2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合附答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)一一初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合附答案一、旋轉(zhuǎn)1 .如圖 1,在 RtABC中，/ACB= 90°, AC= BC.點 D、E分別在 AC BC邊上，DC=EC 連接 DE、AE、BD.點 M、N、P分別是 AE、BD> AB 的中點，連接 PM、PN、MN.b cR C E R圉1圖2曾用圖(1) PM與BE的數(shù)量關(guān)系是 , BE與MN的數(shù)量關(guān)系是 .(2)將4DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖 2的位置，判斷(1)中BE與MN的數(shù)量關(guān)系結(jié)論 是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；(3)若CB= 6. CE= 2,在將圖1中的4

2、DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周白過程中，當(dāng) B、E、D三點在一條直線上時，求 MN的長度.1【答案】(1) PM -BE, BE J2MN ; (2)成立，理由見解析；(3) MN= 后- 21或折+1【解析】【分析】(1)如圖1中，只要證明VPMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線定理即可解決問題；(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立，連接 AD、延長BE交AD于點H .由VECB VDCA ,推出BE AD , DAC EBC ,即可推出BH AD ,由M、N、P分另U AE、1 1BD、AB 的中點，推出 PM /BE, PM BE, PN/AD , PN AD ,推出2 2PM PN , MP

3、N 90 ,可得 BE 2PM 2 MN V2MN ;2(3)有兩種情形分別求解即可 .【詳解】(1)如圖1中，卻. AM = ME, AP= PB,1 PM / BE, PM -BE , 2. BN=DN, AP=PB,1 .PN/AD, PN AD, 2 . AC= BC, CD= CE,.AD= BE,.PM = PN, / ACB= 90 °,.-.AC± BC, . PM/BC, PN/ AC, PMXPN, PMN的等腰直角三角形，MN 72PM， MN , 2 1BE , 2BE . 2MN，1故答案為PM -BE , BE友MN 2(2)如圖2中，結(jié)論仍然成

4、立.C3圖2理由：連接AD、延長BE交AD于點H. ABC和 CDE是等腰直角三角形，.CD= CE, CA= CB, /ACB=/DCE= 90 °, / ACB- / ACE= / DCE- / ACE/ ACD= / ECB.ECBDCA,.BE=AD, /DAC=/EBC Z AHB=180 - (/HAB+/ABH)= 180°- (45 +Z HAC+ZABH)= /180°- ( 45° + /HBG/ABH)= 180° -90°= 90°,.BHAD,M、N、P分別為AE、BD、AB的中點,11 .PM/B

5、E, PM BE, PN/AD, PN AD, 22.PM = PN, /MPN=90； BE 2PM 2 MN 72MN . 2(3)如圖3中，作CG，BD于G,則CG GE DG J2,S3當(dāng)D、E B共線時,在 RtABCG中，bg Jbc2 cg2 Jo2 722 幅,BE BG GE MN j BE2如圖4中，作CG± BD于G,則CG GE DG J2,圖4當(dāng)D、E B共線時,在 RtABCG中，bg Jbc2 cg2 )62 近 2 734,BE BG GE2 MN BE2綜上所述，MN= JT7 - 1或J17+1.【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形

6、的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾 股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問 題，屬于中考壓軸題.2.已知正方形 ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF，BD交BC于F,連接DF, G 為DF中點，連接EG CG求證：EG=CG；(2)將圖中4BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖 所示，取DF中點G連接EGCG問中的 結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)將圖中4BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是 否仍然成立？通過觀察你還能彳#出什么結(jié)論(均不要求證明).(2) ( 1)中結(jié)

7、論沒有發(fā)生變化，即EG=CG證明：連接 AG,過G點作MN XAD于M,與EF的延長線交于 N點.在4DAG與4DCG中， AD=CD, /ADG=/CDG, DG=DG, DAGDCGAG=CG在4DMG與4FNG中， /DGM=/FGN, FG=DG / MDG=/NFG, ADMGAFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在 RtAAMG 與 RtENG 中， AM=EN, MG=NG,AAMGA ENG.AG=EGEG=CG(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.圖才【解析】試題分析：(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出 CG=EG(2)結(jié)論仍然成立，連接 AG,過G

8、點作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點；再證明DAG2 4DCG,得出 AG=CG 再證出 DMGFNG,得到 MG=NG;再證明 AMGAENG,得出 AG=EG 最后證出 CG=EG(3)結(jié)論依然成立.還知道 EG± CG;試題解析：解：(1)證明：在RtA FCD中，.G為DF的中點,.CG=-FD同理，在 RtDEF中，EG = -FD ,2.CG=EQ(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即 EG=CG連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于 N點，如圖所示:s弋在4DAG與4DCG中，1 . AD=CD, /ADG=/ CDG, DC=DC2 .DAGADCG,3

9、 .AG=CG,在4DMG與4FNG中，4 / DGM=/ FGN, DG=FG / MDG=/ NFG,5 .DMGAFNG,.MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN.,在 RtAAMG 與 RtENG 中，6 . AM=EN, MG=NG,7 .AMGAENG,.AG=EG,EG=CG(3) ( 1)中的結(jié)論仍然成立，即 EG=CG且EG±CG過F作CD的平行線并延長 CG交于M點，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N,如圖 所示：由于G為FD中點，易證 CDGWMFG,得到 CD=FM,又因為 BE=EF 易證 /EFM=/ EBC,貝U EFM EBC / FEM=/

10、BEC EM=EC / FEE BEC=90,° / FEE FEM=90 ；即 / MEC=90 ； MEC是等腰直角三角形，.G為CM中點，EG=CG EG± CG?！军c睛】本題解題關(guān)鍵是作出輔助線，且利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大。3.兩塊等腰直角三角板 ABC和 DEC如圖擺放，其中 /ACB=/ DCE=90°, F是DE的中 點，H是AE的中點，G是BD的中點.(1)如圖1,若點D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想 FH和FG的 數(shù)量關(guān)系為 和位置關(guān)系為;(2)如圖2,若將三角板

11、DEC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)至 ACE在一條直線上時，其余條件均 不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；(3)如圖3,將圖1中的4DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖 3, (1)中的猜想還 成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明.【答案】（1）相等，垂直.D（2）成立，證明見解析；（3）成立，結(jié)論是FH=FG,FHXFG.1FG= BE,2【解析】試題分析：（1）證AD=BE根據(jù)三角形的中位線推出FH=1AD, FH/ AD,2FG/ BE,即可推出答案；（2）證 AC* BCE,推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；（3）連接BE、AD,根據(jù)全等推出 AD

12、=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案. 試題解析：(1)解：CE=CD AC=BC /ECA=/ DCB=90 ,BE=AD,F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點,.FH=1AD, FH/ AD, FG=1 BE, FG/ BE,22.FH=FG.ADXBE,FHXFG,故答案為相等，垂直.(2)答：成立，證明： CE=CD / ECD=Z ACD=90 , AC=BC.ACDABCE .AD=BE,由(1)知：FH=1 AD, FH/ AD, FG=1 BE, FG/ BE, 22.FH=FG FHI± FG,，（1）中的猜想還成立.E(3)答：成立，結(jié)論是 FH=

13、FG, Fhl± FG. 連接AD, BE,兩線交于 Z, AD交BC于X, 同(1)可證.FH=-AD, FH/ AD, FG=1 BE, FG/ BE, 221 三角形ECD ACB是等腰直角三角形，2 . CE=CD AC=BC / ECD叱 ACB=90 ；/ ACD=Z BCE在 ACD和ABCE中AC=BCACD= BCE , CE=CD3 .ACDABCE.AD=BE, /EBC4 DAC,4 / DAC+/ CXA=90 , ° / CXA=Z DXB,5 / DXB+Z EBC=90,°/ EZA=180 °90 =90 ；即 AD&#

14、177; BE,1. FH/ AD, FG/ BE,FHXFG,即 FH=FG FH± FG, 結(jié)論是 FH=FG FHXFG.【點睛】運用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定 理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān) 鍵.4.如圖1,在銳角 4ABC中，/ABC=45°,高線 AD、BE相交于點 F.(1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)如圖2,將4ACD沿線段AD對折，點C落在BD上的點M, AM與BE相交于點N, 當(dāng)DE/ AM時，判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.【答案】(1) BF=AC理

15、由見解析；(2) NEAC,理由見解析.2【解析】試題分析：(1)如圖1,證明AADCABDF (AAS),可得BF=AC(2)如圖2,由折疊得：MD=DC,先根據(jù)三角形中位線的推論可得：AE=EC由線段垂直平分線的性質(zhì)得： AB=BC貝U /ABE=/ CBE 結(jié)合(1)得：BDF0ADM,貝U1 -/DBF=/ MAD,最后證明 /ANE=/ NAE=45 ,彳# AE=EN 所以 EN= AC.試題解析：(1) BF=AC理由是：如圖 1,AD± BC, BEX AC, ./ADB=/ AEF=90 , ° / ABC=45 ；.ABD是等腰直角三角形， AD=BD,

16、 / AFE=Z BFD, / DAC=Z EBC在 ADC和4BDF中，DAC DBFADC BDF, AD BD .ADCABDF (AAS), BF=AC(2) NE=1aC,理由是： 2如圖2,由折疊得： MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC .BEXAC, .AB=BC,/ ABE=Z CBE, J由(1)得：AADCABDF,.ADCAADM,.-.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 / ABE=Z - BAN, / ANE=Z ABE+Z BAN=2/ ABE,/ NAE=

17、2/ NAD=2/ CBE/ ANE=Z NAE=45 ；.AE=EN,1.EN=-AC.25. (12分)如圖1,在等邊 4ABC中，點D, E分別在邊 AB, AC上，AD=AE,連接BE,CD,點M、N、P分別是BE CD BC的中點.1中，4PMN的形狀是 ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置， PMN的形狀是否發(fā)生AD=1, AB=3,請直接寫出PMN(1)觀察猜想：圖(2)探究證明：把 改變？并說明理由；(3)拓展延伸：把 的周長的最大值.圉1(1)等邊三角形; ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若(2) APMN的形狀不發(fā)生改變,仍然為等邊三角形，理由見解析;(3) 6【解析】分析

18、：(BD=CE,再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PM/CE, PM=-CE, PN/AD, PN=- BD,從而得到1)如圖1,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC, ZABC=ZACB=60°,PM=PN, /MPN=60°,從而可判斷 4PMN為等邊三角形；60。可得到(2)連接CE BD,如圖2,先利用旋轉(zhuǎn)的定義，把 4ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) CAE,貝U BD=CE, /ABD=/ACE 與(1) 一樣可得 PM=PN, / BPM=/ BCE, /CPN=/CBD,則計算出 / BPM+/CPN=120 從而得至ij / MPN=60 ；于是可判斷 PMN為 等邊三角形.

19、(3)利用AB- AD由D系B+AD (當(dāng)且僅當(dāng)點 B、A、D共線時取等號)得到 BD的最大值 為4,則PN的最大值為2,然后可確定4PMN的周長的最大值.詳解：（1）如圖1. 4ABC為等邊三角形，AB=AC, Z ABC=Z ACB=60 °. AD=AE, .1. BD=CE點M、N、P分別是BE、CD BC的中點， .PM/CE, PM = 1CE） PN/AD, PN=BD, 22.PM=PN, / BPM=/BCA=60 ； Z CPN=ZCBA=60 ；/ MPN=60 ； APMN 為等邊三角形；故答案為等邊三角形；（2） APMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形.

20、理由如下：連接CE BD,如圖2. AB=AC, AE=AD, Z BAC=Z DAE=60 °,.把 ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60可得到 CAE,.BD=CE, /ABD=/ACE與（1） 一樣可得 PM/CE, PM = 1cE, PN/ AD, PN=1BD, 22.PM=PN, /BPM=/BCE, ZCPN=ZCBD, / BPM+Z CPN=Z CBD+Z CBD=ZABC- / ABD+Z ACBZ ACE=60 +60 = 120 ；/ MPN=60 ； APMN 為等邊三角形.（3） PN=；BD, .當(dāng)BD的值最大時，PN的值最大.,AB- AD<BDqB+A

21、D （當(dāng)且僅當(dāng)點 B、A、D共線時取等號）.BD的最大值為1+3=4,，PN的最大值為2, .PMN的周長的最大值為 6.點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線 段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和三角 形中位線性質(zhì).6.小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是： 對折矩形紙片 ABCD(AB>BC)使AB與DC重合，得到折痕 EF,把紙片展平； 沿折痕BG折疊紙片，使點 C落在EF上的點P 處，再折出PB、PC,最后用筆畫出 4PBC圖1).11fi m(1)求證：圖1中的/iPBC是正三角形：(2)如圖2,小

22、明在矩形紙片 HIJK上又畫了一個正三角形 IMN,其中IJ=6cm, 且 HM=JN.求證：IH=IJ請求出NJ的長；(3)小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm,當(dāng)另一邊的長度 a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同.請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示 意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應(yīng)的 a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；12 -6J3 (3) 3j3vav4j3, a>4 .3【解析】分析：(1)由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC PB=CB得出PB=PC=CEHP可；(2) 利用"Hlffi

23、 RtIHMRtIJN即可得；IJ上取一點Q,使QI=QN,由RtA IHMRtIJN知/HIM=/JIN=15 :繼而可得 Z NQJ=30°,設(shè) NJ=x,貝U IQ=QN=2x、QJ=J3x,根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；(3)由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計算，畫出圖形即可.(1)證明：二, 對折矩形紙片 ABCD(AB>BC)使AB與DC重合，得到折痕 EF .PB=PC沿折痕BG折疊紙片，使點 C落在EF上的點P處 .PB=BC PB=PC=BC.PBC是正三角形：(2)證明：如圖 M K.矩形AHIJ/ H=Z J=90 ° MN

24、J是等邊三角形.MI=NI在 RtAMHI 和 RJNI 中MI NIMH NJRtAMHIRtAJNI (HL).HI=IJ 在線段IJ上取點Q,使IQ=NQU U A Tf*=1Q RtA IHMRtAIJN,/ HIM=Z JIN, / HIJ=90、/ MIN=60 ；/ HIM=Z JIN=15 , °由 QI=QN 知 / JIN=/ QNI=15 ,/ NQJ=30 ,°設(shè) NJ=x,則 IQ=QN=2x, QJ= QN2 NJ 2 = . 3 x,IJ=6cm,2x+ . 3 x=6,. x=12-6>/3,即 NJ=12-6>/3 (cm).(

25、3)分三種情況：設(shè)等邊三角形的邊長為b,則0vbw。則 tan60 =3b a2.0<b<63-=3/3 ;2如圖當(dāng)DF與DC重合時，DF=DE=6 a=sin60 x DE=" = 3顯,2當(dāng)DE與DA重合時，a=sin60 373 <a< 4乖；o/ FDC=306DF= cos306= 4、.3、32，a>4 依點睛：本題是四邊形的綜合題目,考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性 強(qiáng)，難度較大.7.如圖（1）所示，將一個腰長為 2等腰直角 BCD和直角邊長為2、

26、寬為1的直角4CED 拼在一起.現(xiàn)將 4CED繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至 ACE D'旋轉(zhuǎn)角為a.（1）如圖（2）,旋轉(zhuǎn)角a=30°時，點D'到CD邊的距離DA=.求證：四邊形 ACED' 為矩形；（2）如圖（1） , 4CED繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，在BC上如何取點G,使得GD=E' p并說明理由.(3) 4CED繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，/CE =90。時，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值.【答案】1 【解析】 分析：(1)過D作DN，CD于N.由30°所對直角邊等于斜邊的一半即可得結(jié)論.由D'A/ CE且D'A=CE=1,得到四邊

27、形 ACED為平行四邊形.根據(jù)有一個角為90°的平行四邊形是矩形，即可得出結(jié)論；(2)取BC中點即為點G,連接GD'.易證DCE'D'CG,由全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論.(3)分兩種情況討論即可.詳解：(1) D'A=1.理由如下：過 D作 DNXCDT N. /NCD' =30 cD' CD=2, ND' 1 CD'= 12由已知，D'A/ CE,且 D'A=CE=1,四邊形ACED為平行四邊形.又 / DCE=90°,四邊形ACED為矩形；(2)如圖，取 BC中點即為點 G,連接GD

28、'. / DCE=/D'CE' =90 / DCE £ DCG.又.D'C= DC, CG=CE', .,.DCADCG,.GD' E'D.(3)分兩種情況討論：如圖1 . / CED=90 ； CD=2, CE' =1.1. / CDE =30、 =/ECE =180° +30° .=210° 如圖2,同理可得/E'CE=30°, .旋轉(zhuǎn)角=360 e/ ECD=60 ；/ ECB=30 ； 旋轉(zhuǎn)角-30 =330 °.iD點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩

29、圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對 應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.8.如圖1, 4ACR 4AED都為等腰直角三角形，/ AED=/ ACB=90°,點D在AB上，連CE, M、N分別為BD、CE的中點.(1)求證：MNXCE;(2)如圖2將4AED繞A點逆時針旋轉(zhuǎn) 30°,求證：CE=2MN.B圖1【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(DE ENCF CNDNNF求出DN=FN, FC=ED得出 MN是中位線，推出 MN / BF,證1)延長DN交AC于F,連BF,推出DE/ AC,推出EDNsCFN,推出 CAEBCF 推出(2

30、)延長DN到G,/ACE=Z CBF,求出/CBF+/ BCE=90；即可得出答案；使DN=GN,連接 CG,延長DE、CA交于點K,求出BG=2MN,證 CAEBCG,推出BG=CE即可得出答案.試題解析：(1)證明：延長 DN交AC于F,連BF,圖1. N為CE中點，.EN=CN,1 .ACB 和 AAED 是等腰直角三角形，/AED=/ ACB=90 ,° DE=AE AC=BC/ EAD=Z EDA=Z BAC=45 ；2 .DE/ AC,3 .EDNACFN,DEENDN一 ,CFCNNF4 .EN=NC,.DN=FN, FC=ED5 .MN是4BDF的中位線，MN / B

31、F,6 . AE=DE DE=CF7 .AE=CF8 Z EAD=Z BAC=45 ；9 / EAC玄 ACB=90 ；在ACAE和ABCF中，CA= BCCAE= BCF ,AE=CF10 .CAEABCF (SA§ ,11 / ACE玄 CBF,Z ACE-+Z BCE=90,°12 / CBF吆 BCE=90,°即 BF± CE,13 MN / BF,.-.MN ±CE(2)證明：延長 DN至IJG,使DN=GN,連接CG,延長DE、CA交于點K,. M為BD中點， .MN是ABDG的中位線, ，BG=2MN,在 EDN和？CGN中，DN

32、 = NGDNE= GNC ,EN = NC .EDN仁 CGN (SAS , DE=CG=AE / GCN=Z DEN, .DE/ CG, / KCG=Z CKE / CAE=45+30 +45 = 120 ；/ EAK=60 ,° / CKE4 KCG=30,°/ BCG=120,°在ACAE和ABCG中，AC=BC CAE= BCG , AE=CG .CAEABCG (SAS , BG=CE .BG=2MN,.CE=2MN.【點睛】考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，平行 線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.9.如圖1,

33、在RtAABC中，ZACB=90°, E是邊AC上任意一點(點 E與點A, C不重合)，以 CE為一直角邊作 RtA ECD /ECD=90,連接BE, AD.(1)若 CA=CB CE=CD猜想線段BE, AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論； 現(xiàn)將圖1中的RtECD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角 %得到圖2,請判斷 中的結(jié)論是否 仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(2)若CA=8,CB=6 CE=3, CD=4,ECD繞著點 C順時針轉(zhuǎn)銳角 ”，如圖3,連接BD,AE,計算加* +4爐的值.【答案】（1）BE=AD, BEX AD;見解析；（2） 125.【

34、解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD, BEX AD;設(shè)BE與AC的交點為點F, BE與AD的交點為點 G,根據(jù)/ ACB=Z ECD=90彳導(dǎo)出/ ACD=Z BCE然后結(jié)合 AC=BC CD=CE得出AC*4BCE 貝U AD=BE, / CAD=/ CBF,根據(jù) / BFC=/ AFG,/ BFC+Z CBE=90得出/ AFG+Z CAD=90 ,°從而說明垂直；首先根據(jù)題意得出 ACDABCEL,然后說明Z AGE=Z BGD=90°,最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線 段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案.試題解析：（1）解：BE=AD, BEX

35、ADBE=AD, BEX AD仍然成立證明：設(shè)BE與AC的交點為點F, BE與AD的交點為點G,如圖1. /ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ' AC=BC CD=CE. AC* BCE . AD=BE / CAD=/ CBF v / BFC=Z AFG / BFC+Z CBE=90 °，/ AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD（2）證明：設(shè)BE與AC的交點為點F, BE的延長線與 AD的交點為點 G,如圖2./ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ; AC=8, BC

36、=6, CE=3（ CD=4 ACgBCE/ CAD=Z CBE / BFC=Z AFG / BFC+Z CBE=90 / AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD/ AGE=/ BGD=90 °.AGBG = A + 閃=標(biāo).BD2 + AE2 = AB1 + ED1 = CA2 + CB2 + CD2 + CE2 - 125考點：三角形全等與相似、勾股定理.10.如圖1,在4ABC中，E、D分別為AB、AC上的點，且ED/BC,。為DC中點，連結(jié) EO并延長交BC的延長線于點 F,則有S四邊形ebcD=Saebf.（1）如圖2,在已

37、知銳角/AOB內(nèi)有一個定點P.過點P任意作一條直線 MN,分別交射 線OA、OB于點M、N.將直線MN繞著點P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線 MN滿足某個條 件時，AMON的面積存在最小值.直接寫出這個條件 ：.（2）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點 A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6,0）、（6, 3）、（勺工）、（4、2）,過點P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將 四邊形OABC分成兩個四邊形，求其中以點。為頂點的四邊形面積的最大值.【答案】（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點P是線段MN的中點時，AMON的面積最??；（2） 10. 【解析】試題分析：（1）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點 P是MN的中點時Sa

38、 mon最小，過點 M作MG/OB交EF 于G.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；（2） 如圖3 過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OG AB分別交于點M、N, 由（1）的結(jié)論知，當(dāng) PM=PN時，4MND的面積最小，此時四邊形 OANM的面積最大，S 四邊形 OANM=S OAD-S MND . 如圖3，過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊 CB、OA分別交M、N,利用S 四邊形ocmn=SaoctSzxmnT,進(jìn)而得出答案.試題解析：（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點P是線段MN的中點時，AMON的面積最小.如圖2,過點P的另一條直線 EF交OA、OB于點E、F,設(shè)PFv PE,過點M作M

39、G/OB交 EF于 G,可以得出當(dāng)P是MN的中點時 S四邊形 mofg=Samon.S 四邊形 mofgc Sa eof） /. Sa mon < S eoe當(dāng)點P是MN的中點時SA MON最小.(2)分兩種情況:如圖3過點P的直線l與四邊形 OABC的一組對邊 OC AB分別交于點 M、N. 延長OC、AB交于點D,易知AD = 6, Saoad= 18 .由(1)的結(jié)論知，當(dāng) PM=PN時，AMND的面積最小，此時四邊形OANM的面積最大.過點P、M分別作PRXOA, MM i±OA,垂足分別為Pi、Mi.由題意得 MiPi=PiA = 2,從而 OMi=MMi= 2,又

40、P(4,2), B(6,3) .PiA=MiPi="O" M i=PiP=2, MiM=OM=2 ,可證四邊形 MMiPiP 是正方形. .MN/OA, /MND=90 ； NM=4, DN=4,求得 Samnd=8.$四邊彩。入nh=所“楠麗=18-8=10.如圖3，過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊 CR OA分別交M、N. 延長CB交x軸于T點，由B、C的坐標(biāo)可得直線 BC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y =-x+9 . 則T點的坐標(biāo)為(9, 0).II 19 81由(i)的結(jié)論知：當(dāng)PM=PN時，MNY的面積最小，此時四邊形OCMN的面積最大.過點P、M點分別作PRO

41、A, MMiOA,垂足為Pi, Mi.從而 NPi=RMi, MM i=2PR=4.點 M 的橫坐標(biāo)為 5,點 P (4、2) , PiMi= NPi= i, TN =6.181133.C 2 c c _ _ T “ . Samnt= x 6x 4=,i2S四邊形 ocmn=Saoct-Smnt =-i2= Vi0.綜上所述：截得四邊形面積的最大值為io.圖泡圖3考點：i.線動旋轉(zhuǎn)問題；2.正方形的判定和性質(zhì)；3.圖形面積求法；4.分類思想的應(yīng)用ii .在4ABC中,AB=6,AC=BC=5各 ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到4ADE旋轉(zhuǎn)角為 a(0°< “V 180

42、6;)，點B的對應(yīng)點為點 D,點C的對應(yīng)點為點 E連接BD, BE.(1)如圖，當(dāng)a =60時，延長BE交AD于點F. 求證：4ABD是等邊三角形；求證：BF± AD, AF=DF；請直接寫出BE的長；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，過點D作DG垂直于直線 AB,垂足為點G,連接CE當(dāng)/ DAG=/ ACB且線 段DG與線段AE無公共點時，請直接寫出BE+CE勺值.【答案】(1) 詳見解析；3后-4; (2) 13.【解析】試題分析：(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知 AB=AD, /BAD=60即可得證；由BA=BD EA=ED根 據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證；分別求出BF、EF的長即可得；(2)由/ ACB+/ B

43、AC+Z ABC=180、° / DAG+Z DAE+Z BAE=180、° / DAG=Z ACR / DAE=Z BAM/ BAE=/BAC且 AE=AC 根據(jù)三線合一可得 CE! AB、 AC=S AH=3,繼而知 CE=2CH=8BE=5,即可得答案.試題解析：(1):ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn) 60°得到AADE, .AB=AD, /BAD=60；.ABD是等邊三角形；由得4ABD是等邊三角形，.AB=BD, ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn) 60得到 ADE, .AC=AE BC=DE又. AC=BCEA=EQ點B、E在AD的中垂線上, BE是AD的中垂線，

44、 點F在BE的延長線上， BFXAD, AF=DF; 由 知BFXAD, AF=DF .AF=DF=3, .AE=AC=5,EF=4,.在等邊三角形 ABD中，BF=AB?sinZ BAF=6£ =373,，BE=BF- EF=3右 -4;(2)如圖所示， / DAG=Z ACB, / DAE=Z BAG, / ACB+/ BAC+Z ABC=Z DAG+Z DAE+Z ABC=180 ,又 / DAG+Z DAE+/ BAE=180 ,Z BAE=Z ABC, .AC=BC=AEZ BAC=Z ABC,Z BAE=Z BAC, 1- ABXCEL,且 CH=HEaCE, .AC=B

45、C,1 .AH=BH=. AB=3,貝U CE=2CH=8 BE=5,.BE+CE=13考點：三角形綜合題.12.如圖1 ,正方形 ABCD與正方形 AEFG的邊AB、AE (ABvAE)在一條直線上，正方形 AEFG以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為1ff在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE、DG.(1)當(dāng)正方形 AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時，求證： BE=DG(2)當(dāng)點C在直線BE上時，連接FC,直接寫出/FCD的度數(shù)；(3)如圖3,如果療=45°, AB =2, AE=V，?,求點G至U BE的距離.16V5【答案】（1）證明見解析；（2）

46、45?；?35。； （3）$【解析】 試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 AB=AD, AE=AG, Z BAD=Z EAG=90 ,再求出 / BAE=Z DAG,然后利用 邊角邊”證明 ABE和4ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等 證明即可.（2）當(dāng)點C在直線BE上時，可知點E與C重合或G點C與重合，據(jù)此求解即可.1 1 15 A BEG = 5匹AEG =亦正方用7占FG =16 隆能居RE h=/ 2木X = 16根據(jù)2和 22 yl求解 即可.試題解析：（1）如圖2,二四邊形ABCD是正方形，AB=AD, / BAE+/ EAD=90 .四邊形 AEFG是正方形，AE=AG, /

47、 EAD+Z DAG=90 : / BAE=Z DAG.ABEAADG （SAS .BE=DG.（2）如圖，當(dāng)點 C在直線BE上時，可知點E與C重合或G點C與重合，此時/FCD的度 數(shù)為45°或135°.(3)如圖3,連接GR GE.由已知 a =45；可知/ BAE=45 .又.GE 為正方形 AEFG 的對角線，Z AEG=45.1. AB/ GE., = S7 .GE =8.1A 口£心-S 白 AEG - ?£ 三方=16 I.過點B作BHAE于點H. AB=2, . 丹 二力"= 產(chǎn). |E = 3%生.RE = 2$ 設(shè)點G到BE的

48、距離為h.1 1S r etc - - ' SE*h = 2、2、5x h=161g5Jr16*戶點G至ij BE的距離為 ".考點：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.平行的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.分類思想的應(yīng)用.13.我們定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做 等高底”三角形,這條邊叫做這個三角形的 等底”。(1)概念理解：如圖1,在 ABC中，AC 6 , BC 3. ACB 30 ,試判斷 ABC是否是 等高底”三角形，請說明理由.(2)問題探究：如圖2, ABC是 等高底”三角形，BC是 等底”，作 ABC

49、關(guān)于BC所在直線的對稱圖形得AC 一一到 A BC,連結(jié)AA交直線BC于點D .若點B是乙3 ai,Z2 1 2i的重心，求 的值. BC(3)應(yīng)用拓展：如圖3,已知1112,11與12之間的距離為2.等高底” ABC的等底” BC在直線11上，點A在直線12上,有一邊的長是 BC的 亞倍.將 ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45得到ABC ,AC所在直線交12于點D .求CD的值.【答案】（1）證明見解析；（2）處US（3）CD的值為Zj10,2J2,2BC 23,【解析】分析：（1）過點A作ADL直線CB于點D,可以得到AD=BC=3,即可得到結(jié)論；（2）根據(jù) MBC是 等高底”三角形，BC

50、是 等底”，得到AD=BC,再由MBC與 MBC關(guān)于 直線BC對稱，得至ij /ADC=90°,由重心的性質(zhì)，得至ij BC=2BD.設(shè)BD=x,貝U AD=BC=2x,CD=3x ,由勾股定理得 AC=Ji3x,即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論即可：當(dāng)AB=J2BC時，再分兩種情況討論;當(dāng)AC= J2 BC時，再分兩種情況討論即可.詳解：（1）是.理由如下：如圖1,過點A作ADL直線CB于點D,MDC為直角三角形，Z ADC=90 :ZACB=30 °, AC=6,AD= 1 AC=3,2AD=BC=3,即MBC是等高底”三角形.(2)如圖2, 公BC是 等高底”三角形

51、，BC是 等底"，.ADuBC,ABC與 MBC關(guān)于直線 BC對稱，Z ADC=90 :點 B 是 MAC 的重心，BO2BD.設(shè) BD=x,貝U AD=BC=2x, . . CD=3x ,由勾股定理得AC=而x,.AC.13x.13-.BC2x2IH 2(3)當(dāng) AB= J2 BC時，I .如圖3,作AELi于點E, DF±AC于點F.等高底” ABC的等底”為BC, li/ 12,li與12之間的距離為2, ab=J2bc,.BC=AE=2, AB=2 應(yīng)， .BE=2,即 EC=4,AC= 275 . ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 設(shè) DF=CF=x .45得到M&#

52、39; B' C,/ CDF=45 :DF . lil2,Z ACE=Z DAF . 一AFAECE1.,即 AF=2x.222 AC=3x= 2 y/5 ,可信 x= V5, CD=2 x=_ Jl0 -n .如圖4,此時 MBC是等腰直角三角形，ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45得到 M' B' C,ACD是等腰直角三角形，cd=72ac=2& 當(dāng)ac= J2bc時，I .如圖5,此時4ABC是等腰直角三角形. ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45得到 M'B'C, .AC，li, .-.CD=AB=BC=2.n .如圖6,作AELi于點E,貝

53、U AE=BC, .AC=T2bC=&AE,Z ACE=45 °, .MBC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45得到 M'B'C時, 點A '在直線li上, .AC/ 12,即直線A'C與12無交點.綜上所述：CD的值為2M，2J2，2.3點睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題.考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀理解能力.解題的關(guān)鍵是對新概念等高底”三角形的理解.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點 A的坐標(biāo)為(5, 0),菱形OABC的頂點B, C在第一象限，tan/AOC1,將菱形繞點 A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角 a(0。云AOC)得到菱形FADE(,嵐O的對應(yīng)點為點F),EF與OC交