鉆石卡考研模擬卷-數(shù)農(nóng)答案

1、2010屆萬(wàn)學(xué)海文鉆石卡學(xué)員強(qiáng)化階段測(cè)試卷答案（數(shù)農(nóng)）一、選擇題(1) 設(shè)函數(shù)f(x)=lim1+x其結(jié)論為 （ ） ,討論函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，x1+x2n(A)不存在間斷點(diǎn). (B)存在間斷點(diǎn)x=1. (C)存在間斷點(diǎn)x=0. (D)存在間斷點(diǎn)x=1【答案】(B)【解析】f(x)的表達(dá)式為0,0,f(x)=1+x,1,0,x1x1當(dāng)x<1,當(dāng)x=1,當(dāng)x<1, 當(dāng)x=1,當(dāng)x>1.在x=1處，lim+f(x)=limf(x)=f(1)=0，得函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)， 在x=1處，limf(x)=lim0=0；limf(x)=lim(1+x)=2；lim+f(x)lim

2、f(x)，+x1x1x1x1x1x1所以x=1為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn).故選(B).(2) 已知當(dāng)x0時(shí),(1+ax)1與cosx1是等價(jià)無(wú)窮小,則常數(shù)a= （ ）(A)233232 (B) (C) (D) 2323n【答案】C【解析】因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),sinxx,(1+x)11231x, n當(dāng)x0時(shí)ax0，所以有(1+ax)112321211ax,cosx1=sin2xx2, 32212ax(1+ax)12所以 lim=lim=a. x0x01cosx13x22因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),(1+ax)1與cosx1是等價(jià)無(wú)窮小,所以12323a=1,故a=. 32- 1 -sinx43423422(3)

3、設(shè)M=2xdxN=x+xdxP=(xsinxcosx)dx, cos,(sincos),1+x2222則 （ ）(A) P<M<N (B)M<P<N (C)N<M<P (D) N<P<M【答案】(A)【解析】由對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)積分的性質(zhì)，由M=0，且400N=22cosxdx>0,P=22cos4xdx=N<0.因而 P<M<N，應(yīng)選(A)(4) 設(shè)兩函數(shù)f(x)及g(x)都在x=a處取得極大值,則函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在x=a處( )(A) 必取極大值 (B) 必取極小值 (C) 不可能取極值 (D) 是否取極

4、值不能確定【答案】(D)【解析】題中給出的條件中,除了一處極值點(diǎn)外均未指明函數(shù)其它性質(zhì),為了判定的方便,可以舉出反例而排除.若取f(x)=g(x)=(xa),兩者都在x=a處取得極大值0, 而F(x)=f(x)g(x) 2=(xa)4在x=a處取得極小值,所以(A)、(C)都不正確.若取f(x)=g(x)=1(xa)2,2兩者都在x=a處取得極大值1, 而F(x)=f(x)g(x)=1(xa)在x=a處取得極大2值1,所以(B)也不正確,從而選(D).（5）若1,2,3,1,2都是四維列向量，且四階行列式1,2,3,1=m,1,2,2,3 =n，則四階行列式3,2,1,(1+2)等于 （ ）(

5、A)m+n (B) (m+n) (C) nm (D)mn【答案】(C)【解析】先將所求值的行列式拆分為兩個(gè)行列式之和，得到 3,2,1,(1+2)=3,2,1,1+3,2,1,2再利用兩列對(duì)調(diào)、行列式變號(hào)的性質(zhì)，得到 3,2,1,(1+2)=1,2,3,11,2,3,2=m+1,2,2,3=nm（6）設(shè)有向量組1=(6,+1,7)，2=(,2,2)，3=(,1,0)線性相關(guān)，則 （ ）(A)(C) =1或=4 (B) =2或=4 =3或=4 (D) =2或=4- 2 -【答案】(B)6【解析】因1,2,3線性相關(guān)，故12023=+121=22512=0，7解得1=2，2=4(7) 設(shè)事件A與B

6、相互獨(dú)立，0<P(A)<1,0<P(B)<1，則下述結(jié)論不正確的是（ ）(A)A與AB一定不獨(dú)立 (B)A與AB一定不獨(dú)立(C)A與BA一定不獨(dú)立 (D)A與AB一定不獨(dú)立【答案】(A)【解析】由于A(AB)，若P(AB)=1，則A與AB獨(dú)立，故選項(xiàng)(A)不正確，選擇(A).其它選項(xiàng)均正確。例如選項(xiàng)，由于AB=A，又0<P(A)<1，0<P()=P(A)P()<1，所以A與AB一定不獨(dú)立。同理可證選項(xiàng)(C)(D)正確。如果0<P(A)<1,0<P(B)<1，A與B互不相容或存在包含關(guān)系，則A與B一定獨(dú)立。（8）設(shè)隨機(jī)變量X

7、N(,)，則隨的增大，概率P(X<) （ ） 2(A)單調(diào)增大 (B)單調(diào)減少 (C)非單調(diào)變化 (D)保持不變【答案】(D) 【解析】因?yàn)镻(X<)=P(X<1)=2(1)1=常數(shù)。二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上.）xx1=(9) limx1xlnx【答案】1 xx1exlnx1xlnx【解析】lim=lim=lim=1 x1xlnxx1xlnxx1xlnx(10) 設(shè)y=ln(1+3),則dy=. 【答案】xln3dx 3x+1- 3 -【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,即y=(f(x)的微分為dy=(f(x)f(x)dx,有1ln3x

8、3ln3(1)dx=dx. xx1+33+1y(11) 設(shè)z=xyf(),f(u)可導(dǎo),則xzx+yzy=xdy=【答案】2xyfy x【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,y=+zyfxyfxx2yyyyyf, =yfxx2xxxyy1yyzxfxyfxfyf=+=+y. xxxxx所以 xzx+yzy=xyf(12) 已知f(2)=【答案】0 【解析】利用定積分的分部積分法求解定積分, y2yy2yyyfxyfyfyf+=x2 xxxxx211,f(2)=0及f(x)dx=1,則x2f(2x)dx= . 0021211211=tdf(t)=tf(t)+f(t)dt=+=0 404404412（13

9、）A是三階可逆矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A =【答案】1 1 61【解析】A=1×2×3=6，A=11= 16A2（14）設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，且E(X+2X4)=0，則=_【答案】1【解析】由X服從參數(shù)為>0的泊松分布，故EX=,DX=，于是由E(X2+2X4)=EX2+2EX4=DX+E2(X)+2EX4=+2+24=2+34=0得 =4（舍去）或=1，三、解答題（本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）- 4 -(15) （本題滿分9分）計(jì)算 x0x.ex1sinx （3分） 【解析】原式=limx012x2excosx=

10、lim （6分） x0xex+sinx=1 =lim（9分） x01(16) （本題滿分9分）計(jì)算 x【解析】x=2=22. （3分） 2=t,則 x=ln(t+1),dx=2tdt, （5分） 2t+1所以 2tdtt21=t2=22dt=2(12dt t+1t+1t+1 =2t2arctant+C=C, （8分） 所以 x=22 （9分） =2+4arctan+C. (17) （本題滿分10分）設(shè)當(dāng)x>0時(shí),方程kx+【解析】方程kx+1=1有且僅有一個(gè)解,求k的取值范圍. x21321=的解即為函數(shù)(x)=kxx+1的零點(diǎn). （2分） 2x(x)=3kx22x=x(3kx2). （

11、3分） 當(dāng)k0時(shí),(x)<0,(x)單調(diào)減少,(0)=1>0,lim(x)=,x+(x)在x>0有唯一的零點(diǎn)； （6分）2224單調(diào)減少,在(,+)單調(diào)增加,()=1,而23k3k3k27k2(0)=1>0,lim(x)=+,當(dāng)且僅當(dāng)最小值(=0時(shí),(x)才在x>0有唯一零點(diǎn),x+3k當(dāng)k>0時(shí),(x)在(0,- 5 -. （9分） 時(shí),原方程有唯一實(shí)根. 總之,當(dāng)k0或k=（10分） (18) （本題滿分11分）計(jì)算二重積分ydxdy，其中D是由直線x=2, y=0, y=2以這時(shí)應(yīng)該有k=D及曲線x=所圍成的平面區(qū)域。【解析】解法1：區(qū)域D和D1如圖所示

12、，有 （2分）ydxdy=DD+D1ydxdyydxdy=I1I2 （3D1顯然 I1=D+D1ydxdy=dxydy=4 （52002I2=ydxdy=dD12sin20rsinrdr =881+cos44=+=sin12cos2dd （10分） 233×422于是 ydxdy=I1I2=4D2 （11分）解法2：如圖所示，D=(x,y)|2xy2 （3分） ydxdy=ydyD202=2ydy 0022=4 （6分） 02令y1=sint，有dy=costdt，則 （7分）20=222(1+sint)cos2tdt 20=cos2tdt+22cos2tsintdt=21+cos2

13、t dt+0= （11分）22(19) （本題滿分11分）設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)P(x,y)(x>0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的的截距，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0.試求曲線L的方程 2【解析】設(shè)曲線L過(guò)點(diǎn)P(x,y)的切線方程為Yy=y(Xx)，則它在y軸上的截距為xy+y. 又坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)P(x,y)，由題設(shè)P(x,y)(x>0)到坐標(biāo)原點(diǎn)- 6 -的距離恒等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距，所以xy+y=(x>0)， 即yy=， (x>0) （3分） x令y=ux，則dy=u+xdu，方程化為：dx（6分） dudu=uu+xx=dxxdx得 Cln

14、u+=lncxu= （8分） x(yCy+=C. （9分） 把u=代入上式，得 =xx11由題設(shè)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),0，代入得0+=C，則C=，故所求方程為： 22y+=112，即y=x. （11分） 24（20）（本題滿分11分）x1+x2+x3=2,對(duì)于線性方程組x1+2x2+ax3=1,討論a,b取何值時(shí),方程組無(wú)解、有唯一解和無(wú)窮多解,2x+3x=b.21并在方程組有無(wú)窮多解時(shí),求出通解. 111【解析】方程組系數(shù)行列式D=12a=1a. （2分）230當(dāng)D0時(shí),即a1時(shí),由克萊姆法則知方程組有唯一解； （4分）111當(dāng)a=1時(shí),方程組的系數(shù)矩陣A=121, 230對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行

15、變換得111 2111 2B=121 1012 3. （7分）230 b000 b1（8分） 當(dāng)b1時(shí),r(A)=2,r(B)=3,r(A)r(B),線性方程組無(wú)解；當(dāng)b=1時(shí),r(A)=r(B)=2<3,線性方程組有無(wú)窮多解,其通解為 （9分）- 7 -x153xk 3=+22,其中k為任意常數(shù). （11分）1x03（21）（本題滿分11分）設(shè)3階矩陣A的特征值為1,1,2,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為0111=,2=0,3=0. 1011() 求矩陣A；（) 求A2009.100【解析】()由題設(shè)知A(1,2,3)=(1,2,3)010,即 002011011100A100=100010.

16、（2分） 01101100201由于11 0=20,所以 （3分）0011011100011A=100010100011002011 （6分） 01110002010311=100010101=020.2002101230101120091（) A001101110=100010100 （8分）01100(2)200901101+2200920.0122009112200900200111011=100010101=0200(2)200910121+22009011（11分）（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，X的概率密度為：- 8 -32x,0<x<2 f(x)=8

17、 其它0,已知事件A=(X>a)和B=(Y>a)獨(dú)立，且P(AB)=3，試求常數(shù)a。 4【解析】由已知條件有 P(A)=P(B)，且P(AB)=P(A)P(B)， （2分） 于是P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=2P(A)P(A)=解得：P(A)=23 （4分） 413,P(A)=（舍去） （6分） 22+23123又 P(A)=P(X>a)=f(x)dx=xdx=(8a) （9分） aa881133即(8a)=8a=4 即a= （11分） 82（23）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布密度為f(x,y)=1,0,y<x,0<x<1 其它（）求隨機(jī)變量