不等關(guān)系與不等式導(dǎo)學(xué)案

1、不等關(guān)系與不等式導(dǎo)學(xué)案命制學(xué)校：沙市五中 命制教師：王旭俐學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解不等式的實際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用；2掌握實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，學(xué)會比較兩個代數(shù)式的大小學(xué)習(xí)重點：比較兩實數(shù)大小 學(xué)習(xí)難點：差值比較法：作差變形判斷差值的符號學(xué)法指導(dǎo)：人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的研究不等關(guān)系，反映在數(shù)學(xué)上就是證明不等式與解不等式實數(shù)的差的正負(fù)與實數(shù)的大小的比較有著密切關(guān)系，這種關(guān)系是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)因此，本節(jié)課我們有必要

2、來研究探討實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系知識鏈接：在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志：問題1：你知道各圖中的標(biāo)志有何作用？其含義是什么嗎？提示：最低限速：限制行駛時速v不得低于50公里；限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量G不得超過10 t；限制高度：裝載高度h不得超過3.5米；限制寬度：裝載寬度a不得超過3米；時間范圍：t問題2：你能用一個數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？如何表示？提示：v50；G10；h3.5；a3；7.5t10.自主學(xué)習(xí)：不等式的概念我們用數(shù)學(xué)符號“”、“”、“”、“”、“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系含有這些不等號的式子叫做不等式1不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用符號“”“”“”

3、“”“”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“ab”“ab”“ab”“ab”“ab”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的。2不等式中文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超過符號語言實數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，數(shù)軸上的每個點都表示一個實數(shù)，且右邊的點表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大問題1：怎樣判斷兩個實數(shù)a、b的大??？提示：若ab是正數(shù)，則ab；若ab是負(fù)數(shù)，則a<b；若ab是零，則ab.問題2：你能否由問題1得出兩個實數(shù)比較大小的方法？提示：能通過兩個實數(shù)作差，判斷差的正負(fù)比較大小比較兩個實數(shù)a

4、、b大小的依據(jù)文字語言符號表示如果ab，那么ab是正數(shù)；如果ab，那么ab是負(fù)數(shù)；如果ab，那么ab等于0，反之亦然a>bab>0a<bab<0abab01上面的“”表示“等價于”，即可以互相推出2“”右邊的式子反映了實數(shù)的運算性質(zhì)，左邊的式子反映的是實數(shù)的大小順序，二者結(jié)合起來即是實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系.不等式的基本性質(zhì)問題1：若a>b，b>c，則a>c，對嗎？為什么？提示：正確a>b，b>c，ab>0，bc>0.(ab)(bc)>0.即ac>0.a>c.問題2：若ab，則acbc，對嗎？為什么？

5、提示：正確ab，ab0，acbc0即acbc.問題3：若ab，則acbc，對嗎？試舉例說明提示：不一定正確，若a2，b1，c2正確c2時不正確不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>bb<a；(2)傳遞性：a>b，b>ca>c；(3)可加性：a>bac>bc.推論(同向可加性)：ac>bd；(4)可乘性：ac>bc；ac<bc；推論(同向同正可乘性)：ac>bd；(5)正數(shù)乘方性：a>b>0an>bn(nN*，n1)；(6)正數(shù)開方性：a>b>0>(nN*，n2)1在應(yīng)用不等式時，一定要搞清它們成立的前

6、提條件不可強化或弱化成立的條件2要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性合作探究：某礦山車隊有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛由題意得即用不等式表示不等關(guān)系的方法(1)認(rèn)真審題，設(shè)出所求量，并確認(rèn)所求量滿足的不等關(guān)系(2)找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等用代數(shù)式表示相應(yīng)各量，并用關(guān)鍵詞連接特別需要考慮的是“”“”中的“

7、”能否取到1用不等式(組)表示下列問題中的不等關(guān)系：(1)限速80 km/h的路標(biāo)；(2)橋頭上限重10 噸的標(biāo)志；(3)某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不多于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%.解：(1)設(shè)汽車行駛的速度為v km/h，則v80.(2)設(shè)汽車的重量為噸，則10.(3)比較兩數(shù)(式)的大小比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?1)x23與2x；(2)已知a，b為正數(shù)，且ab，比較a3b3與a2bab2的大小(1)(x23)2xx22x32220，x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(a

8、b)，a0，b0，且ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.比較兩個代數(shù)式大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進行變形；(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)作出結(jié)論這種比較大小的方法通常稱為作差比較法其思維過程：作差變形判斷符號結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提2比較x36x與x26的大小解：(x36x)(x26)x3x26x6x2(x1)6(x1)(x1)(x26)x260.當(dāng)x1時，(x1)(x26)0，即x36xx26.當(dāng)x1時，(x1)(x26)0，即x36xx26.當(dāng)x1時，(x

9、1)(x26)0，即x36xx26.不等式的性質(zhì)已知ab0，cd0，e0，求證：.cd0，cd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，又e0，.利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則. 3已知ab，mn，p0，求證：napmbp.證明：ab，又p0，apbp.apbp，又mn，即nm.napmbp.已知1a4,2b8.試求2a3b與ab

10、的取值范圍1a4,2b8，22a8,63b2482a3b32.2b8，8b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故2a3b的取值范圍是(8,32)，ab的取值范圍是(7,2)【探究一】利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍要注意：同向不等式的兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍【探究二】同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時，要充分利用所給條件進行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價性在本例條件下，求的取值范圍2b8，而1a4，1×a·4×，即2.故的取值范圍是(，2)

11、不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號方向不變，同乘以一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變，求解中，應(yīng)明確所乘數(shù)的正負(fù)例：已知6a8,2b3，求的取值范圍解：因6a8,2b3.，(1)當(dāng)0a8時，04；(2)當(dāng)6a0時，30.由(1)(2)得：34.利用不等式性質(zhì)求范圍，應(yīng)注意減少不等式使用次數(shù)已知1ab1,1a2b3，求a3b的取值范圍設(shè)a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，解得1，2.又(ab)，2(a2b)，所以a3b1.(注：本題可以利用本章第三節(jié)內(nèi)容求解)1完成一項裝修工程，請木工共需付工資每人500無，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，

12、則工人滿足的關(guān)系式是()A5x4y200B5x4y200C5x4y200D5x4y200解析：選D據(jù)題意知，500x400y20 000，即5x4y200，故選D.2若x2且y1，則Mx2y24x2y的值與5的大小關(guān)系是()AM5 BM5CM5DM5解析：選AM(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2，y1，(x2)20，(y1)20，因此(x2)2(y1)20.故M5.3如果ab，那么c2a與c2b中較大的是_解析：c2a(c2b)2b2a2(ba)0.答案：c2b4若10ab8，則|a|b的取值范圍是_解析：10a8，0|a|10，又10b8，10|a|b18.答案：(10,18

13、)5(1)已知x1，比較3x3與3x2x1的大??；(2)若1ab0，試比較，a2，b2的大小解：(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)x1，x10.又3x210，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)1ab0，ab0，a2b20.ab0，a·b·0，即0，a2b2.一、選擇題1設(shè)Mx2，Nx1，則M與N的大小關(guān)系是()AMN BMNCMND與x有關(guān)解析：選AMNx2x1(x)20.MN.2某校對高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式(組)表示就

14、是()A.B.C. D解析：選D由題中x不低于95即x95，y高于380即y>380，z超過45即z>45.3若abcd0，且a0，bc，d0，則()Ab0，c0 Bb0，c0Cb0，c0D0cb或cb0解析：選D由a0，d0，且abcd0，知bc0，又bc，0cb或cb0.4設(shè)，則2的范圍是()A.BC. D解析：選D02，0，0，由同向不等式相加得到2.5已知：a，b，c，dR，則下列命題中必成立的是()A若ab，cb，則acB若ab，則cacbC若ab，cd，則D若a2b2，則ab解析：選B選項A，若a4，b2，c5，顯然不成立，選項C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如ab0，c0d

15、時，不成立；選項D只有ab0時才可以否則如a1，b0時不成立，故選B.二、填空題6比較大?。篴2b2c2_2(abc)4.解析：a2b2c2a2b2c22a2b2c4(a1)2(b1)2(c1)2110，故a2b2c22(abc)4.答案：7已知|a|1，則與1a的大小關(guān)系為_解析：由|a|1，得1a1.1a0,1a0.即01a21，1，1a.答案：1a8某公司有20名技術(shù)人員，計劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)計產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類7.5B類6今制定計劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)_件，最高產(chǎn)值為_萬元解析：設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50x)件，則20，解得x20.由題意，得總產(chǎn)值y7.5x6×(50x)3001.5x330，當(dāng)且僅當(dāng)x20時，y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元答案：20330三、解答題9某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)此產(chǎn)品的工