組消去變量z得到在Oxy平面上的投影柱面方程與z=0聯(lián)立就是曲線在Oxy平面上的投影曲線 圖7-53 這是Oxy平面上的以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓（圖7-53） 若把方程組中消去x，得?。ㄆ渲幸?yàn)椋┡cx=0 聯(lián)立，得到曲線在Oyz平面上的投影曲線 , .這是一條在Oyz平面上的水平直線段（圖7-54） 圖7-54 第八節(jié) 二次曲面 上節(jié)我們已經(jīng)介紹了曲面的概念以及曲面可以用點(diǎn)的直角坐標(biāo)的一個(gè)方程來(lái)表示.其中一次方程所表示的曲面稱為一次曲面（平面），二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.例如球面、圓柱面都是二次

11、曲面.在本書(shū)中我們較多地涉入到二次曲面.為了對(duì)二次曲面有較直觀的了解，下面我們將對(duì)常見(jiàn)的幾種二次曲面作些介紹并分析其圖形. 在空間直角坐標(biāo)系中，我們采用一系列平行于坐標(biāo)平面的平面來(lái)截割曲面，從而得到平面與曲面一系列的交線，它們都是平面曲線，稱為平面截口，通過(guò)分析這些截口的性質(zhì)來(lái)認(rèn)識(shí)曲面的形狀，這種研究方法叫做平面截割法.用這種方法去認(rèn)識(shí)曲面可以培養(yǎng)一定的空間想象能力.本節(jié)將用平面截割法來(lái)研究幾個(gè)常見(jiàn)的二次曲面. 一 、橢球面 由方程 （a>0,b>0,c>0） (8.1)確定的曲面稱為橢球面. 由方程（8.1）知， 即 ，用Oxy 平面（即平面z=0）截割曲面其交線是 等價(jià)于

12、這是Oxy平面上的一個(gè)橢圓，其兩個(gè)半軸分別為a和b.同樣，在Oyz平面和Ozx平面上的交線也是橢圓. 圖7-55 再用平面z=h（）來(lái)截割曲面，交線是 等價(jià)于 也即這是z=h平面上的一個(gè)橢圓，它的兩個(gè)半徑分別是、 .當(dāng)逐漸增大到c時(shí)，兩個(gè)半軸a1和b1逐漸減小到0，即橢圓逐漸縮小到一點(diǎn).根據(jù)以上這些交線，我們基本上認(rèn)識(shí)了由方程（8.1）所表示的曲面的形狀，其圖形如圖7-55所示.特別，當(dāng)a=b=c時(shí)，方程變?yōu)?，它表示我們已熟知的以原點(diǎn)為球心以a為半徑的球面 而當(dāng)a=b時(shí), 方程變?yōu)?，這可以視為Oyz平面上的曲線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面. 二、橢圓拋物面 由方程（a>0,b>0）

13、（8.2）所確定的曲面稱為橢圓拋物面. 首先因?yàn)椋郧嫖挥贠xy平面的上方. 用Oxy平面（）截此曲面，得方程組 僅有唯一解 x=0, y=0, z=0 圖7-56即Oxy平面與曲面僅相交于一點(diǎn)（0,0,0） 用Oyz平面（x=0），Ozx平面（y=0）截此曲面其交線分別是 也即分別是Oyz平面、Ozx平面上的兩條拋物線. 用平面（h>0）截割此曲面交線是 這是平面上的一個(gè)橢圓，當(dāng)h增大時(shí)橢圓的兩個(gè)半軸，也隨之增大.根據(jù)以上這些交線，我們基本上認(rèn)識(shí)了由方程（8.2）所表示的曲面的形狀，其圖形如圖7-56.特別，當(dāng) a=b時(shí)，則得旋轉(zhuǎn)拋物面 三、二次錐面 由方程（8.3）所確定的曲面，

14、稱為二次錐面. 用平面（）截割此曲面，交線是 或?qū)懽?（8.4）這是平面上的一個(gè)橢圓. 曲面與過(guò)Oz軸的平面y=kx的交線是 可分解為下面二式 及 這是兩條過(guò)原點(diǎn)的直線.因k值的任意性，說(shuō)明過(guò)Oz軸的任一平面和曲面相截，都得到兩條過(guò)原點(diǎn)的直線.于是，我們可把曲面（8.3）看成是由過(guò)原點(diǎn)的直線沿橢圓(8.4)移動(dòng)所生成的曲面（圖7-57）.其中橢圓（8.4）稱為錐面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線稱為錐面的母線，此時(shí)錐面頂點(diǎn)為原點(diǎn).的特別，當(dāng)a=b時(shí)，則得這個(gè)曲面為圓錐面. 圖7-57 四、雙曲拋物面（馬鞍面） 由方程 （8.5）所確定的曲面，稱為雙曲拋物面，又其形狀象馬鞍故又稱為馬鞍面.用平面（）相截，得與曲面的交線是雙曲線當(dāng)h>0時(shí)，雙曲線的實(shí)軸平行于Oy軸，當(dāng)h<0時(shí)，雙曲線的實(shí)軸平行于Ox軸. 用Oxy平面（z=0）相截