2020屆高考數(shù)學大二輪復習專題三數(shù)列第3講數(shù)列的綜合問題練習文

1、第3講數(shù)列的綜合問題考情研析1.從具體內(nèi)容上，數(shù)列的綜合問題，主要考查：數(shù)列與函數(shù)、 不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù) 觀點探求參數(shù)的值或范圍.2.從高考特點上，常在選填題型的最后兩題及解答題第17題中出現(xiàn)，分值一般為 58分.核心知識回顧數(shù)列綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩點：(1)以數(shù)列知識為紐帶，在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的交匯處命題，主要考 查利用函數(shù)觀點、不等式的方法解決數(shù)列問題，往往涉及與數(shù)列相關(guān)的不等式證明、參數(shù)的 范圍等.(2)以數(shù)列知識為背景的新概念、創(chuàng)新型問題，除了需要用到數(shù)列知識外，還要運用函數(shù)、 不等式等相關(guān)知識和方法，特

2、別是題目條件中的“新知識”是解題的鑰匙，此類問題體現(xiàn)了 即時學習，靈活運用知識的能力.熱點考向探究考向1數(shù)列與函數(shù)的綜合問題例1 (2019 上海市青浦區(qū)高三二模 )已知函數(shù)f (x) =x2+ ax+ b(a, b R),且不等式 |f(x)| W2019|2x x2|對任意的x 0,10都成立，數(shù)列an是以7+a為首項，公差為1的等 差數(shù)列(nC N).(1)當xC 0,10時，寫出方程2x x2 = 0的解，并寫出數(shù)列an的通項公式(不必證明)；.1a*(2)若bn = an - n ( nC N),數(shù)列bn的前n項和為 S,對任意的nC N ,都有 S<m成 3立，求m的取值范圍

3、.解 (1)因為xC0,10時，易知方程2xx2=0的解為x = 2, x = 4,由不等式|f(x)| W2019|2x x2|對任意的x 0,10都成立，可得|f|f2 |<0,4 | <0,-23 -f 2 =4+2a+b=0,f 4 =16+4a+b=0,解得a= 6,b= 8,所以 f (x) = x2- 6x + 8,又數(shù)列an是以7 + a=1為首項，公差為1的等差數(shù)列, 所以an= n.(2)由(1)知 bn= an 1an=n 1 n, 33所以 Sn=bl+b2+ bn=1-+2 , a 2+ 3 a 3+ n 3 n，3333«Sn= 1-2 + 2

4、 - -3+ 3 -4+ n - - n+1,一得,21S1 = +3333+ 31 n+133-1 n+11 J3=F-n, 3=2 1 3nTT，33333整理得,3 2n+ 3 ,2n+3-,口8=4 口，由K>0可信,、 一,13由S<m恒成立，可得 mB4.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出 Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利 用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進行準確的轉(zhuǎn)化.b.已知數(shù)列an的前n項和為S,向量a=(Sd), b= 2n1, 2 ,滿足條件a(1)求數(shù)列an的通項公式;

5、(2)設(shè)函數(shù) f(x)= 1 x,數(shù)列bn滿足條件 b1= 1, f(bn+1) =71111 n上述兩式相減得 2Tn=21+ 2+23+ 2- 2*一-2f bn 1求數(shù)列 bn的通項公式；bn設(shè)5=一,求數(shù)列Cn的前n項和Tn.an解(1) a/ b, ，2S=2n1, S=2n1 2.當 n>2 時，an=Si Si1 = 2 ；當n= 1時，a = S = 2,滿足上式，an = 211 x111_ - _ 一2bn+1 21 +bn(2) f (x) = 2 , f ( bn+1) = f _ 1 _ bn-,1 .12 bn1 = Z，2 - 1 - bn1, bn+1=

6、bn+ 1 ,即 bn+1 bn=1.又 b1=1,bn是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，bn=n.n 12 n 1 n2n, Tn=21+22 + -+ r + /1112n-1 n兩邊同乘 2得，2口=5+1+,2l-2n-，=1 n, t Tn=2-niJ(n N*).122'2 '"12考向2數(shù)列與不等式的綜合問題例2 (2019 云南玉溪第一中學高三第五次調(diào)研)若數(shù)列an的前n項和為首項ai>02:、且 2S = a + an( n e N).(1)求數(shù)列an的通項公式；.4(2)若a>0,令bn=不一，數(shù)列bn的前n項和為Tn,若Tn<m

7、恒成立，詐Z,求man an + 2的最小值.解 當 n= 1 時，2S = a2 + a1,則 a= 1,當 n>2 時)an=S S1 =即(an+ an- 1)( an- an- 1 1 1) = 0? an= 一 an- 1 或 an= an- 1 + 1 )n 1一 an= ( -1)或 an= n(n>2),又a=1滿足上式，所以 an = ( 1) nT或an= n, nC N*.(2)由 a>0,an= n,4- 11bn=n n+2 =2 n-n+2，1111111.111Tn = 2 1 一3+24+35 + .+ n E = 2 1 + 2- nZ7-n

8、r4n+6n+1n+2<3,若丁加恒成立，則m>3,又 m Z,mmin= 3.(1)數(shù)列中的不等式證明， 大多是不等式的一端為一個數(shù)列的前n項和，另一端為常數(shù)的形式，證明的關(guān)鍵是放縮：如果不等式一端的和式可以通過公式法、裂項法、錯位相減法bn =1n+ 12,求得，則先求和再放縮；如果不等式一端的和式無法求和，則要通過對數(shù)列通項的合適放 縮使之能夠求和，這時先放縮再求和，最后再放縮.n2- 1.(2)注意放縮的尺度：如n2<nn, n2<(2019 安徽黃山高三第二次質(zhì)檢)已知數(shù)列的前n項和S=n，nC N*.an 1(1)求數(shù)列an的通項公式；,2n +1.一一.、

9、, , 、*(2)令b=，數(shù)列bn的前n項和為Tn,求證：對于任意的 ne N,an - 1an + 1 - 1都有Tn<1.解 (1)因為Sn= n,當 n>2 時，S1= n- 1,由一，得n= 1,故an=n+1an 1*又因為a1 = 2適合上式，所以 an=n+1(nCN).(2)證明：由(1)知，2n+12n+ 111an 1 2_an+1 1 2 _ n2n+ 12 - n2-n+ 1""2' 223n n+1所以Tn<1.考向3奇(偶)數(shù)項和問題例3 設(shè)數(shù)列an的前n項和為 &.已知a1=1, a2= 2,且an+2= 3S

10、S+什3, nC N*.(1)證明：3n+2= 33n；(2)求 sn. 、一 一、. * *解(1)證明：由條件，對任息 nCN,有3n+2= 3S1 Si + 1 + 3,因而對任意 nCN*, n>2,有 an+i=3S. 1-S.+ 3.兩式相減，得 an+2an+i=3anan+i,即 an+2=3an, n>2.又 ai = 1, a2= 2,所以 a3= 3s &+ 3 = 3ai (ai + a2)+3 = 3ai.故對一切 nCN, an+2= 3an._,_-、，An + 2 一由知，所以方=3.于是數(shù)列&n1是首項ai = 1,公比為3的等比數(shù)

11、歹U； 數(shù)列a2n是首項32=2,公比為3的等比數(shù)列.因此 a2n-1=3, a2n=2X3 .于是 S2n=a1+a2+ a2n=(a + a3+ + a2n1 ) + (a +a4+ a2n) =(1 +3+ 3nT) + 2(1 +3+ 3nT)=3(1 +3+ + 30 1)=一3n 1“c 333n1 c n1 3- n2 ,、從而 S2n- 1 = S2n a2n =- 2 X 3= 一(5 X 3 1).22綜上所述,(5X31), 是奇數(shù), 彳(3,一1)川是偶數(shù).當n為偶數(shù)時，數(shù)列中的奇數(shù)項與偶數(shù)項相同，分別為 項；當n為奇數(shù)時，數(shù)列中的奇 數(shù)項比偶數(shù)項多一項，此時偶數(shù)項為

12、三項，奇數(shù)項為 上22+1 =上/項.69已知函數(shù) f(x)=ln x+cosx 2 x的導數(shù)為 f (x),且數(shù)列an滿足 an+i+an =一. 兒一*nf"6" + 3( ne N).(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，求ai的值；2(2)右對任息nCN,都有an+2n >0成立，求ai的取值氾圍.解 f' (x) = 1 sin x-_6_+9，則 f' '=4,故 an+i+ an=4n+3.x兀 26(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則 an=ai + (n1)d, an+i = ai + nd,5由 an+i + an= 4n + 3 4#

13、( ai + nd) + ai+( n 1)d=4n+3,解得 d=2, ai =-.(2)由 a+1 + an= 4n + 3 得 an+ 2 + an+i = 4n + 7,兩式相減得 an+2 an= 4,故數(shù)列a2n1是首項為ai,公差為4的等差數(shù)列；數(shù)列a2n是首項為a2,公差為4的等 差數(shù)列，又 ai + a2 = 7, a=7 ai,2n 2+ ai n為奇數(shù)，所以an2n+3 ai n為偶數(shù).當n為奇數(shù)時，an=2n 2+ai, an+ 2n2>0,則有ai>- 2n2-2n + 2對任意白奇數(shù) n恒 成立，2_- i25v f(n) = 2 n 2 n+ 2 =

14、2n + 2 +2，n 為前數(shù),則 f ( n) max= f (i)= 2,所以 ai > 2.當n為偶數(shù)時，an=2n+3 ai, an+ 2n2>0,則有一ai>- 2n2-2n- 3對任意的偶數(shù) n 恒成立，2_- i25v g(n) = 2n 2n 3 = 2n+ 2 2,n 為偶數(shù),則 g( n) max= g(2)= i5,故一ai > i5,解得 aiWi5.綜上，ai的取值范圍是2,i5.真題押題真題模擬1) (20i9 齊齊哈爾高三二模 )已知等差數(shù)列an的前n項和為S,且Sio=i20, aai, a4 32, ai + a2成等比數(shù)列.(i)求數(shù)

15、列an的通項公式；1 15(2)設(shè)Tn為數(shù)列1的前n項和，求滿足 Tn>；有的最小的n值.Sn22解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由 So=120 得 10ai + 45d= 120,2 ai+9d=24,由a2- a1, a4a2, a1 + a2成等比數(shù)列,得 d(2 a + d) = 4d2且 dw0, 2a1= 3d,，a1= 3, d = 2,等差數(shù)列an的通項公式為 an=a1+(n 1)d=3+(n 1) , 2 = 2n+1.n n-1 d .2) ) . S = na1 += n( n+ 2),111 11=.S n n 22 n n+2 '1111111-T

16、n=2 1 24+35+n1121+2-n+71n+2，由Tn>竺得 +<, 22 n+1 n + 2 22'n(3n- 35)>60 ,1- n的最小值為14.2. (2019 河北衡水中學高三下學期一調(diào))已知數(shù)列 an的前n項和Sn滿足1./ Sn- 1-1-Sn1.= 0, a1 = 1.SnSn 1(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)在數(shù)列an的前100項中，是否存在兩項 am, a(m t e N*,且n<t),使得,a2 am at項成等比數(shù)列？若存在，求出所有的3t的取值；若不存在，請說明理由.111斛 (1)因為飛=一五一飛W=0，S1-1Sn 、

17、.卜 SnSn 1所以，JS二=1,所以 *=1 + (n1) = n,所以 Sn=n2.當 n>2 時，an = S1 S1 1 = n2 (n 1)2= 2n 1. *又 2x1 1 = 1=白，所以 an = 2n- 1(nC N).4111.，一(2)若一，一，一三項成等比數(shù)列，a2 am at111c 111c則a;*&=1，即3'=而，即(2 m- 1)2=3(2t1).因為 t W100,所以(2 m- 1)2<597,又 me N*,所以 2m-1<24,所以 me 12.又2mL 1為3的奇數(shù)倍，所以 m 2,5,8,11m= 5, 驗證得t

18、 = 14,m= 8,t =38,m= 11, t = 74.3. (2019 浙江高考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為a3=4, a4=S.數(shù)列bn滿足：對 *母 I n C N , S>+ bn, Si+1 + bn, Si+2+ bn 成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an , bn的通項公式；(2) iE c= InCN*,證明：C1+C2+ Cn<2>/n, n N.解 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,a1+2d=4,a=0,由題意得解得ad 3d = 3ad 3d,d = 2.從而 an=2n2, nCNj.所以 S = n2n, nCN*.由S+bn, S+1 + A, S+2+

19、bn成等比數(shù)列，得2(Si+1 + bn) = ( Si+ bn)( Sn+ 2+ bn).解得 bn=d(S2+1 SS+2).所以 bn=n2+n, n N.我們用數(shù)學歸納法證明.當n= 1時，。=0<2,不等式成立;假設(shè)當n= k(ke N)時不等式成立，即 。+ C2+ Ck<2k. 那么，當n=k+1時，C1+C2+ ck+ Ck+1<2/k +<"+ 6 <2+；jk=2/k + 2( #+ 1 - #) = 2#+ 1,即當n = k+1時不等式也成立.根據(jù)和，不等式C1+C2+ + Cn<2而對任意n N*成立.金版押題4.已知函數(shù)

20、f (x) = J3cos兀x sin兀x(x C R)的所有正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列an(nCN).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)b= 1 n an+| ,求數(shù)列bn的前n項和Tn. 23,L兀解 (1) f (x) = pcos 兀 xsin 兀 x= 2cos tt x + ,由題意令 % x+ = k % + -z-( k Z),解得 x=k+.(kCZ). 623又函數(shù)f(x)的所有正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列I 1 ,、，.an,所以an是以a為首項，1為公差的等差3數(shù)列，所以 an=n3(nCN*).(2)由(1)知 bn= 1 n an + | =n - 1 n, 23211121

21、31n 11nf則 T=1. 2+2 - 2+3 2 +(n-1) - 2+ n -，1 .12,門 131c 1 4 ,，/11n1 n+1 小2Tn= 1- 2 +2 2 + 3- 2 +(n 1)。2+ n 2，11 n 1二 ,一11121 31 n 1n- 2221 n、一得, 尹=5+ 2+2 + 2 - n - 2=1- n - -= 1 - ( n+1 211c2) - 2 ，所以 Tn=2-(n+ 2) 2 .配套作業(yè)1.(2019 北京市海淀區(qū)高三4月模擬)已知等差數(shù)列an的公差d=2,且比+a5=2,an的前n項和為Sn.(1)求an的通項公式；(2)若Sn, a9, a

22、15成等比數(shù)列，求 m的值.解 (1)因為 a5+a2=2, d=2,所以 2a1 + 5d=2a1+10=2,所以 a1 = 4,所以 an= 2n 6.ad am m 22 2) Sm2=m5m 又 凄=12, a15= 24,因為Sm, a9, a15是等比數(shù)列，所以 a2=Sna15,所以 n2-5m-6=0, m= 6或 m= 1, *因為mC N ,所以m= 6.3 .設(shè)數(shù)列an的前n項和是Sn,右點An n,-在函數(shù)f (x) = x+c的圖象上運動，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)，且 a1 = 3.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記b=aan,求數(shù)列bn的前n項和Tn的最小值.“sn

23、 , Sn ，、一 一，&-，-解 (1)因為點 An,不在函數(shù)f(x) = x + c的圖象上運動，所以 書=n+c,所以&2 .=n + cn.2因為ai=3,所以c=4,所以&=n+4n,所以 an= S3 一 一 4,已知數(shù)列an的前n項和為S,若a1 = p 3S+1=S+1. (1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若b= log 1 an,數(shù)列an bn的前n項和為Tn,求Tn.341斛 (1)當 n= 1 時，3S2=-, a2=, -3a2=a1；391、,、，一1、.，.，當n>2時，3s=S1+1,. 3an+1=an(n>2),故數(shù)列an是

24、以q為首項，q為公比的等比33數(shù)列，11nl 1 n則 an=3X 3= 3 . Si-1= 2n+5(n>2).又ai = 3滿足上式，所以 an= 2n+5( nC N).(2)由(1)知，bn=aan=- 2an+5=-2( -2n + 5) +5 = 4n-5,所以bn為等差數(shù)列，所以Tn =nbi + bn2=2n 3n,當n=1時，Tn取最小值，所以 Tn的最小值是T1=- 1.4 . (2019 廣東東莞高三二調(diào) )已知數(shù)列an滿足a2= 3, an+1 = 2an+1,設(shè)bn=a+1.(1)求 a, a3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求 a + a

25、3 + a5 + a2n+1.解 (1)數(shù)列an滿足 a2=3, an+1=2an+1,當 n= 1 時，a2=2a1+1,解得 a=1.當n=2時，解得a3=7.bn+ 1 an+ 1 + 1(2)當 n= 1 時，b1 = 2,所以丁 = 一二 =2(常數(shù))，bnAn + 1則數(shù)列bn是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.(3)由(1)和(2)得 an=2n-1,1_3-+1、.2 4n+1-1,-所以 a1 + a3+ + a2n+1 = (2 +2 + 2)(n+1)=4 1 一(n+1) =8X4n 3n5(2)由知 bn= log 1 an= n,則 an bn= n 3從而 Tn=

26、1 x + 2x . 2+ (n - i)x n 1-h n ,工”， 3333；Tn= 1 x - 2 + 2X - 3+ - + (n 1) x - n+ n ,鼻火1,13*1 -33333由一得,21,12,1 n -13Tn = 3+ 3 + 3 -n , 3廠,3因此Tn=i-1(2 n +3) - 1n.5. (2019 衡水第二中學高三上學期期中)已知等差數(shù)列 an與公比為正數(shù)的等比數(shù)列 bn滿足 b1=2d = 2, a2 + bs = 10, as+ b2= 7.求an, bn的通項公式;bn+ 1an + bn,an+1+bn+1cn的前n項和S.解(1)由題意 a1 =

27、 1, b1 = 2.設(shè)公差為d,公比為q,則1 + d+2q2= 10,1 + 2d+2q=7,解得d= 1,q=2.故 an=a1 + (n-1)d=n, bn = b1 - qn 1 = 2n.(2)因為Cn =bn+1an+than+1+bn+11n+ 1 ,',+ n+ 12n+11所以 Cn=F2n+1 + n+1 =2T7 21111 ,111故 S1 21+ 1 22 + 2 + 22 + 2 2 3 + 3+ + 2n+n 2n+1 + n+ 1-3 2n+1+n+ 1.6.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(an,bn)在函數(shù)f(x)=2'的圖象上(nCN*).(

28、1)若a = 2,點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項和S；1 一一.(2)右a=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2, b2)處的切線在x軸上的截距為2而丁，求數(shù)列a f ' (x) =2xln 2, f' (az) = 2 a2ln 2,故函數(shù) f (x) = 2x 的圖象在(a2, b2)處的切線方程的前n項和Tn.bn解 (1)由已知得，b7= 2 a7, b8= 2 a8= 4b7,有 2 a8=4X2 a7=2a7+2.所以 d= a8 a7= 2.,-n n 1. 一 ，.2 一所以，S = na1+2d= 2n+n( n1) = n 3n.為

29、 y 2a2 = 2a21n 2( xa), ，1它在x軸上的截距為a2-1n-2，一11由題意得，a2一就2In 2,解得 a2=2.所以 d=a2ai = 1.從而 an=n, bn=2n,& nbn = 2n.123所以 Tn= 2+22 +23+，n-1 n-+ 2nT +滑111 n因此，2Tn Tn= 1 +2+ 了+ 2 2n1n 2n+1-n-2n n.222n+1-n- 2 所以，Tn = 一2一7. (2019 安徽六安第一中學高三模擬 )已知a, b, c分別為 ABCW三內(nèi)角A, B, C的 對邊，其面積 S=4,B= 60° , a2 + c2=2b

30、2,在等差數(shù)列an中，a = a,公差d= b.數(shù)列bn 的前 n項和為 Tn,且 Tn2bn+1 = 0, nCN.(1)求數(shù)列an , bn的通項公式;(2)若G=anbn,求數(shù)列Cn的前n項和Sn.113斛 (1) S= 2acsin B= 2ac - 2 = "v3, ac=4,又 a2+c2 = 2b2, b2= a2+c22accosB,b2= ac=4,b=2,從而(a+c)2= a2+c2+2ac= 16,得 a+c= 4,a=c=2,a1 = 2,故可得an=2+ 2( n-1) = 2n.d= 2,- Tn 2bn+ 1=0,當 n= 1 時，bi = 1；當 n

31、>2 時，Tn 1-2bn 1+ 1 = 0,一，得 bn=2bn 1(n>2),，數(shù)列bn為等比數(shù)列，bn=2ni.(2)由得 cn=2n 2ni = n 2 n,Sn= a1 , b1+ a2 , b2+ an , bn=1X21 + 2X22+3X23+ n 2”， 區(qū)2Sn=1X22 + 2X 2 3+3X 2 4+ n 2 二 一得一Sn= 1 X 2 1+(2 2+ 23+ 2n) n 2即一Sn= (1 n)22, -Si=(n_1)2+2.a4= 84 a5,8. (2019 貴州凱里第一中學高三下學期模擬)在等差數(shù)列an中，已知as= 36.(1)求數(shù)列an的通項

32、公式an；Sn 20 一(2)記S為數(shù)列an的刖n項和，求 n的取小值.解 (1)由 a3+a4=84a5,得 a4=28,ad 3d=28,a1=22,由得ad 7d= 36,d = 2,即數(shù)列an的通項公式為 an = 22+(n1) X2= 2n+20.(2)由得，S=22n+n-n- X2=n2+21n,S+ 2020=n+21, n n令 f(x) = x+ 2+21,xf ' (x) = 1Z,當 xC (0,2 書)時，f' (x)<0;x當 xC (275, +00 )時,f' (x)>0 ,則f(x)在(0,2季)上單調(diào)遞減，在(2 75, +8)上單調(diào)遞增, 一 _*又 nC N, f(4) =f (5) =30,，當n = 4或5時，f(n)取到最小值30,即S+20n的最小值為30.數(shù)列類解答題(12分)已知各項均不為零的數(shù)列an*1的刖n項和為Sn,且對任息的nCN,滿足Sn=-ai(an-1).3(1)求數(shù)列an的通項公式；8(2)設(shè)數(shù)列bn滿足anbn=log2an,