2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)圓的綜合的綜合題附答案

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)圓的綜合的綜合題附答案一、圓的綜合1.在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為 2的正方形OABC的兩頂點(diǎn) A、C分別在y軸、x軸的正 半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點(diǎn)一次落在直線 y X上 時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y x于點(diǎn)m , BC邊交x軸于點(diǎn)N (如圖).C(1)求邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，求正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)設(shè) MBN的周長(zhǎng)為p ,在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，P值是否有變化？請(qǐng)證明 你的結(jié)論.【答案】(1) k2 (2) 22.5。(3)周長(zhǎng)不會(huì)變化，證

2、明見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來(lái)求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出/AOM的度數(shù)；(3)利用全等把4MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子.試題解析：(1) ; A點(diǎn)第一次落在直線 y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線 y=x與y軸的夾角是 45°,，OA 旋轉(zhuǎn)了 45 °. OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為4522360(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又. O

3、A=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN.Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 .22，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45 22.5 =22.5 .(3)在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，貝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.OAEAOCNI.，OE=ON, AE=CN又 / MOE

4、=Z MON=45 , OM=OM ,.OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN ,.尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.如圖，以。為圓心，4為半徑的圓與 x軸交于點(diǎn) A, C在。上，/OAC=60°.（1）求/AOC的度數(shù)；（2） P為x軸正半軸上一點(diǎn)，且 PA=OA連接PC,試判斷PC與。的位置關(guān)系，并說(shuō)明 理由；（3）有一動(dòng)點(diǎn) M從A點(diǎn)出發(fā)，在。上按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周，當(dāng)S>AMAO=SxCAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)，并寫(xiě)出此時(shí) M點(diǎn)的坐標(biāo).1'八【

5、答案】（1） 60。； （2）見(jiàn)解析；（3）對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo)分別為：Mi（2, - 2J3）、M2 （-2, - 2百）、M3 （-2, 2向）、M4（2, 273）.【解析】【分析】（1）由于Z OAC=60,易證得4OAC是等邊三角形，即可得 / AOC=60 .（2）由（1）的結(jié)論知：OA=AC,因此 OA=AC=AP即OP邊上的中線等于 OP的一半，由此可證得OCP是直角三角形，且 /OCP=90,由此可判斷出 PC與。O的位置關(guān)系.（3）此題應(yīng)考慮多種情況，若 aMAO、4OAC的面積相等，那么它們的高必相等，因此 有四個(gè)符合條件的 M點(diǎn)，即：C點(diǎn)以及C點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

6、可據(jù)此進(jìn)行 求解.【詳解】（1） OA=OC, Z OAC=60 ,.OAC是等邊三角形，故 / AOC=60 .（2）由（1）知：AC=OA 已知 PA=OA 即 OA=PA=AC.AC=1 OP,因此 OCP是直角三角形，且 / OCP=9O°,2而OC是。的半徑，故PC與O O的位置關(guān)系是相切.（3）如圖；有三種情況：M點(diǎn)的要求，此時(shí) M點(diǎn)的坐標(biāo)為:M1 (2,一劣弧MA的長(zhǎng)為：60一41804T； 取C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，此點(diǎn)也符合M點(diǎn)的要求，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為:M2 ( - 2,一 ，一，1204劣弧MA的長(zhǎng)為：180 取C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，此點(diǎn)也符合2 ,3）；M點(diǎn)的要求

7、，此時(shí) M點(diǎn)的坐標(biāo)為:M3 ( - 2,八一 2404優(yōu)弧MA的長(zhǎng)為：18016當(dāng)C、M重合時(shí)，C點(diǎn)符合M點(diǎn)的要求，此時(shí) M4 （2, 2，3）;優(yōu)弧MA的長(zhǎng)為：300一418020綜上可知：當(dāng)S»A MAO=S CAO時(shí),動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為 , , ,”一對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)坐3333標(biāo)分別為：M1 （2, 2石）、M2 （-2, 2石）、M3（ 2, 2石）、M4 （2, 2.3）【點(diǎn)睛】 本題考查了切線的判定以及弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，不要漏解.3.如圖，在VABC中， ACB 90°,BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE AD交AB于點(diǎn)E,以AE為直

8、徑作e O .1求證：BC是e O的切線；2 若 AC 3, BC 4,求 tan EDB 的值.1【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) tan EDB -.2【解析】【分析】1連接OD,如圖，先證明 OD/ /AC ,再利用ACBC 得到 OD BC,的判定定理得到結(jié)論;2先利用勾股定理計(jì)算出 AB 5,設(shè)e O的半徑為r,則OA OD r,15再證明VBDOsVBCA ,利用相似比得到r： 3 5 r ： 5,解得r 8然后根據(jù)切線OB 5 r,接著利用勾一一、一 5股定理計(jì)算BD 5 ,則CD3 12 ,利用正切定理得tan 1 -,然后證明1 EDB ,從而得到tan EDB的值.【詳解】1證

9、明：連接OD,如圖,Q AD 平分 BAC , 12,QOA OD ,23,1 3,OD /AC ,Q AC BC,OD BC ,BC是e O的切線；2 解：在 RtVACB 中，AB <3 425，設(shè)e O的半徑為r,則OA OD r , OB 5 r ,QOD/AC ,VBDO sVBCA,OD : AC BO ： BA, 15 即 r： 35 r ： 5,解得 r 15 ,825"822-5在 RtVODB 中，BD VOB2 OD2 2CD BC BD 3, 2在 RtVACD 中，x d tan 13CD 萬(wàn) 1 ,AC 3 2Q AE為直徑，ADE 900，EDB

10、ADC 90°，Q 1 ADC 900,1 tan EDB .2本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.判定切線時(shí)連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或過(guò)圓心作這條 直線的垂線”；也考查了圓周角定理和解直角三角形.4.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,對(duì)角線AC為。的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5也 AD : DE=4 ： 1,求 DE 的長(zhǎng). A【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)、.5分析：(1)直接利用直角

11、三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長(zhǎng)，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,進(jìn) 而得出答案.詳解：(1)連接OD. OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。O 的直徑， / ADO/ EDC=90 °. 點(diǎn) F 為 CE的中點(diǎn)，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90°. DB平分 / ADC

12、,/ ADB=Z CDB, . Ab = ?C，BC=AB=52 -在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC設(shè) DE為 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x,-100=4x?5x, . =75, -DE=75 .AJ F C點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出ac2=ad?ae是解題的關(guān)鍵.5.已知：AB是。0直徑，C是。0外一點(diǎn)，連接BC交。0于點(diǎn)D, BD=CD連接AD、AC.(1)如圖 1,求證：/BAD=/ CAD(2

13、)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF± AB于點(diǎn)F交。0于點(diǎn)E延長(zhǎng)CF交。0于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)作EHL AG于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)K,求證AK=2OF；(3)如圖3,在(2)的條件下，EH交AD于點(diǎn)L,若0K=1,AC=CGJ：線段AL的長(zhǎng).圖1圖2圖3 12 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3） $、. 10【解析】試題分析：（1）由直徑所對(duì)的圓周角等于90°,得到/ADB=90°,再證明AB4 4ACD即可得到結(jié)論；（2）連接BE.由同弧所對(duì)的圓周角相等，得到/GAB=/BEG.再證 KF瞌 BFE得到BF=KF= 2BK.由OF=OB-BF, AK=ABBK,即可得到結(jié)論.(3)

14、連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAB=.先證CM垂直平分AG,得到AM=GM, / AGG/GCM=90°.再證 / GAF=/GCM = .通過(guò)證明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG,再證明 /BGC=/MCG=.設(shè) BF=KF=a, 可得 GF=2a, AF=4a.2由 OK=1,得至ij OF=a+1 , AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,得至U 3a+2=4a,解出 a 的值，得至U AF,HK 1AB, GF, FC的值.由tan a =tan HAK=AK=6,可以求出 AH的長(zhǎng).再由AH 21 一e ., tan GAF tan

15、BAD -tan BAD tan BCF ,利用公式 tan Z GAD=,得到31 tan GAF tan BADZ GAD=45 ；則AL= J2AH,即可得到結(jié)論.試題解析：解：(1) .AB 為。的直徑，ZADB=90°,Z ADC=90°. BD=CD, / BDA=Z CDA AD=AD,AABD ACD,/ BAD=Z CAD.(2)連接 BE. BG=BG , . . / GAB=/BEG. .CF± AB, ./KFE=90： .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AKH=/EKF,Z HAK=ZKEF=Z BEF. . FE=FE,

16、 Z KFE=Z BFE=90 ； .-.KFEABF . BF=KF=, BK. OF=OB-BF, AK=AB-BK,AK=2OF.E D(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAB=. . AC=CG, 點(diǎn)C在AG的垂直平分線上.1 OA=OG,點(diǎn)O在AG的垂直平分線上, .CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, / AGO/GCM=90 ： .AFXCG,./AGC+/GAF =90/ GAF=/GCM = . AB 為。的直徑，Z AGB= 90 ,°/AGB=/CMG=90 : 1,.AB=AC=CG,AAGBACMG, . BG=GM= AG.2在 Rt

17、AGB 中，tan GAB tanGB 1AG 2 / AMC=Z AGB= 90 BG/ CM,/ BGC=Z MCG=BF設(shè) BF=KF=a, tan BGF tan GF1-,GF=2a, tan GAF tan 2GFAFAF=4a. OK=1, OF=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4a,.a=2, AK=6, .,.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6. HK1. tan a =tanHAK= 設(shè) KH=m ,貝U AH=2m , . AK= Jm2AH 21(2

18、m)2 =6,解得:m="5 . AH=2m=12遍.在 RBFC中,tan BCFBFFC / BAD+ / ABD=90 °, / FBC+ / BCF=90tan BADtanBCF1, . tan / GAD=3tan GAF tanBAD1 tan GAF tan BAD1 111112 3/ GAD=45；.1.HL=AH,al=V2ah=皿.56.如圖，AB是圓O的直徑，射線 AMAB,點(diǎn)D在AM上，連接OD交圓O于點(diǎn)E,過(guò) 點(diǎn)D作DC=DA交圓O于點(diǎn)C （A、C不重合），連接 OC、BC CE(1)求證：CD是。的切線；(2)若圓O的直徑等于2,填空： 當(dāng)A

19、D=時(shí)，四邊形 OADC是正方形; 當(dāng)AD=時(shí)，四邊形 OECB是菱形.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)1 ; Q【解析】試題分析：(1)依據(jù)SSS證明OADOCD,從而得到Z OCD=Z OAD=90；(2) 依據(jù)正方形的四條邊都相等可知AD=OA;依據(jù)菱形的性質(zhì)得到 OE=CE則4EOC為等邊三角形，則 Z CEO=6O°,依據(jù)平行線的性 質(zhì)可知/ DOA=60 ,利用特殊銳角三角函數(shù)可求得AD的長(zhǎng).試題解析：解： AMXAB,/ OAD=9O :1 . OA=OC, OD=OD, AD=DC,2 .OADAOCD,/ OCD=Z OAD=9O :OCX CD,.CD是。O的切線.(

20、2)二.當(dāng)四邊形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案為：1.二.四邊形OECB是菱形，.OE=CE又. OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=6O°.1. CE/ AB,/ AOD=6O :在 RtA OAD 中,/ AOD=6O , AO=1, AD=.故答案為：M.點(diǎn)睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.7.如圖1,四邊形ABCD為。O內(nèi)接四邊形，連接 AC CO、BO,點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn).(1)求證：/ DAC=Z ACO+/ ABO；(2)如圖2,點(diǎn)E在

21、OC上，連接 EB,延長(zhǎng) CO交AB于點(diǎn)F,若/ DAB=/ OBA+Z EBA 求證：EF=EB（3）在（2）的條件下，如圖 3,若OE+EB=AB CE=2 AB=13,求AD的長(zhǎng).圖1圖2圄3【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） AD=7.【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接 OA,只要證明/CAB=/ 1 + /2=/ACO+/ABO,由點(diǎn)C是?D 中點(diǎn)，推出 CD CB ,推出 /BAC=/DAC,即可推出 /DAC=/ACO+/ABO；（2）想辦法證明/EFB± EBF即可；（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn) O作OHU AB,垂足為 H,延長(zhǎng)BE交HO的延長(zhǎng)線于 G,

22、作BNXCF于N,作Ch AD于K,連接OA/CT/ LAB于T.首先證明EFB是等邊三角形，再證 明 AC償 ACT, RtA DK（ RtA BTC；延長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；試題解析：（1）如圖1中，連接OA,.OA=OC,. OA=OB, uuur丁點(diǎn)C是BDZ1 = Z ACO,Z2=Z ABO,/ CAB=Z 1+/ 2=/ ACO+Z ABO,uuir uuuu中點(diǎn)， CD CB，-1 / BAC=Z dac,/ DAC=Z ACO+Z ABO.卻（2）如圖2中, / BAD=Z BAC+Z DAC=2/ CAB, / COB=2/ BAC,/ BAD=Z BOC, / DAB=Z OB

23、A+Z EBA,. / BOC=Z OBA+Z EBA,/ EFB=Z EBF,EF=EB（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn) O作OH, AB,垂足為 H,延長(zhǎng)BE交HO的延長(zhǎng)線于 G,作BNXCF于N,作 Ch AD于K,連接 OA.彳CT/ LAB于T. / EBA+/ G=90 ； C CFB+A HOF=90 ； / EFB=Z EBF,/ G=/ HOF, / HOF=Z EOG,/ G=Z EOG,. EG=EQ .OHXAB,AB=2HB, . OE+EB=AB GE+EB=2HB，GB=2HB,HB 1 cosZ GBA= -,，/GBA=60 ,GB 2 .EFB是等邊三角形，設(shè) HF=a

24、, / FOH=30 ,° OF=2FH=2a13 .AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a-,2 . OEEF- OFFB- OF a, OBOCOE+EC a+2 a, “EEFa+旦1a+13) =1332a，224 .ON=OE=EN=( 13 - a)2 ，BO2- ON2=EB2- EN2,17、2(a) 221313、(a+)22)2,24解得a=3或-10 (舍棄)22 .OE=5, EB8, OB7,3 / KZ ATC90 ； K KACZ TACAC=AQAACKAACT, . CK=CT AK=AT,uur uuu.CD CB，DC=BCRtA DKG

25、RtA BTC； . . DK=BT,. FT-1 FC-5,DKTB=FB- FT3,AKAT=AB- TB10,AD-AK- DK10- 37.28.如圖，AN是。M的直徑，NB/x軸，AB交。M于點(diǎn)C.(1)若點(diǎn) A (0, 6) , N (0, 2) , /ABN=30,求點(diǎn) B 的坐標(biāo);(2)若D為線段NB的中點(diǎn)，求證：直線 CD是。M的切A 0萬(wàn)【答案】（1） B （q收,2） . （2）證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）在RtA ABN中，求出AN、AB即可解決問(wèn)題; （2）連接MC, NC.只要證明/MCD=9°0即可試題解析：（1） :人的坐標(biāo)為（0, 6） ,

26、N （0, 2）,.AN=4, / ABN=30 ； / ANB=90 ；.AB=2AN=8,，由勾股定理可知：NB=J 加工二4曲,B（4我，2）.（2）連接 MC, NC,. AN是。M的直徑，/ ACN=90 ；/ NCB=90 ；在RtNCB中，D為NB的中點(diǎn)，八1.CD= NB=ND,2/ CND=Z NCD,1 . MC=MN ,2 / MCN=/ M3 / MNC+Z CND=90 ；4 / MCN+Z NCD=90 ； 即 MCCD.5 直線CD是。M的切線.考點(diǎn)：切線的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).(1)請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出 OP,使圓心P在AC邊上，且與 AB, BC兩邊都相切(保留

27、作圖 痕跡，不寫(xiě)作法和證明).(2)若/B=60°, AB=3,求。P 的面積.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2) 3?！窘馕觥俊痉治觥?1)與AB、BC兩邊都相切.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知要作/ABC的角平分線，角平分線與AC的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置.(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和 30。角的直角三角形的性質(zhì)可求半徑，然后求圓的面積.【詳解】解：(1)如圖所示，則OP為所求作的圓.(2) / ABC=60 , BP平分 / ABC,/ ABP=30 ,° / A=90 ;B BP=2APRtAABP 中,AB=3,由勾股定理可得：AP=J3,，S3p=3 % 10.已知：如圖，在四邊

28、形 ABCD中，AD/BC.點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，AE與BE分別為 /DAB和/CBA的平分線.（1）請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ,使得四邊形 ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié) 論；（2）作線段AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)O,并以AB為直徑作OO （要求：尺規(guī)作圖，保 留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（3）在（2）的條件下，。交邊AD于點(diǎn)F,連接BF,交AE于點(diǎn)G,若AE=4,【答案】（1）當(dāng)AD=BC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；（2）作出相應(yīng)的圖形見(jiàn)解析；（3）圓。的半徑為2.5.【解析】分析：（1）添加條件AD=BC,利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗(yàn)證即可；（2）作出相應(yīng)的

29、圖形，如圖所示；（3）由平行四邊形的對(duì)邊平行得到AD與BC平行，可得同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，再由AE與BE為角平分線，可得出 AE與BE垂直，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，可得出兩銳角互余，根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到/AGF=/ AEB,根據(jù)sin/AGF的值，確定出sin/AEB的值，求出AB的長(zhǎng)，即可確定出圓的半徑.詳解：（1）當(dāng)AD=BC時(shí)，四邊形 ABCD是平行四邊形，理由為：證明：AD/ BC, AD=BG四邊形ABCD為平行四邊形；故答案為：AD=BC；（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；(3) AD / BC, / DAB+/ CBA=180 ,°. AE與BE

30、分另1J為/ DAB與/CBA的平分線, / EAB+/ EBA=90 ,°/ AEB=90 ；.AB為圓O的直徑，點(diǎn)F在圓。上，/ AFB=90 ,° / FAG+Z FGA=90 ； . AE 平分 / DAB,Z FAG=Z EAB,/ AGF=Z ABE,4 AE- sin Z ABE=SinZ AGF=- ,5 AB.AE=4,.AB=5,則圓O的半徑為2.5.點(diǎn)睛：此題屬于圓綜合題，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，角平 分線性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.11.如圖，4ABC中，/ACB= 90°,

31、 /A=30°, AB=6. D是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，OD與AB相切，切點(diǎn)為 E, OD交時(shí)線,DC于點(diǎn)F,過(guò)F作FG± EF交克線,BC于 點(diǎn)G,設(shè)。D的半徑為r.(1)求證 AE= EF;(3)當(dāng)點(diǎn)G落在。D內(nèi)部時(shí)，直接寫(xiě)出r的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)解析，(2)r=、.3,(3) %3 r(2)當(dāng)。D與直線BC相切時(shí)，求r的值;6.35【分析】(1)連接 DE,貝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFE 貝U / DEF=Z DFE=30 = /A, 即可求解；(2)如圖2所示，連接 DE,當(dāng)圓與BC相切時(shí)，切點(diǎn)為 F

32、, /A=30°, AB=6,則BF=3,AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分點(diǎn)F在線段AC上、點(diǎn)F在線段AC的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別求解即可.【詳解】FC 3.3 3r, GC 、3fC 9 3.3r當(dāng)點(diǎn)F在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 4所示，連接DE、DG,解：設(shè)圓的半徑為r；(1)連接 DE,貝U / ADE=60 =/ DEF+-Z DFE,而 / DEF=Z DFE,貝U / DEF=Z DFE=30 = / A, .AE=EF(2)如圖2所示，連接DE,當(dāng)圓與BC相切時(shí)，切點(diǎn)為 FZA=30 ； AB=6,則 BF=3, AD=2r,由勾股定理得：(3r) 2+9=

33、36,解得：r= J3 ；(3)當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，如圖3所示，連接DE、DG,FFC 3.3 3r, GC 3FC 3.3r 9兩種情況下GC符號(hào)相反，GC2相同， 由勾股定理得：DG2=CD2+CC2,點(diǎn)G在圓的內(nèi)部，故： DG2vr2,即：(3 3 2r)2 (3. 3r 9)2 r2整理得：5r2 11.3r 18 0解得：3 r 6-5【點(diǎn)睛】 本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng).12. AB是。直徑，在AB的異側(cè)分別有定點(diǎn) C和動(dòng)點(diǎn)P,如圖所示，點(diǎn) P在半圓弧 AB上運(yùn)動(dòng)(不與 A、B重合)，過(guò)C作CP的垂線CD ,交PB的延長(zhǎng)線于D ,已

34、知 AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求證：AC CD = PC BC ;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧的中點(diǎn)時(shí)，求 CD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PCD的面積最大？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最大面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) CD=14Y2； (3)當(dāng)PC為。直徑時(shí)，4PCD的最大面積50.3【解析】【分析】(1)由圓周角定理可得 / PCD=/ ACB=90,可證ABJPCD,可得CP證.AC BC，即可得CD(2)由題意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求PE的長(zhǎng),即可得PC的長(zhǎng)，由AC?CD=PC?BCT求CD的值;(3)當(dāng)點(diǎn)P在Ab

35、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Svpcd1 , 4 PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得23一1 一4一2.2Svpcd PCPCPC ,當(dāng)PC取大時(shí)， PCD的面積取大，而 PC為直徑時(shí)取233大，故可求解.【詳解】證明：(1). AB為直徑，/ ACB=90 ° PCX CD,/ PCD=90 °/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB .ABCAPCD.AC BCCP CD .AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90°.BC=4, AC=3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn) B作BEX PC于點(diǎn)E.點(diǎn)P是Ab的中點(diǎn)，

36、/ PCB=45 ；且 BC=4八2-.-.CE=BE=2 BC=2 2 / CAB=Z CPBBCtanZ CAB=AC. PE=3.2PE=4 ,=tan / CAB= 3BEPEPC=PE+CE= 3-2 +2 2 = 7-2-SaPCD= PC24PC = 2PC2,當(dāng)PC最大時(shí), PCD的面積最大,2.AC?CD=PC?BC八7 ,5 .-.3>CD= 1-X4214 2CD=31(3)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Sapcd= - >PC>CD, 2由（1）可得：CD= 4 PC32 2 50當(dāng)PC為。直徑時(shí)， PCD的最大面積=-x2=圓的有關(guān)知識(shí)，銳角三角函數(shù)，求【點(diǎn)

37、睛】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì), 出PC的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.連結(jié)CB.感知如圖，點(diǎn)A、B在CD同側(cè)，且點(diǎn) B在AC右側(cè)，在射線 AM上截取AE= BD,連結(jié)CE,可證ABCgAECA從而得出 EC= BC, Z ECB= 90°,進(jìn)而得出Z ABC=探究如圖，當(dāng)點(diǎn)A、B在CD異側(cè)時(shí)，感知得出的/ABC的大小是否改變？若不改 變，給出證明；若改變，請(qǐng)求出 /ABC的大小.應(yīng)用在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng) /BC4 30。，BD=、Z時(shí)，直接寫(xiě)出BC的長(zhǎng).【答案】【感知】：45;【探究】：不改變，理由詳見(jiàn)解析；【拓展】： BC的長(zhǎng)為+1 或7?-1. 【解析】 【分

38、析】 感知證明BC*ECA (SAS 即可解決問(wèn)題；探究結(jié)論不變，證明 BCDECA (SAS 即可解決問(wèn)題;應(yīng)用分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題.【詳解】AM上截取 AE= BD,連結(jié) CE / CDB4/ CAB= 180 ； / CA中 / CAE= 180 °/ D= / CAECD= AC, AE= BD,.,.BCDAECA (SAS , BC= EC, / BCD= / ECA / ACEfZECD= 90 °, / ECDfZ DCB= 90 ;即 / ECB= 90°,/ ABC= 45 :故答案為45【探究】不改變.理由如下：如圖，如圖中，在射線

39、 AN上截取 AE= BD,連接CE,設(shè)MN與CD交于點(diǎn) O.,. ACa DC, DBXMN, / ACD= ZDBA= 90 ; / AGO / DOB, ./D=/EAC CD= AC, .,.BCDAECA (SAS ,BC= EC, / BCD= / ECA / ACEfZECD= 90 °, / ECDfZ DCB= 90 °,即 / ECB= 90°,/ ABC= 45 :【拓展】如圖-1中，連接AD. / ACD+ZABD=180 ； .A, C, D, B四點(diǎn)共圓，/ DAB= / DCB= 30 ;.AB= VBD=x.f>,.EB=AE

40、+AB= UM,ECB是等腰直角三角形，EB BC =、 + I J£如圖中，同法可得 BC= 2 - 1 綜上所述，BC的長(zhǎng)為k'?+1或爐-1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬 于中考?jí)狠S題.14.如圖，4R是大半圓門(mén)的直徑，口仃是小半圓|M的直徑，點(diǎn)耳是大半圓"上一點(diǎn)，P4與小 半圓M交于點(diǎn)q,過(guò)點(diǎn)C作。力1 0P于點(diǎn)D|.(1)求證：。門(mén)是小半圓M的切線；(2)若融=可，點(diǎn)P在。上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與兒兩點(diǎn)重合)，設(shè)PD = x,CD

41、2 = y. 求，與，之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量卜的取值范圍；當(dāng)時(shí)，求P,M兩點(diǎn)之間的距離.A M OB【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)y二P,M兩點(diǎn)之間的距離為 勺3 或八胃.【解析】【分析】(1)連接CQ CM,只需證到 CD1 CM.由于CD1OP,只需證到 CM/ OP,只需證到 CM 是 AOP的中位線即可.(2)易證ODA4CDP,從而得到CD2=DP?OD,進(jìn)而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式.由于當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)x=0,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)x=4,點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與A, B兩點(diǎn)重合)，因此自變量 x的取值范圍為0vxv4.當(dāng)y=3時(shí)，得到-x2+4x=3,求出x.根據(jù)x的值可求出CD PD的值，從而求出/ CPD, 運(yùn)用勾股定理等知識(shí)就可求出P, M兩點(diǎn)之間的距離.【詳解】(1)連接如圖1所示.4。是小半圓M的直徑，b"0 = 90%C01即OA = OPAC=PCAM=OMLMCD =上PD。1)F'D . . "j. C"!叫.|ZPDC = 9O0止:"叱,即 E經(jīng)過(guò)半徑0M的外端，且CD LCM，直線0D是小半圓盟的切線.(2).CO LAP, CD 1 OP,網(wǎng) CP = £ODC = ZCDP = 90。