兩角和與差的正弦、余弦和正切公式專題及解析(精.選)

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學(xué)目標(biāo) 1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式；3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的 正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在 聯(lián)系。知識梳理1 .兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin( a±3 ; sin a cos 3 ± cos a sin 3 .cos(a? ) = cos a cosB ± sin a sin B .ian(ff±/3)lan 0 ± Rin 31 tan atan /?"2 .二倍角

2、的正弦、余弦、正切公式sin 2 a = 2sin a cos a .cos 2a = cos2 a sin2 a = 2cos2 a 1 = 1 2sin2 a .n 2tan a tan 2a =-1 - tan a3 .有關(guān)公式的逆用、變形等1 EV 2q9(1)tan a ±tan0 = tan( a±如？tan a tan B ).& 1+uos 2a .(2 )cos a = 5m o;二(3)1 +sin 2 a = (sin a +cosa )2, 1 sin 2 a = (sin a - cosa )2, sin a ± cos a =/

3、sin a +4 .4 .函數(shù) f(。= asin a + bcos a (a, b 為常數(shù))，可以化為 f( o) =a2+ b2sin(a+b ,(D 其中 tan 小=一或 f( o)=a2+ b2 - cos(a 其中tan 小= a診斷自測1.判斷正誤（在括號內(nèi)打或 “X”）word.精彩PPT展示兩角和與差的正弦、余弦公式中的角% B是任意的.（）（2）存在實數(shù) % B ,使等式sin（a+ sin a +sin B成立.（）,tan a +tan B 、b/、,公式tan(升3 = 丁二：一丁可以變形為tan a +tan B1 一 tan a tan 口= tan(a+ 9(1

4、tan a tan B),且對任意角 a, B 都成立.()(4)存在實數(shù) %使tan 2 a =2tan民.()解析（3）變形可以，但不是對任意的冉B都成立,kC Z.答案 ，(2)V (3)X2.（2016全國田卷）若tan 913'則 cos 28=(4 A.-51B.-51C.54D.5解析 cos 28= cos 0 sin2 0cos2 8 sin2 01 tan2 8cos2 8 + sin2 01 + tan2 84=5.答案 D3.(2015重慶卷)若tan a1 =3,1tan(a+ 9=2,則 tan B 等于(1A.71B.65C.75D.6tan ( a+ 3

5、 tan a斛析 tan B=tan(什 A e = 1+tan(a+B) tan a112 31 一，=11=7,故選 a.1 + 2X3答案 A4.(2017 廣州調(diào)研)已知 sin a + cos a =：,貝 sin2。一 a=()34A 1c 178c .2A.18b.18c.9d. 9解析 由sin a+cosa=1兩邊平方得1 + sin 2a =1,解得sin 2a =8,所以399九 c,8. 2 兀 1cos -2a 1sin 2a1+9 17sin4 a= 2=2=2 =18，故選 B.答案 B5.(必修 4P137A13(5)改編)sin 347° cos 1

6、48° + sin 77° cos 58° =.解析 sin 347° cos 148° + sin 77° cos 58° = sin(270° +77° )cos(90° +58° )+sin 77° cos 58°=(cos 77° ) (sin 58° ) + sin 77° cos 58°=sin 58 cos 77° + cos 58° sin 77°= sin(58° +7

7、7° )=sin 135°2答案放 考點一三角函數(shù)式的化簡【例 1】(1)(2016 合肥模擬)cos(a+ 9cos B +sin(a+ 3sin B =()B.sin aD.cos aA.sin(升 2®C.cos(a+ 2 份a a(1 + sin a + cos a ) , cos2" sin2化簡：J =(0<0<九)=.2+ 2cos解析 (1)cos(a+ gos B +sin(a+ ®sin B =cos(a+ 3 日= cos a .(2)原式=2cos22- + 2sin2-cos2- - cosysin-2:4

8、coS2 2cos2 cos-2 sin1 2 *cosy cos a=acosycos2.8 Tt.a因為0< o<兀，所以0<<,所以cos-2>0,所以原式=cos a .答案(1)D (2)cos a【訓(xùn)練11 (1)/2+2cos 8+ 2,1sin 8的化簡結(jié)果是.2cos4 a - 2co$ a + 2化簡： ;.2tan I a sin2 -+ a解析(1)原式:44cos24 + 2y/ (sin 4cos 4) 2=2|cos 4 + 2|sin 4 cos 4|,53因為4 兀 <4<2 幾,所以 cos 4<0,且 sin

9、 4<cos 4,所以原式=-2cos 4 2(sin 4 cos 4)= - 2sin 4.(2)原式=2 ( 4cos4 a - 4cos2 a + 1)一，. 2L2X sin 4 - acos2 7一 a九4cos 二一 a4(2co$ a 1) 2cos 2 a7t7t4sin "4" a cos _4a 2sin2-2 acos22 a1=C C = ocos 2 a .2cos 2a 2Ai九(2)已知 cos 了 + a3 17幾=5，"72"<a <72 一sin 2 a +2sin a1 tan a的值為（3）已知

10、的 b e（o,1 -，7,則2a B的值為1 ,。九)，且 tan(a® = 2, tan B解析(1)原式=(2sin 50° + sin 10cos 10° + ,；3sin 10°cos 10°2sin 800 =(2sin 50° + 2sin 10°1 3 .2cos 10 + -2sin 10cos 10°+ sin 10° - cos(60° 10° )/cos 10° = 2V2sin 500cos 10 =2殺in（50。+10。）= 2內(nèi)坐=屏221-t

11、an asin 2a +2sin a 2sin a cos a +2sin a=sin a 1cos a2sin a cos a (cos a +sin a )cos a sin a1 + tan a - =sin 2a ) ,=sin 2a1 tan a17幾/口 5九得二-v3冗+7<2 九,又cos 4十一一-兀所以sin 7+ 一45'冗tan + a443.cos a = cos +興,sin a唔,sin 2a7= 25.所以2sin 2 a +2sin a =1 tan a2875.tan a= tan(a份 + =tan ( a+ tan 31 tan ( a一位

12、 tan 01 1=3>。,2 7_1 11 + 2x7一 一一 一 九又 aC （0,兀），. 0< a <,又tan 2a2tan a2x321 tan a i1- 33八 =4>0,tan(2a份=tan 2 a tan 01 + tan 2a tan 03 14+73 I 一。14X7 c 1 - 九tan B = 7<0,<3 < nt , 一 < <2 a 火。，.c c 3 幾 2 oc - 0= 一 -4.答案 血(2)-75(3)34【訓(xùn)練 2】(1)4cos 50° -tan 40° =()A. .2

13、B.V2+V32C. 3D.2.2-1八九4«3九，一，已知 sin a+_3+sin a= 5-, 一 "2"<a<0,則 cos a 的值為一 九、一一 _但依萬），則tan 2 a =已知 cos a =1, cos(a 9 = 13(0<解析(1)原式=4sin 40sin 40cos 40°4cos 40° sin 40° sin 40°cos 40°2sin 80 sin 40°cos 40°2sin (120° 40° ) sin 40

14、6;cos 40°3cos 400 + sin 40° sin 40°cos 40°3cos 40°- nc=cos 40。=R 故選 C.一 r .冗，.(2)由 sin a+ y + sin4,3一 5，陽3.,3行/sin a +2 cos a =智，sin , +-645.又一"2_<a<0,所以一3-<冗 冗+石 <百于是cos冗+ -635.所以cos7t7t= cosa+m-63、34 10(3)cos1 c7, 0< a <萬,7t二 sin a473, tan a =4依2X4V3

15、_1-48 8 ；3 方. .tan 2a =2tan a"；2:1 tan a7t7t< 0< B < a <,0< a火,3.3 .sin(a 3= 14 , .cos B =cosa (a加 = cos a cos(a 3 +sin asin(a一份 _1v134_Jv3_3_1-7X 14+ 7 * 14 -2'7tJ答案(1)C (2)%(3)-8737t3考點三三角變換的簡單應(yīng)用【例3】已知 ABC為銳角三角形,若向量 p=(2 2sin A, cos A+ sin A)與向量 q = (sin A- cos A, 1 + sin A

16、)是共線向量求角A；c C3B, 一一(2)求函數(shù)y=2sin2B+cos2一的取大值.解 (1)因為 p, q 共線，所以(2 2sin A)(1 + sin A)3=(cos A+sin A)(sin A cos A),貝U sin2A=4.又A為銳角，所以sin A=號,則A=_3.2C-3B2冗一勺B 3B(2)y= 2sin B+ cos2= 2sin B + cos2=2sin2B +cos q- 2B =1 - cos 2B +2cos 2B+ 3L一 一九.=sin 2B-6+1.3312 sin 2B= sin 2B2cos 2B+ 1因為 B 0, -2-,所以 2B-6

17、-6, 5 ,所以當(dāng) 2B 6 = "2時，函數(shù) y.冗取得取大值，此時B=W，ymax=2.31【訓(xùn)練3】(2017合肥模擬)已知函數(shù)f(x) = (2cos2x1) sin 2x+2cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；一4一一廠一口 九72 q .冗+右氏(0,九)，且f -"8=2，求tan a 十萬的值.1斛(1)f(x) = (2coWx 1)sin 2x+2cos 4x1,=cos 2<sin 2x+ 2cos 4x1也.工= 2(sin 4x+cos 4x)= 2 sin 4x+ 4一一，一一.冗；f(x)的最小正周期T=5.人 九一

18、, 九一 3. 一令 2k：t + 萬&4'+了0 2ktt +2Tt , kC Z,得3 +16cx<k2-+5|-, k Z.f（x）的單調(diào)減區(qū)間為k冗，冗+216'k：t22即 sin a7t4=1.因為7t4< a 彳<丁，所以a7t4,3九故 a .因止匕tantan347t.匕吃 1+必1 - tan3tan-3-1+泥= 2 43.基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時：40分鐘）、選擇題1.(2015 全國 I 卷)sin 200 cos 10° -cos 160° sin 103A. - 2B. 21 c.一21D.2解析 sin

19、 20° cos 10° cos 160° sin 10° = sin 20°cos10° +cos 20° sin 10°一 1= sin 30 =2.答案 D2.(1 +tan 17° )(1+tan 28 )的值是()A. 1B.0C.1D.2解析 原式=1+tan 17° +tan 28° + tan 17°tan 28tan 28= 1 + tan 45° (1 - tan 17°tan 28 )+tan 17° = 1+1 = 2.答

20、案 D3.（2017西安二檢）已知a是第二象限角，且tan1 a 3,則 sin 2 a =()八3 10A. 一 10310B. 10C.-3d.5解析 因為a是第二象限角，且tan a1=二 3'10所以 sin acos a =3.1010 '10、，所以 sin 2 a =2sin a cos 后 2X0-X啦二 10 3.5,故選C.答案 C14.（2017河南六市聯(lián)考 ）設(shè)a = 2cos3 . o2tan 14°2 sin 2 ' b = 1-tan21401 cos 50° nt .2，則有()B.a<b<cA.a<

21、 c< bC.b<c<aD.c<a< b解析由題意可知，a = sin 28° , b=tan 28° , c= sin 25 ,二 c< a< b.答案 D冗tan 2 a +-=( 3一5.（2016肇慶三模）已知sin民 =5且a為第一象限角,19A. 一 T 55B.-w31 C.-v17D.-31解析由題意得cos5,則sin 2 a =2425'cos 2a = 2cos2 a 17=25. .tan 2a = -24,tan 2a冗tan 2 a +tan4=Tt1 tan 2 a tan-424亍+ 1241

22、- -y x 11731.答案 D、填空題6.（2016石家莊模擬）若cos a7t31九 一=3，則sin 2 a -6的值是斛析 sin 2 a- grin2.7t3-九 c 2cos 2 a -3- = 2cos冗a 311=2x11979.答案-97.(2017南昌一中月考)已知0,幾口 九"4 ,且 cos -4 asin 5 冗 + B = 12，則 cos(a+ 3 =13解析冗cos -r 43 a 5,二 sin7t44 a 5,547t1213'.九,八 sin + B =41213'又丁即0,7t13' . COS(a+ 3 = COS1

23、28.已知解析V V 一5 13一5 133365.33650,7t2Lt九，且 sin 9 -12,貝U tan 28 =sin0 -4 =興,得 sin 0 cos 0=5，可求得 sin 0+c0s ”5, sin 024，平方行 2sin 8 cos ° =25，4 =5,cos 03八 4 i 2tan 924=5,tan "3，tan 28=己#72479.(2017 淮海中學(xué)模擬)已知向量 a=(cos 9 , sin 8), b=(2, - 1).(1)若 a±b,求sin 8 cos 8sin 0 +cos 0的值;(2)右|ab|=2,9 0,

24、 "2，求 sin 9 +的值.解 (1)由 a，b可知，a b=2cos 9 sin 8=0,所以 sin 0 =2cos 0 ,sin 0cos0 2cos0cos01ZtT以 八n=c八i八=。.sin 0+cos0 2cos0+cos03由 ab=(cos 0 2, sin 0 +1)可得,|a b| =(cos 82) 2+ (sin 8+1) 2 :6 4cos 0 +2sin 0 :2,即 12cos 0 + sin 8=0.又 cos2 8 + sin2 8 = 1,且況 0, -2 ,所以sin8 =3, cos 8 =4. 55所以 sin 0 +_4 =W(si

25、n2 3 49 +cos 9 )=2 5 + 5u10 .10.設(shè) cos-5a 5，tan冗 < a <-2-, 0< B九 十萬，求a B的值.13'由cos冗 < a <32,得 sina =2,又 tan于是tan( atan a tan B1 + tan a tan B11 + 2X -31.又由冗 a 32匚,0 B 2可得一萬一30,冗萬因此,5兀B= 丁法二cos冗 < a <-2得sin2；55 .由tan13'0< B <-2得 sin B_1_ 一,10'cos § 卡所以 sin(a

26、 sin a cos B cos a sin B =又由九< a <-2",九一九冗0< B <2可得一2<30, 2< a 33九 eh-5九-2-,因此，a 一片X.能力提升題組（建議用時：20分鐘）11.(2016云南統(tǒng)一檢測)cos。, cos - cos 9=(解析冗cos cocos 401B.一否1D.8s2 - cos - 23 冗 cos 80° =12sin 40=cos 20° - cos 40° - cos 100° = cos 20°sin 20° cos 20&

27、#176; cos 40° cos 80°- cos 40° - cos 80°sin 200sin 200100sin 80 - cos 80 4sin 20°10gsin 1608sin 201- 0$sin 208sin 20答案 A12.（2017武漢調(diào)研）設(shè)a,B C 0,兀,且滿足sin acos B cos a sin B = 1,則sin（2a 9 + sin（a 2 3的取值范圍為（）A.也，1B.-1, V2C.T, 1D.1 ,亞解析 sin a cos B cos a sin B=1, . . sin(a 3 = 1,0<B e 0,兀,；a b=k，由20<八九一一? 2 0虱冗,22sin(2 a一 份 + sin( a 2 ® = sin-a+ 2+ sin(a 2a+ 冗)= cos a + sin a匚.九 一九一 一= R2sin a+