等差數(shù)列的概念及性質(zhì)

1、等差數(shù)列的概念及性質(zhì)第6 頁（共 11 頁）選擇題（共 12 小題）1等差數(shù)列 an 中， a27，a6 23 ，則 a4（2A 1113C15D17在等差數(shù)列 an 中， a46， a3+a5 a10 ，則公差d （）A1CD3等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 a8 a5 9， S8S5 66，則 a33（A 82B 97C 100D 1154在等差數(shù)列 an 中，已知 a2+a5+a12+a15 36，則 S16（）A 288B 144C 572D725已知 an 為遞增的等差數(shù)列，a4+a7 2，a5?a68，則公差 d（）A 6B 6C 2D4n1與 a11 的等差中項是 1

2、5 ，a12 3 9，則a9（6在等差數(shù)列 a 中，已知a+a +aA 24B 18C 12D6nn，且 a18 12 12，則 S13（）7已知等差數(shù)列 a 的前 n項和為 S+a +aA 104B 78C 52D398等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，若 a1 3，S5 35，則數(shù)列 an 的公差為（）A 2B 2C 4D 79在等差數(shù)列 an 中，若 a3+a5+2 a104，則 S13（ ）A 13B 14C 15D 1610 在等差數(shù)列 an 中，若 2a8 6+a 11，則 a4+a 6（）A 6B 9C 12D 18211等差數(shù)列 an 中， a2 與 a4 是方程 x 4

3、x+3 0 的兩根，則 a1+a2+a3+a4+a5（）D 12D 10A 6B 8C 1012 等差數(shù)列 an 滿足 4a3+a11 3a5 10，則 a4（）A 5B 0C 5 二填空題（共 5 小題） 13數(shù)列 an 中，若 an+1 an+3， a2+a8 26，則 a12 14 在等差數(shù)列 an 中， a1+3a 8+a 15 120 ，則 3a9 a11 的值為，則15已知等差數(shù)列 an ， bn 的前 n 項和分別為 Sn，Tn，若16等差數(shù)列 an 中，前 n 項和為 Sn， a1< 0， S17< 0， S18> 0，則當 n時， Sn 取得最小值17等差數(shù)

4、列 an 、 bn 的前 n 項和分別為 Sn、 Tn，若，則 三解答題（共 5 小題）18 已知等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 a3 7， a5+a7 26 （）求 an 及 Sn；（）令 bn（nN+），求證：數(shù)列 bn 為等差數(shù)列19 已知等差數(shù)列 an 滿足 a1+a2 10 ， a5 a3 4（）求 an 的通項公式；）設(shè)等比數(shù)列 bn 滿足 b2 a3， b3 a7，問： b6 是數(shù)列 an 中的第幾項？n20在等差數(shù)列 a 中，（ 1 ）求 an， Sn；n 為其前 n 項的和，已知 Sa1 3 22 ， S545+a2）設(shè)數(shù)列 Sn 中最大項為 Sk，求 k 及 S

5、k21觀察如圖數(shù)表，問：（ 1 ）此表第 n 行的第一個數(shù)與最后一個數(shù)分別是多少？2 ）此表第 n 行的各個數(shù)之和是多少？ 3） 2012 是第幾行的第幾個數(shù)？22（理）在 ABC 中， a， b，c 分別是角 A， B， C 的對邊，且角 B，A， C 成等差數(shù)列222（ 1 ）若 a c b mbc ，求實數(shù) m 的值；（ 2 ）若 a ，求 ABC 面積的最大值等差數(shù)列的概念及性質(zhì)參考答案與試題解析一選擇題（共 12 小題）1等差數(shù)列 an 中， a27， a6 23，則 a4（）A 11B 13C 15D 17【分析】 利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出結(jié)果【

6、解答】 解：等差數(shù)列 an 中， a2 7，a6 23，解得 a1 3，d 4 a4 a1+3d 3+12 15故選： C【點評】 本題考查等差數(shù)列的第 4 項的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算 求解能力，是基礎(chǔ)題2在等差數(shù)列 an 中， a4 6， a3+a5 a10，則公差 d（ ）A1B 0C 1D 2【分析】 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式即可求出【解答】 解： a4 6， a3+a5 a10 ， 2a4 a4+6d ， d a4 1，故選： C【點評】 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，屬于基礎(chǔ)題3等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 a8 a5 9， S8S5 6

7、6，則 a33（）A 82B 97C 100D 115【分析】先求出公差 d ，再根據(jù)求和公式求出a1 4 ，即可求出 a33【解答】解：等差數(shù)列 ann，且 a8a5 9 ， 的前 n 項和為S 3d 9， d 3 ， S8 S5 66 ， 8a1+× 35a1×3 66，a1 4，a33 a 1+32d 4+32× 3 100， 故選： C【點評】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題 n 2 5 12 15 36，則 S16（）4在等差數(shù)列 a 中，已知 a +a +a +aA 288 B 144C 572D 72【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性

8、質(zhì)和求和公式計算即可【解答】解： a2+a5+a12+a15 2（ a 2+a 15 ） 36， a1+a16a2+a15 18， S16 8× 18 144，故選： B【點評】本題考查了等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5已知 an 為遞增的等差數(shù)列， a4+a7 2， a5?a6 8，則公差 d（）A 6B 6C 2D 42【分析】 a5， a6 是方程 x 2x8 0 的兩個根，且 a5< a6，求解方程得答案 【解答】解： an 為遞增的等差數(shù)列，且a4+a72， a5?a6 8，a5+a6 2，2a5， a6 是方程 x 2x 8 0 的兩個根，且 a5&

9、lt; a6，a5 2， a6 4，d a6 a5 6，故選： A【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查方程的解法，是基礎(chǔ)的計算題n1 與a11 的等差中項是 15， a12 39，則 a96在等差數(shù)列 a 中，已知 a +a +aA 24B 18C 12D 6a9 的值【分析】利用等差數(shù)列通項公式列方程組，求出首項和公差，由此能求出 【解答】解：在等差數(shù)列 an 中， a1 與 a11 的等差中項是 15， a1+5d 15，a1+a2+a3 9，第8頁（共 11 頁）10 在等差數(shù)列 an 中，若 2a8 6+a 11，則 a 4+a 6（） a1+d 3， 聯(lián)立 ，得 a1 0， d

10、3 ，a9 a1+8d 0+24 24故選： A 點評】 本題考查等差數(shù)列的第 9 項的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題7已知等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 a1+a8+a12 12，則 S13（A 104B 78C 52D 39分析】 數(shù)列 an 為等差數(shù)列，1 8 a +a +a12 可以用首項和公差表示，進而得到a7，求出13S【解答】解：因為已知等差數(shù)列 an故 a7 4 ，所以 S13n， 的前 n 項和為 S13a7 13 ×4且 a18 12 3a1+a +a +18d 712，3a52第11頁（共 11頁）故選： C點評】本題

11、考查了等差數(shù)列的通項公式，等差中項，前n 項和公式，屬于基礎(chǔ)題8等差數(shù)列A2nn ，若 a1 3， a 的前 n 項和為 SB 2S5 35，則數(shù)列 an 的公差為（ D 7C 4分析】利用等差數(shù)列的求和公式即可得出解答】解： a1 3 ， S5 35， 5× 3+ 35，解得 d 2 故選： B【點評】 本題考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題9在等差數(shù)列 an 中，若 a3+a5+2 a104，則 S13（）A 13B 14C 15 D 16【分析】 由 a3+a5+2 a10 4，可得 4a7 4，解得 a7，利用 S1313a7 即可得出【解答】 解

12、： a3+a5+2 a10 4， 4a7 4，解得 a7 1，則 S1313a7 13故選： A 【點評】 本題考查了等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能 力，屬于中檔題A 6B 9C 12 D 18【分析】 由等差數(shù)列 an 中， 2a8 6+a 11 ，可得 a5 2a8 a 11 ，利用 a4+a6 2a5，即 可得出【解答】 解：由等差數(shù)列 an 中， 2a8 6+a 11 ， a5 2a8 a11 6， 則 a4+a6 2a5 12 故選： C【點評】 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于 中檔題211等差數(shù)列 an 中， a2

13、與 a4 是方程 x 4x+3 0 的兩根，則 a1+a2+a3+a4+a5（）A 6B 8C 10 D 12【分析】 利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出2【解答】 解： a2 與 a4 是方程 x 4x+3 0 的兩根， a2+a4 4 2a 3，解得 a3 2 ， 則 a1+a2+a3+a4+a55a3 10 故選： C【點評】 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能 力與計算能力，屬于中檔題12 等差數(shù)列 an 滿足 4a3+a11 3a5 10，則 a4（）A5B 0C 5 D 10【分析】 利用通項公式即可得出【解答】 解：設(shè)等差數(shù)

14、列 an 的公差為 d， 4a3+a11 3a5 10，4（ a1+2d） +（ a1+10d ） 3（ a 1+4d ） 10，化為： a1+3d 5 則 a4 5故選： C【點評】 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 二填空題（共 5 小題）13數(shù)列 an 中，若 an+1 an+3， a2+a8 26，則 a12 34 【分析】 先判斷數(shù)列的等差數(shù)列，再求出首項，即可求出答案【解答】 解： an+1 an+3，數(shù)列 an 為等差數(shù)列，其公差d 3， a2+a8 26 ， 2a 1+8d 26 ， a1 1 ， a12 1+11 × 3 34 ，故

15、答案為： 34點評】 本題考查餓了等差數(shù)列的定義和通項公式，屬于基礎(chǔ)題4814在等差數(shù)列 an 中， a1+3a 8+a 15120 ，則 3a9 a11 的值為【分析】 an 為等差數(shù)列，所以 a11 也表示為用 a8 表示即可18 15 120? 5a 1 a +3a +a+35d 120? a824 ，然后將 3a9解答】 解：因為數(shù)列 an 為等差數(shù)列，所以 a1+3a8+a15 120 可化為 5a 1+35d 120 可化為 a8 24 ，又因為 3a9a11 2a1+14d 2a8 48，故填： 48 點評】 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題nnn，Tn，若，則15已知等

16、差數(shù)列 a ， b 的前 n 項和分別為S分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，由此能求出結(jié)果解答】 解：等差數(shù)列 an ， bn的前 n 項和分別為 Sn， Tn， ，故答案為：【點評】 本題考查等差數(shù)列的比值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算 求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題16等差數(shù)列 an 中，前 n 項和為 Sn， a1< 0， S17< 0， S18> 0，則當 n 9 時， Sn 取得 最小值【分析】 推導(dǎo)出 a8+a9< 0，a9> 0， a8< 0，由此能求出當 n 8 時， Sn 取得最小值第7頁（共 11 頁）解答】 解：等差數(shù)列

17、 an 中，前 n 項和為 Sn，a1< 0，S17<0， S18> 0 ， a9< 0， a9+a10>0，a9< 0， a10> 0， a1< 0 ，當 n 9 時， Sn 取得最小 值故答案為： 9 【點評】本題考查等差數(shù)列的前 n 項和最小時 n 的值的求法， 考查等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考 查運算求解能力，是基礎(chǔ)題17等差數(shù)列 an 、 bn 的前 n 項和分別為 Sn、 Tn，若，則 【分析】 由題意可設(shè) Sn kn（n+1）， Tn kn（ 2n 1），（ k0）由此求得 a8， b9，則答 案可求【解答】 解，依題意，設(shè) Sn kn（

18、 n+1 ）， Tnkn（ 2n1），（ k 0）則 a8 S8 S7 72k 56k 16k ， b9 T9 T8 33k，所以，故填： 【點評】 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前 n 項和的應(yīng)用，是中檔題三解答題（共 5 小題）18 已知等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 a3 7， a5+a7 26 （）求 an 及 Sn ；（）令 bn（nN+），求證：數(shù)列 bn 為等差數(shù)列【分析】（）設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為 d，利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出 a1 3， d 2，由此能求出 an， Sn（）由 ，能證明數(shù)列 bn 為等差數(shù)列【解答】 解：（）設(shè)等差數(shù)列的首

19、項為a1，公差為 d， a3 7， a3+a2 26 由題意得 ，解得 a1 3 ， d 2 ， an a1+（ n 1 ）d 3+2 （n 1） 2n+1 n（n+2 ）證明：（） ，bn+1 bn n+3 （ n+2 ） 1，數(shù)列 bn 為等差數(shù)列【點評】 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識， 考查運算求解能力， 考查函數(shù)與方程思想， 是基礎(chǔ)題 19 已知等差數(shù)列 an 滿足 a1+a2 10 ， a5 a3 4（）求 an 的通項公式；（）設(shè)等比數(shù)列 bn 滿足 b2a3， b3 a7，問： b6是數(shù)列 an 中的第幾項？

20、【分析】（）設(shè) an 公差為 d ，由已知列式求得首項與公差，則an 可求；（）由 b2 a3 8， b3 a7 16 ，得公比 q 2 ，進一步求得 b6，代入等差數(shù)列的通項公 式求得 n 值得答案【解答】 解：（）設(shè) an 公差為 d，由 a5 a3 4 2d? d 2，由 a1+a2 10 2a1 +d? a 14， an 2n+2 ；（）由 b2 a38， b3 a7 16 ，得公比 q 2，令 an 2n+2 128 ，得 n63即 b6 為 an 中的第 63 項【點評】 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)的計算題20在等差數(shù)列 an 中， Sn為其前 n 項的和，已知

21、a1+a3 22， S545（ 1 ）求 an， Sn；（ 2）設(shè)數(shù)列 Sn 中最大項為 Sk，求 k 及 Sk【分析】（ 1）利用已知條件列出方程組，求出數(shù)列的首項與公差，然后求解an， Sn；（ 2 ）利用變號的項，求解最值即可【解答】（ 10 分）解：（ 1）由已知得，所以 ，第16頁（共 11 頁）所以 an a1+（ n 1） d 2n+15 ；（ 2 ） 由 an 0 ， 即 2n+15 0 ， 可 得 n 7 ， 所 以 S7 最 大 ， k 7 ， S7 49 【點評】 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和以及通項公式的應(yīng)用，考查計算能力 21觀察如圖數(shù)表，問：（ 1 ）此表第 n

22、 行的第一個數(shù)與最后一個數(shù)分別是多少？（ 2 ）此表第 n 行的各個數(shù)之和是多少？（3） 2012 是第幾行的第幾個數(shù)？【分析】（ 1）寫出此表 n 行的第 1 個數(shù)，且第 n 行共有 2n1 個數(shù)，且成等差數(shù)列，由此 求出第 n 行的最后一個數(shù)；（ 2 ）由等差數(shù)列的求和公式求出第n 行的各個數(shù)之和；（ 3 ）設(shè) 2012 在第 n 行，列不等式求出n 的值，再計算 2012 在第該行的第幾個數(shù)n1【解答】 解：（ 1）此表 n 行的第 1 個數(shù)為 2 ，n 1第 n 行共有 2 個數(shù)，依次構(gòu)成公差為 1 的等差數(shù)列； （ 4 分）n 1n 1n由等差數(shù)列的通項公式，此表第 n 行的最后一個數(shù)是 2 +（ 2 1）× 1 21 ； （8 分）（ 2 ）由等差數(shù)列的求