幾何概型精準(zhǔn)培優(yōu)專(zhuān)練

1、培優(yōu)點(diǎn)十九幾何概型31.長(zhǎng)度類(lèi)幾何概型例1:已知函數(shù)f5,5 ,在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)x0 ,使f 50的概率A. -10B.C.310D.-5先解出xo0時(shí)%的取值范圍：x1 22,從而在數(shù)軸上1,2區(qū)間長(zhǎng)度占 5,5區(qū)間長(zhǎng)度的比例即為事件發(fā)生的概率,C.3 P 1 ,故選102.面積類(lèi)幾何概型（1）圖形類(lèi)幾何概型例2-1 ：如圖所示，在矩形 ABCD中，AB 2a, AD a ,圖中陰影部分是以 AB為直徑的 半圓，現(xiàn)在向矩形 ABCD內(nèi)隨機(jī)撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不計(jì)），根據(jù)你所學(xué)的概率 統(tǒng)計(jì)知識(shí)，下列四個(gè)選項(xiàng)中最有可能落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目是（A. 1000B. 2000D. 4

2、000【解析】在矩形ABCD中，AB故由幾何概型可知，半圓所占比例為一,隨機(jī)撒4000粒豆子, 4落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目大約為3000,故選 C.（2）線性規(guī)劃類(lèi)幾何概型例2-2:甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定他們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到C. 3達(dá)，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率（D.工【答案】D【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為 x,乙船到達(dá)的時(shí)間為 y,0 x 24則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域n滿足0 y 24,這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域0A滿足02424,6作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:甲加到運(yùn)時(shí)間I乙船到L*時(shí)間t這兩艘船中至少有

3、一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率為18 1824 24716，故選D.3.體積類(lèi)幾何概型例3: 一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖所示，M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體ADFBCE內(nèi)自由飛翔,左視圄壬偷）視留由它飛入幾何體 F AMCD內(nèi)的概率為（A. 34B.-3C.D.-2所求概率為棱錐AMCD的體積與棱柱ADF BCE體積的比值.由三視圖可得AD DFCDCD兩兩垂直,可得VaDF BCESadfDC1-AD DF 2A. 23B.-3C. 83D.無(wú)法計(jì)算設(shè)陰影區(qū)域的面積為-.故選C.32.某景區(qū)在開(kāi)放時(shí)間內(nèi)，每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會(huì)有一趟觀光車(chē)從景區(qū)入口發(fā)車(chē)，某人上午到達(dá)景區(qū)入口，準(zhǔn)備乘坐觀光車(chē)，則他等待時(shí)

4、間不多于10分鐘的概率為（A.工10B.C.-5由題意，此人在50分到整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于10分鐘,，概率P60 6 故選B.1_ 1_3 2梭錐體機(jī)Vfamcd DFSadmc,而SadcmADAMCD a,3241 2VF AMCD1VF AMCD -a .從而P 15 故選D.4VADF BCE2,對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)、單選題1 .如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)2 一，域內(nèi)的概率為3 .則陰影區(qū)域的面積約為（452的區(qū)域內(nèi)的概率為（A. 1亞63B. .4C 3 C. 61 D.3. 一只螞蟻在邊長(zhǎng)為 4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，

5、則它在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于【解析】滿足條件的正三角形如圖所示:A其中正三角形ABC的面積SL角形 16 4734滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A , B, C的距離都小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,則 2 ,則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A , B , C的距離都大于2的概率為:111，1 .故選A 4.3624.在區(qū)間0,1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)X, y,記P為事件x y 的概率，則P3A.B. 12C. 49D.【解析】如圖所示,0 x 1, 0 y 1表示的平面區(qū)域?yàn)?ABCD,平面區(qū)域內(nèi)滿足x2y 2的部分為陰影部分的區(qū)域APQ，其中20,3，結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為12 22 3

6、3 1Q4D.5.在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),sin； x的值介于一 1 、0到1之間的概率為（2A. 13B.-C.D.1sin -x 一，得 022t己 Asin -x2的值介于。到1之間,則構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為全部結(jié)果的區(qū)域0,2長(zhǎng)度為2;1，3故選A.6 .點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),則動(dòng)點(diǎn) P到定點(diǎn)A的距離| PA 1的概率為【解析】滿足條件的正方形 ABCD,如圖所示:I)其中滿足動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA 1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,則正方形的面積81,陰影部分的面積隨14.11、Sb% .故動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離PA 1的概率P 二.故選C.Se 47.已知實(shí)數(shù)x2

7、,30，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于103的概率為（）x=2i+lA.B.C.1414D.【答案】B【解析】設(shè)實(shí)數(shù)x2,30 ,經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到2x 113;經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到2 2x 1輸出的值為8x 7,令 8x 7 103 得 x由幾何概型概率得到輸出的x不小于103的概率為P 30二230 2,故選B.148 .九章算術(shù)中有如下問(wèn)題:“今有勾五步，股一十二步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子,則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（A. 215B.20C.215D.

8、 1320【解析】直角三角形的斜邊長(zhǎng)為,52 12213 ，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r ,則5 r12解得2,，內(nèi)切圓的面積為豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是4P 1 -1 5 122215 ,故選C.9 .把不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)記為x稱(chēng)作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù),在1,4上任取x ,則x 后的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】當(dāng)x 1,2時(shí)，則#x 1 ,滿足x 必；當(dāng) x2,3 時(shí)，x2 ,72x2,76 ,則 22x 2 ,滿足 x 質(zhì)；當(dāng)x3,4時(shí)，x3,而J6,2J2 ,則 叵 2不滿足x V2x;當(dāng)x 4時(shí)，x 4 ,必2隹，則而 2 ,不滿足x 必.綜上，滿足 xJ2x的x 1,3

9、 ,則x 反的概率為當(dāng)=工，故選D.4 1310.關(guān)于圓周率 ，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)x, y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì) x,y ,再統(tǒng)計(jì)其中工”能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)又x, y的個(gè)數(shù)m ,最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù) m估計(jì)的值.如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是 m 34,那么可以估計(jì)的值為（A. 227B. 4715C.51D.【解析】由題意,120對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)x, y165317兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊的數(shù)對(duì) x, y ,220 x 1 一一. 1滿足x2y2 1且，面積為1 ,0

10、 y 14 2.統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)x, y的個(gè)數(shù)為m 34,貝四- 1120 4 247 一.,故選B.1511.為了節(jié)省材料,某市下水道井蓋的形狀如圖1所示，其外圍是由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形，這個(gè)曲邊三角形稱(chēng)作“菜洛三角形”.現(xiàn)有一顆質(zhì)量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內(nèi)，則彈珠恰好落在三角形ABC內(nèi)的概率為（c TD 1 y【答案】A【解析】彈珠落在萊洛三角形內(nèi)的每一個(gè)位置是等可能的, 由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率：SA ABC12o2 sin 60 2QuuuiLiuurD ABC1212o 12o3222

11、sin60 2 sin 602 322（SULABLC為萊洛三角形的面積），故選A.12.下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成， 三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC ,直角邊AB , AC . AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I ,黑色部分記為II ,其余部分記為III .在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自 I , II ,III的概率分別記為P1 , P2 ,P3 ,則（413C.P2P3D.P1P2P3A P1 P2【答案】AB.P1P3【解析】設(shè)AC b, AB c , BCa,則有 b1 2 c2 a2從而可以求得ABC的面積為2bc，黑色部分的面

12、積為S21一 bc22, 22c_ba_4441一 bc22.2c b1bc W241.bc ) .有 SiS22其余部分的面積為S3a216根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到Pi出,故選A.二、填空題13.在區(qū)間0,2內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù) a ,則使函數(shù)f x log 2a i x在0,上為減函數(shù)的概率是.【解析】二函數(shù)f xlOg 2a 1 X 在 0,上為減函數(shù),一一 11 0 2a 1 1 , a 1,因此所求概率為21 .222 0 42214.記集合A x, y x y 16 ,集合B x, y x y 4 0, x,y A表木的平面區(qū)域分別為 1,2.若在區(qū)域 1內(nèi)任取一點(diǎn)P x,

13、 y ,則點(diǎn)P落在區(qū)域2中的概率為4-，一 一.f _22_ _ ， 一一、【解析】回出A x,y x y 16表本的區(qū)域即圖中以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓;集合B x, y x y 4 0, x,y A表示的區(qū)域 2,即圖中的陰影部分.31由題意可得 S 1 16 , S 16- 4 4 128,2 42 _ S。32根據(jù)幾何概型概率公式可得所求概率為P片S 1415.任取兩個(gè)小于 1的正數(shù)x、y,若xy、1能作為三角形的三條邊長(zhǎng)，則它們能構(gòu)成鈍角三角形三條邊長(zhǎng)的概率是【解析】根據(jù)題意可得，三邊可以構(gòu)成三角形的條件為:這三個(gè)邊正好是鈍角三角形的三個(gè)邊，應(yīng)滿足以下條件:對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖, 1 ,由

14、圓面積的1為-，直線和區(qū)域圍成的三角形面積是44則x、y、1能作為三角形的三條邊長(zhǎng),則它們能構(gòu)成鈍角三角形三條邊長(zhǎng)的概率16.父親節(jié)小明給爸爸從網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)了一雙運(yùn)動(dòng)鞋,就在父親節(jié)的當(dāng)天,快遞公司給小明打電話話說(shuō)鞋子已經(jīng)到達(dá)快遞公司了，馬上可以送到小明家，到達(dá)時(shí)間為晚上6點(diǎn)到7點(diǎn)之間,小明的爸爸晚上 5點(diǎn)下班之后需要坐公共汽車(chē)回家，到家的時(shí)間在晚上5點(diǎn)半到6點(diǎn)半之間.求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快遞員把鞋子送到小明家的時(shí)候，會(huì)把鞋 子放在小明家門(mén)口的“豐巢”中）為 【解析】設(shè)爸爸到家時(shí)間為x，快遞員到達(dá)時(shí)間為 y, 以橫坐標(biāo)表示爸爸到家時(shí)間，以縱坐標(biāo)表示快遞送達(dá)時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系, 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件構(gòu)成區(qū)域如下