慣性矩、靜矩,形心坐標(biāo)公式

1、 1-1截面的靜矩和形心位置圖1-1如圖I-1所示平面圖形代 表一任意截面，以下兩積分SzAydASy(1-1)分別定義為該截面對于z軸和y 軸的靜矩。靜矩可用來確定截面的形 心位置。由靜力學(xué)中確定物體重心的公式可得A zdAA利用公式（1-1）,上式可寫成(AydA_ SzASy(I - 2)zdAAASz 二 AyeS廠 Aze(1-3)1IIJ(1-4)yczc如果一個平面圖形是由若干個簡單圖形組成的組合圖形，則由靜矩的定義可知，整個圖形對某一坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)該等于各簡單圖形對同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和。即：n Sz =送 Ai ycii=1nSyAi Zcii 3（I - 5）式中Ai、y

2、ci和zci分別表示某一組成部分的面積和其形心坐標(biāo)，n為簡 單圖形的個數(shù)。將式（I- 5）代入式（I- 4），得到組合圖形形心坐標(biāo)的計算公式 為A i y cii =1Aii -1A i z cii =1Aii =1(I-6)0.12m0.4myC0.6m0.2m例題1-1圖a所示 為對稱T型截面，求該截 面的形心位置。解：建立直角坐標(biāo)系 zOy,其中y為截面的對稱 軸。因圖形相對于y軸對 稱，其形心一定在該對稱 軸上，因此zc = 0,只需計 算yc值。將截面分成I、 n兩個矩形，則ai =0.072m2, An=0.08m2yi =0.46m, yn=0.2m例題I- 1圖ycAyAmA

3、AiiO.7246O.8 ON = 0.323m0.072 0.08 1-2慣性矩、慣性積和極慣性矩圖1-2如圖I- 2所示平面圖形代表一任意截面，在圖 形平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系zOy?，F(xiàn)在圖形內(nèi)取微面積 dA, dA的形心在坐標(biāo)系zOy中的坐標(biāo)為y和z,到 坐標(biāo)原點的距離為p?，F(xiàn)定義y2dA和z2dA為微面積 dA對z軸和y軸的慣性矩，pdA為微面積dA對坐標(biāo) 原點的極慣性矩，而以下三個積分Iz = f y2d AzA J2I -z2d AAI P = I p2d AA（I-7）分別定義為該截面對于z軸和y軸的慣性矩以及對坐標(biāo)原點的極慣性 矩由圖（I-2）可見，2二y2 V，所以有(I- 8)

4、A p2dAA(y2 z2)dA 二 lz ly即任意截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的兩任 意正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。另外，微面積dA與它到兩軸距離的乘積zydA稱為微面積dA對 y、z軸的慣性積，而積分Iy AzydA（I- 9） 定義為該截面對于y、z軸的慣性積。從上述定義可見，同一截面對于不同坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積則可能為正，可能為 負(fù)，也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單位是 m4或mm4。1-3慣性矩、慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩、慣性積的平行 移軸公式zia2A(I - io)圖1-3所示為一任意截面， z、y為通過

5、截面形心的一對正交 軸，乙、yi為與z、y平行的坐標(biāo) 軸，截面形心C在坐標(biāo)系ZiO yi 中的坐標(biāo)為（b, a）,已知截面對 z、y軸慣性矩和慣性積為lz、ly、 Iyz，下面求截面對Zi、yi軸慣性矩 和慣性積 Izi、lyi、lyizi。同理可得yiIy式（I - io）、（ I- ii）稱為慣性矩的平行移軸公式 F面求截面對yi、zi軸的慣性積I yizi o根據(jù)定義Si = AziyidA 二 A(z b)(y a)dA=zydA + a zdA+ b J ydA + abj dAAAAA=I yz aSy bSz abA由于z、y軸是截面的形心軸，所以Sz = Sy = 0，即卩I

6、yizi - I yz * abA (I- i2 式(I - i2)稱為慣性積的平行移軸公式。二、慣性矩、慣性積的轉(zhuǎn)軸公式圖（I - 4）所示為一任意截面，z、y為過任一點O的一對正交軸， 截面對z、y軸慣性矩lz、Iy和慣性積Iyz已知?，F(xiàn)將z、y軸繞O點旋轉(zhuǎn)a角（以逆時針方向為正）得到另一對正交軸 Z1、yi軸，下面求截 面對Zi、yi軸慣性矩和慣性積IZ1、lyi、Iz1Iz圖I - 4IyIycos2 - I yz sin 2（I - 13）同理可得IiIz lyIycos2 I yz sin 2Izy sin 2 Iyzcos2yizi(I- 14)2（ I - 15）式（1-13

7、）、（ I- 14）稱為慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，式（I- 15）稱為慣性 積的轉(zhuǎn)軸公式。 1-4形心主軸和形心主慣性矩一、主慣性軸、主慣性矩由式（I- 15 ）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=0o，即兩坐標(biāo)軸互相重合時,1汕=Iyz ；當(dāng)a= 900時，Iyizi=yz，因此必定有這樣的一對坐標(biāo)軸， 使截面對它的慣性積為零。通常把這樣的一對坐標(biāo)軸稱為截面的主慣 性軸，簡稱主軸，截面對主軸的慣性矩叫做 主慣性矩。假設(shè)將z、y軸繞0點旋轉(zhuǎn)a角得到主軸zo、y0，由主軸的定義1 yozoI yz cos2 0 二 0從而得tan2 a = 2lyzl ly(1-16)上式就是確定主軸的公式，式中負(fù)號放在分子上，為的是和下

8、面兩式相符。這樣確定的a角就使得lz0等于lmax 由式（I - 16）及三角公式可得sin2： 0cos2： 0-2IyzVz-ly)2 4寵將此二式代入到式（I- 13）、（I - 14）便可得到截面對主軸 z0、 y的主慣性矩Iz0Iy02Iz Iy2(Iz - Iy)4心(1-17)二、形心主軸、形心主慣性矩通過截面上的任何一點均可找到一對主軸。 通過截面形心的主軸叫做形心主軸，截面對形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩 例題I - 5求例I- 1中截面的形心主慣性矩。解：在例題I- 1中已求出形心位置為Zc = 0 , yC = 0.323m過形心的主軸 勺、y。如圖所示，z0軸到兩個矩形形心的距離分別 為a 0.137ma” = 0.123m截面對z0軸的慣性矩為兩個矩形對z0軸的慣性矩之