任意角三角函數(shù)定義的呈現(xiàn)方式

1、鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文蘇教版蘇教版三角函數(shù)三角函數(shù)的編寫意圖的編寫意圖也談任意角三角函數(shù)定義的呈現(xiàn)方式張乃達(dá) 石志群1引言引言近來本刊已經(jīng)發(fā)表了多篇文章，對(duì)任意角三角函數(shù)定義的不同呈現(xiàn)方式展開了討論這次討論是由于人教（A）版教材和蘇教版的教材對(duì)任意角三角函數(shù)采用了兩種不同的定義方式而引發(fā)的其中，發(fā)表于本刊 2010 年 1-2 期的題為三談“單位圓定義法”與“終邊坐標(biāo)定義法” （文1）的文章，更從學(xué)生思維活動(dòng)的視角探討了任意角三角函數(shù)定義的不同呈現(xiàn)方式對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的影響，從而使討論進(jìn)入了一個(gè)新的層面即從對(duì)結(jié)果（定義）的靜態(tài)分析，進(jìn)入到對(duì)過程（活動(dòng)）的動(dòng)態(tài)分析，這無疑是一項(xiàng)有

2、意義的進(jìn)展，也是使討論深入下去的正確方向需要指出的是，由于討論是由兩種教材的不同呈現(xiàn)方式引起的，因此，討論必須在深入研究教材、理解教材的基礎(chǔ)上展開遺憾的是，文1在這方面尚存在著很多不足之處例如，在我們看來，文章對(duì)蘇教版教材就存在著許多誤解（當(dāng)然這些誤解可能就是由教材的表達(dá)不清晰等原因造成的）！這些誤解不僅影響了文章對(duì)學(xué)生思維活動(dòng)分析的準(zhǔn)確性，而且對(duì)讀者造成了誤導(dǎo)！為此，我們感到有必要就教材編寫的意圖（這是主觀的想法）和教材本身（這是客觀地呈現(xiàn)在讀者面前的存在）做一些說明和澄清，并就相關(guān)問題發(fā)表我們的看法，供進(jìn)一步討論時(shí)參考2兩種建構(gòu)路徑的分析兩種建構(gòu)路徑的分析2.1蘇蘇教版教材的建構(gòu)路徑教版教

3、材的建構(gòu)路徑文1認(rèn)為：兩種定義都是“從初中的以直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)引入課題的” ，兩種教材都把銳角三角函數(shù)的定義看成“新知識(shí)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)” ，這顯然是不符合事實(shí)的，是對(duì)于蘇教版教材的誤解！作為進(jìn)一步討論的基礎(chǔ)，下面我們僅對(duì)蘇教版教材建構(gòu)三角函數(shù)概念的路徑作一介紹和分析（1 1）建構(gòu)活動(dòng)從考察周期性運(yùn)動(dòng)開始）建構(gòu)活動(dòng)從考察周期性運(yùn)動(dòng)開始事實(shí)上，蘇教版教材不是“以直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)引入課題鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文的” ，而是從對(duì)周期運(yùn)動(dòng)的考察分析開始的這一點(diǎn)清楚地表現(xiàn)在教材的引言中日落日出，寒來暑往自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，這種按一定規(guī)律

4、不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān)一個(gè)簡(jiǎn)單又基本的例子便是“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”如圖 1，P 是半徑為 r 的圓 O 上一點(diǎn)，P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以形象地描述為“周而復(fù)始”那么，點(diǎn) P 按怎樣的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)？用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫呢？在提出了問題以后，蘇教版教材并沒有直接給出問題的答案，而是立即著手解決問題立即對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)的分析引言接著說：為了回答上述問題，需要將點(diǎn) P 表示出來我們進(jìn)行如下思考：（1）如圖 2 和圖 3，以水平方向作參照方向，有序數(shù)對(duì)（r，）， （r，l）都可以表示點(diǎn) P；（2）如圖 4，以水平線為 x 軸，圓心 O 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，有序數(shù)對(duì)（x，

5、y）也可以表示點(diǎn) P在表示點(diǎn) P 的過程中，我們先后選用了角、弧長和直角坐標(biāo)（2 2）提出中心問題）提出中心問題鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文在對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)的分析以后，教材立即提出了本章的中心問題： ，l，x，y 之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？問題的提出，標(biāo)志著我們已經(jīng)取得了重要的階段性成果即發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有價(jià)值的問題！這是統(tǒng)率全章的中心問題！是任意角三角函數(shù)概念的生長點(diǎn)解決這個(gè)問題的思維活動(dòng)，不僅導(dǎo)致任意角三角函數(shù)概念的建立，而且構(gòu)成了整個(gè)教學(xué)的過程！ （3 3）發(fā)現(xiàn)和銳角三角函數(shù)的聯(lián)系）發(fā)現(xiàn)和銳角三角函數(shù)的聯(lián)系和人教（A）版教材不同，直到現(xiàn)在為止，蘇教版教材的正文（目錄、標(biāo)題除外）中

6、還沒有提到過“三角函數(shù)” ，更沒有把銳角三角函數(shù)當(dāng)成考察的對(duì)象，因?yàn)閷?duì)學(xué)生來說，他們面臨的問題是“怎樣建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”？由于他們并不知道三角函數(shù)和周期性現(xiàn)象的聯(lián)系，因而不可能把三角函數(shù)納入他們的視野！更不可能去“復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義”！這就是說，銳角三角函數(shù)和當(dāng)前課題之間的聯(lián)系是應(yīng)該讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的！這應(yīng)該是當(dāng)前建構(gòu)活動(dòng)中的又一個(gè)重要環(huán)節(jié)對(duì)此，教材是這樣處理的：蘇教版教材在第 1.2 節(jié)“任意角的三角函數(shù)”的節(jié)首語中重新提出了引言中提出的中心問題：“用（r，）與用坐標(biāo)（x，y）均可表示圓周上點(diǎn) P，那么，這兩種表示有什么內(nèi)在聯(lián)系？確切地說，用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫(x，y)與(r

7、，)之間的關(guān)系？”為了解決這個(gè)問題，學(xué)生自然會(huì)在直角坐標(biāo)系中畫出角的終邊，標(biāo)出坐標(biāo)，再讓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到第一象限時(shí)，學(xué)生們就可以發(fā)現(xiàn)：如果為銳角，則有 sin= ，cos= ，tan= 這樣就發(fā)現(xiàn)了我們要尋求的聯(lián)系！而它恰恰是銳角yrxryx三角函數(shù)提供的于是，銳角三角函數(shù)進(jìn)入了學(xué)生的視野！于是，教材順其自然地和學(xué)生一同回憶起銳角三角函數(shù)，并提出了新問題鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文（4 4）提出將銳角三角函數(shù)推廣的問題）提出將銳角三角函數(shù)推廣的問題于是，教材提出了“怎樣將銳角三角函數(shù)推廣到任意角？”這樣一個(gè)問題！由于上面的舗墊，學(xué)生順理成章地展開了建構(gòu)任意角三角函數(shù)的活動(dòng)（5

8、 5）反思）反思我們構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型是否滿足對(duì)函數(shù)的要求？（6 6）命名）命名把建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型稱為“任意角三角函數(shù)” ，簡(jiǎn)稱“三角函數(shù)” 指出它和銳角三角函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系（用現(xiàn)代函數(shù)的觀點(diǎn)看銳角三角函數(shù)） （7 7）探究三角函數(shù)幾何意義）探究三角函數(shù)幾何意義（8 8）特別地，給出單位圓）特別地，給出單位圓“定義定義” 2.2人教（人教（A）版教材的建構(gòu)路徑）版教材的建構(gòu)路徑為了更清晰地表達(dá)蘇教版教材的編寫意圖和建構(gòu)路徑的特點(diǎn)，作為比較，我們僅對(duì)人教（A）版教材的建構(gòu)路徑作一概略的考察（1 1）直接告知學(xué)生）直接告知學(xué)生“三角函數(shù)是刻畫周期性變化三角函數(shù)是刻畫周期性變化”的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型和蘇教

9、版的引言相似，人教（A）版的引言在一開始也提出了和蘇教版引言中提出的問題：現(xiàn)實(shí)世界中有許多運(yùn)動(dòng)變化都具有循環(huán)往復(fù)周而復(fù)始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性如何用數(shù)學(xué)方法來刻畫這種變化規(guī)律呢？但是，人教（A）版教材并沒有像蘇教版那樣，帶領(lǐng)學(xué)生去解決這個(gè)問題，而是直接給出了問題的答案：“本章要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)就是刻畫這種變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 ”這樣一來，對(duì)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)研究就被對(duì)“三角函數(shù)”的研究所取代！于是周期性現(xiàn)象退出了我們的視野，而“三角函數(shù)”成為研究的主題！接著引言又提出了本章的學(xué)習(xí)任務(wù)：三角函數(shù)到底是一種什么樣的函數(shù)？它具有哪些特有的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？下

10、面我們就來研究這鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文些問題于是，三角函數(shù)是什么？銳角三角函數(shù)是怎樣定義的？就成為本章學(xué)習(xí)的初始問題了！而怎樣把銳角三角函數(shù)“推廣”到任意角，自然成為本章的中心問題！可是，三角函數(shù)為什么能刻畫“周期性現(xiàn)象”呢？這個(gè)更本原、更深刻的問題就被越過了！掩蓋了?。? 2）復(fù)習(xí)并）復(fù)習(xí)并“改造銳角三角函數(shù)改造銳角三角函數(shù)” 在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)定義以后，教材提出了問題：你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？開始了三角函數(shù)概念的推廣工作（3 3）建立銳角三角函數(shù)的）建立銳角三角函數(shù)的“單位圓單位圓”定義定義（4 4）建立任意角三角函數(shù)的）建立任意角三

11、角函數(shù)的“單位圓單位圓”定義定義2.3需要澄清的幾個(gè)需要澄清的幾個(gè)問題問題（1）銳角三角函數(shù)不是建構(gòu)活動(dòng)的基礎(chǔ)在蘇教版教材中，并沒有把銳角三角函數(shù)當(dāng)成建構(gòu)活動(dòng)的基礎(chǔ)，相反，我們把它的過早出現(xiàn)看成是對(duì)建構(gòu)活動(dòng)的干擾！因此，在教學(xué)中，我們要求教師出示的課題并不是“任意角三角函數(shù)” ，而是“刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型” ，直到得到三角函數(shù)的定義后，才把課題“刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型三角函數(shù)”完整地展示出來（2）建構(gòu)過程中，并沒有引導(dǎo)學(xué)生“建立函數(shù)意義上的銳角三角函數(shù)定義”文1說：“學(xué)生建立起（x，y）與（r，）以后，蘇教版教材引導(dǎo)學(xué)生利用該模型建立起函數(shù)意義上的銳角的三角函數(shù)定義” ，最終要建立起定義

12、域?yàn)椋?，）上的三角函數(shù)定義表達(dá)式”其實(shí)教材并沒有這樣做，而且我們也感到2沒在必要這樣做！其實(shí)這里學(xué)生合乎邏輯的想法是很簡(jiǎn)單的：當(dāng) 是銳角時(shí)，學(xué)生利用銳角三角函數(shù)來表達(dá) 、x、y 的聯(lián)系，這時(shí)，在他們的眼中，銳角三角函數(shù)只是一個(gè)有用的工具，因此，他們希望在非銳角的情況下也有類似的工具，于是他們開始“建構(gòu)”它！可見學(xué)生是不會(huì)產(chǎn)生文1中提出的問題的！我們認(rèn)為，正鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文是由于不自覺地以人教（A）版的建構(gòu)路徑來分析這里的思維活動(dòng)，才造成文1的誤解這正是受“銳角三角函數(shù)”干擾的結(jié)果！2.4兩種建構(gòu)路徑的比兩種建構(gòu)路徑的比較較文1在比較兩種教材時(shí)說：“兩種定義的出發(fā)點(diǎn)

13、和落腳點(diǎn)相同，但定義的過程是有區(qū)別的 ”我們認(rèn)為，這個(gè)結(jié)論是不準(zhǔn)確的！事實(shí)上，只要比較兩種教材的建構(gòu)路徑，我們就會(huì)看到，兩種教材不僅定義的過程有區(qū)別，而且它們的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)、呈現(xiàn)的方式、學(xué)習(xí)成果（建構(gòu)的對(duì)象） 、教材的定位以及由此設(shè)定的學(xué)習(xí)方式，都存在著重大的區(qū)別 （見下表）下面僅就 “學(xué)習(xí)成果” （建構(gòu)對(duì)象）和“學(xué)習(xí)狀態(tài)”作一說明：（1 1）關(guān)于學(xué)習(xí)成果）關(guān)于學(xué)習(xí)成果應(yīng)該指出的是，盡管從表面看，兩種建構(gòu)活動(dòng)都得到了同一成果任意角三角函數(shù)的定義，但是這一成果對(duì)學(xué)生來說，意義卻是不同的！角角 0/6/4/3/22/33/45/6SIN01/2/22/231/23/221/20COS1/23/2

14、21/201/2-/22-/23-1TAN0/331331-/330人教（人教（A）版（推廣的路徑）版（推廣的路徑）蘇教版（建構(gòu)的路徑）蘇教版（建構(gòu)的路徑）學(xué)習(xí)起點(diǎn)復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)考察周期性運(yùn)動(dòng)（圓周運(yùn)動(dòng)）學(xué)習(xí)方式概念的同化：偏向于接受性學(xué)習(xí)概念的生成：偏向于發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)中心問題任意角三角函數(shù)是什么？怎樣構(gòu)建刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型？學(xué)習(xí)過程把銳角三角函數(shù)推廣到任意角依托圓周運(yùn)動(dòng)建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)狀態(tài)操作性的、目的模糊的、被動(dòng)的清晰的、目的明確的、主動(dòng)的和可理解的學(xué)習(xí)成果三角函數(shù)刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文在蘇教版中，由于學(xué)生的建構(gòu)活動(dòng)一直是指向刻畫周期

15、性變化的數(shù)學(xué)模型的，所以在經(jīng)過一番努力，最終得到了建構(gòu)的結(jié)果（三角函數(shù)）時(shí)，他們自然會(huì)把三角函數(shù)看成是刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型，而“三角函數(shù)”只不過是為模型起的名稱而已！可是，在人教（A）版的建構(gòu)活動(dòng)中就不同了！在這里，學(xué)生所做的一切都是為了“把銳角三角函數(shù)推廣到任意角” ，他們并沒有看到建構(gòu)活動(dòng)和“周期性”有任何關(guān)系因此，在他們的眼中，任意角三角函數(shù)就是任意角三角函數(shù)，盡管教材（在引言中）曾經(jīng)告知學(xué)生“三角函數(shù)就是刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型” ，但是，由于建構(gòu)活動(dòng)和周期性變化“脫鉤” ，所以要想讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，還需要做很多很多的事！ （2 2）關(guān)于學(xué)習(xí)狀態(tài)）關(guān)于學(xué)習(xí)狀態(tài)通過對(duì)兩種教材建

16、構(gòu)路徑的比較，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在使用不同的教材時(shí)，往往會(huì)進(jìn)行相同的“操作” ，會(huì)面臨相同的問題，但是由于問題背景的不同，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和引發(fā)的思維活動(dòng)卻有很大的差異：例如，在本節(jié)課中學(xué)生都會(huì)“復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)” ，但是，在這樣做的時(shí)候，學(xué)生面臨的背景是有很大不同的人教（A）版教材是從討論銳角三角函數(shù)開始的對(duì)這樣的安排，學(xué)生會(huì)問：?jiǎn)枺簽槭裁匆懻撲J角三角函數(shù)呢？回答可能是“為了建立任意角的三角函數(shù)的概念” 問：那么為什么要建立任意角的三角函數(shù)的概念呢？回答可能是因?yàn)槿我饨堑娜呛瘮?shù)正是“刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型” 問：為什么任意角的三角函數(shù)可以刻畫周期性現(xiàn)象呢？這就是學(xué)生無法回答的了！其實(shí)，這個(gè)問

17、題教師是可以回答的，他可能會(huì)說：你們研究了三角函數(shù)的性質(zhì)就知道了但是，還有一個(gè)更尖銳的也是更重要的問題等著他，這就是：研究周期性現(xiàn)象時(shí)，你怎么會(huì)想到“銳角三角函數(shù)”的？可能這是編者、教師和學(xué)生都無法回答的！鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文這個(gè)問題不僅學(xué)生現(xiàn)在不能回答，而且對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，可能一生都弄不明白！由此可見，在課堂上，盡管看起來學(xué)生確實(shí)是參與了建立三角函數(shù)概念的活動(dòng)，但是他們并不完全知道這些活動(dòng)的意義！所以我們說，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)是“操作性的、目的模糊的、被動(dòng)的”！ 與之比較，我們?cè)倏纯磳W(xué)習(xí)蘇教版教材的狀況在蘇教版中，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)是學(xué)生“自發(fā)自覺”的行動(dòng)，請(qǐng)看下面的分析

18、：?jiǎn)枺簽槭裁匆獜?fù)習(xí)銳角三角函數(shù)呢？是因?yàn)槔盟梢詭椭覀兘ⅲ▁, y）與（r,）的眹系問：你是怎么知道它會(huì)幫助我們建立（x, y）與（r,）的眹系的呢？因?yàn)椋阡J角時(shí)，我們利用它已經(jīng)建立了（x, y）與（r,）間的聯(lián)系！問：可是，你是怎么想到要研究（x, y）與（r,）間的聯(lián)系的呢？它有什么用？ 這是因?yàn)橛茫╮,） （x, y）都可以表示圓周上的點(diǎn)問：為什么要表示圓周上的點(diǎn)呢？這是為了刻畫圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問：為什么要刻畫圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)呢？這是因?yàn)樗侵芷诂F(xiàn)象的“一個(gè)簡(jiǎn)單又基本的例子”問：為什么要研究周期現(xiàn)象呢？因?yàn)槲覀兊娜蝿?wù)就是要“建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 ”可以看出，由于蘇教版教材展示

19、了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思維過程，學(xué)生自始至終地參與了建構(gòu)的活動(dòng)，理解每一歩“操作”的意義，了解毎一個(gè)問題的背景，知道問題是怎樣被提出來的，因此，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)是“清晰的、目的明確的、主動(dòng)的和可理解的”！這正是我們追求的結(jié)果！3 3教材的編寫意圖和定位教材的編寫意圖和定位3.13.1關(guān)于教材定位關(guān)于教材定位鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文通過上面的比較和分析可以看出，盡管兩種教材都是講的“三角函數(shù)” ，可是它們的定位卻是不同的實(shí)際上，這在比較兩種教材的引言時(shí)，就可以看到了！根據(jù)我們的分析，人教（A）版教材的定位應(yīng)該是“認(rèn)識(shí)和研究描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型：三角函數(shù)” ，設(shè)定的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是：三

20、角函數(shù)是什么？相應(yīng)的學(xué)習(xí)方式是接受性學(xué)習(xí)！蘇教版教材是把對(duì)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（分析）研究看成教學(xué)的起點(diǎn)的，教材的定位是“展示對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過程” ，而從周期性現(xiàn)象的原型中，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型就成為這個(gè)過程的第一階段！因而相應(yīng)地，它設(shè)定的學(xué)習(xí)方式是發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)！相信明白了這些，就可以理解這兩種教材為什么在建構(gòu)路徑和呈現(xiàn)方式上會(huì)具有那么大的差別了！3.23.2蘇教版教材的編寫意圖蘇教版教材的編寫意圖蘇教版教材的定位是由它的編寫思想（意圖）決定的蘇教版教材的編寫意圖可以概括為一句話，即：提供一個(gè)“數(shù)學(xué)地研究現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)范例！”具體地，它表達(dá)下面幾個(gè)層面的意思：1把（任意角）三角函數(shù)看成是刻

21、畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)的觀點(diǎn)來看待三角函數(shù)，把本章教學(xué)看成是函數(shù)學(xué)習(xí)的后續(xù)和深化2要展示并讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)地研究的全過程，即：提出問題建構(gòu)數(shù)學(xué)模型研究數(shù)學(xué)模型應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的過程特別是，要讓學(xué)生經(jīng)歷從周期性運(yùn)動(dòng)的原型，經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程3要突出三角函數(shù)是刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，突出周期性不僅在概念的建構(gòu)過程中，而且在研究模型的性質(zhì)時(shí)（如：誘導(dǎo)公式的研究、三角函數(shù)的圖象的學(xué)習(xí)等等）都要突出周期性的作用，并把這些研究活動(dòng)看成是建構(gòu)模型的有機(jī)部分4采用“建構(gòu)的思路” ，引人任意角三角函數(shù)概念5所有這一切，都體現(xiàn)了我們的價(jià)值觀它表明我們看重的不僅是作為一種數(shù)學(xué)模型的三

22、角函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，而且看重建構(gòu)活動(dòng)的價(jià)值，包括蘊(yùn)含于鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)論文活動(dòng)中的思想、方法、思維、過程的價(jià)值，即數(shù)學(xué)活動(dòng)本身的價(jià)值3.33.3 兩種不同的建構(gòu)思路兩種不同的建構(gòu)思路一般地說，任意角三角函數(shù)的概念的建構(gòu)有兩種基本的思路，即：推廣思路與建構(gòu)思路所謂推廣的思路是由銳角三角函數(shù)出發(fā)，將其推廣到任意角，從而建立起任意角三角函數(shù)概念的思路所謂建構(gòu)思路，是從現(xiàn)實(shí)世界的周期現(xiàn)象中選取原型，通過數(shù)學(xué)抽象，建構(gòu)起刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型的思路，即通常所說的建模，蘇教版教材采用的就是這種思路推廣的思路，這也是傳統(tǒng)教學(xué)中經(jīng)常采用的思路，人教（A）版教材采用的這是這種思路在教學(xué)中

23、教師往往不自覺地就會(huì)走上這條思路實(shí)際上，在教學(xué)中，學(xué)生只要看到學(xué)習(xí)的課題是任意角三角函數(shù)就會(huì)聯(lián)想到銳角三角函數(shù)，認(rèn)定任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣，而走到這條路上來因此，看起來這是很自然的思路我們之所以拒絕采用這個(gè)思路，除了它和我們的編寫意圖直接沖突以外，還出于教學(xué)方面的考慮：在推廣的思路中，教師實(shí)際上是把“任意角三角函數(shù)是什么？”當(dāng)成教學(xué)的起點(diǎn)的，它對(duì)應(yīng)的初始問題就是：怎樣把銳角三角函數(shù)推廣到任意角？現(xiàn)在我們看看，面對(duì)著這個(gè)問題學(xué)生會(huì)產(chǎn)生什么樣的思維活動(dòng)？因?yàn)闆]有更多的信息，所以學(xué)生只能從字面上去尋求“任意角三角函數(shù)”的意義！他可能想到， “任意角三角函數(shù)”可能是一種“函數(shù)” ，因而它應(yīng)該有“定義域”和“對(duì)應(yīng)關(guān)系” ；它可能是一種刻畫現(xiàn)實(shí)世界的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可是具體地，它是怎么樣的數(shù)學(xué)模型呢？學(xué)生就無法回答了！當(dāng)然，學(xué)生還可能想到，這種數(shù)學(xué)模型可能和銳角三角函數(shù)有關(guān)，很可能是后者的推廣于是學(xué)生可能會(huì)回憶銳角三角函數(shù)的意義，并力求將其“推廣”！可是由于學(xué)生不知道推廣的目的，就無法確定推廣的方向，于是學(xué)生的建構(gòu)活動(dòng)只能到此為止，再也無法繼續(xù)進(jìn)行下去了！造成上述現(xiàn)象的原因一方面在于學(xué)生掌握的信息太少，特別是建構(gòu)的目標(biāo)不清晰對(duì)學(xué)生而言， “任意角三角函數(shù)”只是一個(gè)數(shù)學(xué)模型的名稱，而