[奧數(shù)課堂]往返行程問題的解法探討

1、奧數(shù)課堂往返行程問題的解法探討不少學(xué)生在解答往返行程問題時往往束手無策，有的雖能解出，但過程冗長、步驟繁瑣，究其原因是還沒有把握住這類題的基本特征。現(xiàn)以下面幾道題為例，說明只有掌握它們的特征，才能得出簡捷的解法。 例1 甲乙兩輛汽車分別從相距63千米處的礦山與堆料場運料同時相向開出，時速分別為40千米和50千米，如果不計裝卸時間，那么，兩車往返運料自出發(fā)到第三次相遇共經(jīng)過多少時間？該題為往返行程問題，即兩者往返于兩地之間，不止一次地相遇。這種問題除具備相遇問題的特征外，還有如下特征：由圖可見，第一次相遇兩車行的路程和等于兩地距離。以后每增加一次相遇，兩車行的路程和為兩地距離的2倍。故到第三次相

2、遇，兩車行的總路程為兩地距離的5倍，這樣便不難得出該題的解法：63×5÷（40+50）=3.5（小時）掌握了上述特征后，就能把較復(fù)雜的往返行程問題化難為易，解法化繁為簡。如：例2 甲、乙兩人同時從東西兩鎮(zhèn)相向步行，在距西鎮(zhèn)20千米處兩人相遇，相遇后兩人又繼續(xù)前進。甲至西鎮(zhèn)、乙至東鎮(zhèn)后都立即返回，兩人又在距東鎮(zhèn)15千米處相遇，求東西兩鎮(zhèn)距離？解法一 設(shè)東西兩鎮(zhèn)相距為x千米，由于兩次相遇時間不變，則兩人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：所以東西兩鎮(zhèn)相距45千米。解法二 緊扣往返行程問題的特征，兩人自出發(fā)至第二次相遇所走路程總和為東西兩鎮(zhèn)距離的3倍，

3、而第一次相遇距西鎮(zhèn)20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，則從出發(fā)至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇時乙已從東鎮(zhèn)返回又走了15千米，所以，兩鎮(zhèn)的距離為（20×3-15=）45（千米）例3 甲乙兩人同時從東鎮(zhèn)出發(fā)，到相距90千米的西鎮(zhèn)辦事，甲騎自行車每小時行30千米，乙步行每小時行10千米，甲到西鎮(zhèn)用1小時辦完事情沿原路返回，途中與乙相遇。問這時乙走了多少千米？解法一 東西兩鎮(zhèn)相距90千米，甲每小時行30千米，共需（90÷30=）3（小時）。連辦事共用了（3+1=）4（小時）。乙每時行10千米，4小時共行（10×4=）40（千米）。這時

4、兩人相距（90-40=）50（千米），兩人正好同時從 A、B相向而行，其相遇時間為（50÷（30+10）=）1.25（小時）。于是乙從出發(fā)至相遇經(jīng)過了（4+1.25因此，共走了10×5.2552.5（千米）。解法二 根據(jù)題意可知甲從東鎮(zhèn)到西鎮(zhèn)，返回時與乙相遇（乙未到西鎮(zhèn)，無返回現(xiàn)象），故兩人所行路程總和為（90×2=）180（千米），但因甲到西鎮(zhèn)用了1小時辦事。倘若甲在這1小時中沒有停步（如到另一地方買東西又回到西鎮(zhèn)，共用1小時），這樣兩人所行總路程應(yīng)為：90×2+30=210（千米），又因兩人速度和為30+10=40（千米），故可求得相遇時間為：（21

5、0÷40=）5.25（小時），則乙行了（10×5.25=）52.5（千米）。例4 快慢兩車同時從甲乙兩站相對開出，6小時相遇，這時快車離乙站還有240千米，已知慢車從乙站到甲站需行15小時，兩車到站后，快車停留半小時，慢車停留1小時返回，從第一次相遇到返回途中再相遇，經(jīng)過多少小時？解法一 240÷6=40（千米）（慢車速度）40×15=600（千米）（甲乙兩站距離）（600-240）÷6=60千米（快車速度）快車第一次相遇后繼續(xù)前進至乙站，又開了（240÷60=）4（小時），連停留時間共用了4.5小時。慢車第一次相遇后，向前開了4.5

6、小時，應(yīng)行（40×4.5=180（千米），到A處，這樣慢車距離甲站還有（600-240-180=）180（千米），如繼續(xù)開到甲站，加上停留時間，還要用（180÷40+1=）5.5（小時）。在這5.5小時中，快車又從乙站返回開至B處，距甲站為（600-60×5.5）270（千米）。這時就相當(dāng)于兩車從相距270千米的兩地（甲站和B處）同時相向開出，則可求出其相遇時間為：270÷（60+40）=2.7（小時）最后，求得慢車從第一次相遇到返回途中再相遇所經(jīng)過的時間為（4.5+5.5+2.7=）12.7（小時），即為問題所要求的。解法二 根據(jù)往返相遇問題的特征可知，從第一次相遇到返回途中再相遇，兩車共行的路程為甲乙兩站距離的2倍，再根據(jù)例3解法二的設(shè)想方法，即假設(shè)快車不在乙站停留0.5小時，慢車不在甲站停留1小時，則兩車從第一次相遇到第二次相遇所行總路程為600×2+60×0