必修二立體幾何典型例的題目

1、必修二立體幾何典型例題【知識(shí)要點(diǎn)】1 空間直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系：(1) 空間兩條直線(xiàn)： 有公共點(diǎn)：相交，記作：an b= A其中特殊位置關(guān)系：兩直線(xiàn)垂直相交. 無(wú)公共點(diǎn)：平行或異面.平行，記作：a/ b.異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直.(2) 空間直線(xiàn)與平面： 有公共點(diǎn)：直線(xiàn)在平面內(nèi)或直線(xiàn)與平面相交.直線(xiàn)在平面內(nèi)，記作：a.直線(xiàn)與平面相交，記作：an= A,其中特殊位置關(guān)系：直線(xiàn)與平面垂直相交. 無(wú)公共點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行，記作：a /.(3) 空間兩個(gè)平面： 有公共點(diǎn)：相交，記作：n = 1，其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交. 無(wú)公共點(diǎn)：平行，記作：/2.空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1) 四

2、個(gè)公理與等角定理：公理1 :如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi).公理2:過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3 :如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn).公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(2) 空間中線(xiàn)面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理： 判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行. 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行. 如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么

3、該直線(xiàn)與此平面垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)該直線(xiàn)的任一個(gè)平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn) 平行.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)相互平行.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直.(3)我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：直線(xiàn)丄直線(xiàn)直域丄平面平面丄平面【例題分析】例2 在四棱錐P ABCD中，底面ABC是平行四邊形，M N分別是AB PC的中點(diǎn)，求 證：MN/平面PAD出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中

4、位線(xiàn)輔助證明.證明：方法一，取PD中點(diǎn)E,連接AE NE底面ABCD是平行四邊形， M N分別是AB PC的中點(diǎn),1 MA/ CD MA CD.2 E是PD的中點(diǎn)，1 NE/ CD NE CD.2 MA/ NE 且 MA= NE AENI是平行四邊形， MN/ AE又AE 平面PAD MN 平面PAD MN/平面 PAD方法二取 CD中點(diǎn)F,連接MF NF/ MF/ AD, NF/ PD平面MN/平面PAD MN/平面 PAD【評(píng)述】關(guān)于直線(xiàn)和平面平行的問(wèn)題，可歸納如下方法: 證明線(xiàn)線(xiàn)平行：a / c , b / c ,a /a , a 卩a / 3a丄a , b丄aaCl 卩=bC a =

5、a ,3 = bCa / ba / ba / ba/ b(2)證明線(xiàn)面平行:a C a =a / ba/ 3ba , aaa 3a /aa/aa /a(3)證明面面平行:aC3 =a / 3，b / 3a丄a , a丄3a /,3 /a , b a , aC b=Aa/卩a / 3a / 3a / 3例 3 在直二棱柱 ABC- ABC 中，AA= AC, AELL AC,求證：AC丄BG.【分析】要證明“線(xiàn)線(xiàn)垂直”，可通過(guò)“線(xiàn)面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明AC垂直于經(jīng)過(guò)BC的平面即可.證明：連接AC./ AB ABC是直三棱柱， AA丄平面 ABC ABL AA.又 ABL AC. AB丄平

6、AACC, AC丄AB.又 AA= AC側(cè)面AACC是正方形， AC丄AC.由，得 AC丄平面ABC,- AC丄 BC.【評(píng)述】空間中直線(xiàn)和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線(xiàn)面垂直”為核心展開(kāi)的.如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ABLAC都要將其向“線(xiàn)面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4 在三棱錐 P ABC中，平面 PABL平面 ABC AB1 BC API PB求證：平面 PAd 平面PBC【分析】要證明“面面垂直”，可通過(guò)“線(xiàn)面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線(xiàn)面垂直”又 可 以通過(guò)“線(xiàn)線(xiàn)垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明：平面PABL平面 ABC平面PABH平面 AB= AB且AB丄BC BCL平面 PAB API BC又

7、 APL PB API平面 PBC又AP平面PAC,平面PAC!平面PBC【評(píng)述】 關(guān)于直線(xiàn)和平面垂直的問(wèn)題，可歸納如下方法:(1)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直:a丄 c, b / c,a丄abaa丄ba丄b(1)證明線(xiàn)面垂直:a丄m a丄na/ b, b丄 aa / 3 , a 丄 3a L 3 , a A 3 = lm n a , mA n= Aa 3 , a 丄 la丄aa丄aa丄aa丄a(1)證明面面垂直:a 丄 3 , a a a丄卩例5 如圖，在斜三棱柱 ABC- ABC中，側(cè)面AABB是菱形，且垂直于底面 ABC / AAB =60° , E F分別是 AB, BC的中點(diǎn).(I )求證

8、：直線(xiàn)EF/平面AACC;(n )在線(xiàn)段AB上確定一點(diǎn) G,使平面EFGL平面ABC并給出證明. 證明：(I )連接AiC, AE.側(cè)面AABB是菱形，E是AB的中點(diǎn)， E也是AiB的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)， EF/ AC./ AC 平面 AiACC, EF 平面 AiACC,直線(xiàn)EF/平面AiACC.bg i解：當(dāng)時(shí)，平面EFGL平面ABC證明如下：GA 3連接EG FG側(cè)面AiABB是菱形，且/ AiAB= 60° , AAB是等邊三角形. E 是 Ai B 的中點(diǎn)，BG - , EGL ABGA 3平面AiABB丄平面 ABC且平面 A ABBA平面 ABC= AB EGL平面

9、 ABC又EG 平面EFG 平面EFG_平面ABC例6 如圖，正三棱柱 ABC- Ai B C中，E是AC的中點(diǎn).(I )求證：平面 BEC丄平面ACCA; ( n )求證：AB/平面BEC.【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀(guān)圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)幫助思考.證明：(I ) / ABC- A B C是正三棱柱， AA丄平面 ABC BE! AA. ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)， BE! AC - BE!平面ACCA ,又BE 平面BEC, 平面BEC丄平面 ACCAi.(n )證明：連接B C,設(shè)BCn B C= D./

10、 BCCB是矩形，D是B C的中點(diǎn)， DE/ AB.又DE 平面BEC, AB 平面BEC, AB/平面 BEC.例7 在四棱錐 P ABCD中，平面 PADL平面 ABCD AB/ DC PAD是等邊三角形，已知 BD= 2AD= 8, AB 2DC 4.5 .(I )設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面 MB!平面PAD(n )求四棱錐P- ABCD勺體積.【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動(dòng)點(diǎn)分析知，MB MD隨點(diǎn)M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面 MBD內(nèi)“不動(dòng)”的直線(xiàn) BD是否 垂直平面PAD證明：(I)在厶ABD中,由于 AD= 4, BD= 8,

11、AB 4、. 5 ,所以 aD + bD= aB故 ADL BD又平面PADL平面 ABCD平面PADn平面ABCAD BD 平面ABCD 所以BDL平面PAD又BD 平面 MBD故平面 MB丄平面PAD(n )解：過(guò)P作PQL AD交AD于Q由于平面 PADL平面 ABCD所以POL平面 ABCD因此PO為四棱錐P- ABC啲高，3又 PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此 PO -242 3.在底面四邊形ABCDK AB/ DC AB= 2DC所以四邊形ABCD!梯形，在Rt AD沖，斜邊AB邊上的高為4 8 誓，即為梯形4丿55ABC 的高，所以四邊形 ABC啲面積為S 2 5/ 5 勞 24

12、.故25Vp abcd 1 24 2 3 16 3.、選擇題：已知m, n是兩條不同直線(xiàn),m有且只有一個(gè)平面與平面m垂直的直線(xiàn)不可能與平面m平行的平面不可能與平面垂直平行垂直練習(xí)(A)若 m/,n/,則 m/ n(B)若 ml,n丄，則m/(C)若丄,丄，則/(D)若 m/，則/2.已知直線(xiàn)m n和平面,，且 mln, mL,丄，則（）(A) n 丄(B) n /，或n(C) n 丄(D) n /，或n3.設(shè)a, b是兩條直線(xiàn)，、是兩個(gè)平面，則a丄b的一個(gè)充分條件是（）(A) a 丄,b/,丄（B） a丄,b丄, /(C)a,b丄,/(D) a,b /,丄4.設(shè)直線(xiàn)m與平面相交但不垂直，則下列

13、說(shuō)法中正確的是()（A）在平面內(nèi)有且只有條直線(xiàn)與直線(xiàn)m垂直是三個(gè)不同平面,1.,m/F列命題中正確的是（）n（B）過(guò)直線(xiàn)（C）與直線(xiàn)（D）與直線(xiàn)二、填空題：5.在三棱錐 P- ABC中, PA PB . 6，平面PABL平面ABC PAL PBABL BC / BAC=30°，則 PC=.6. 在直四棱柱 ABC- ABCD中，當(dāng)?shù)酌?ABC瞞足條件 時(shí)，有AQ丄BD.（只要求寫(xiě) 出一種條件即可）7. 設(shè)，是兩個(gè)不同的平面， m n是平面 ，之外的兩條不同直線(xiàn)，給出四個(gè)論斷：ml n 丄n丄ml以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出正確的一個(gè)命題.&已知平面丄平

14、面 ， n = l，點(diǎn) A , A l，直線(xiàn)AB/ I，直線(xiàn)ACLl，直線(xiàn)m/, m/，給出下列四種位置： AB/ mACL mAB/:ACL上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號(hào)是 三、解答題：9如圖，三棱錐 P ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是 1的等邊三角形，M N分別為PA BC的中 占八、(I )求MN的長(zhǎng)；(n )求證：PAL BC10.如圖，在四面體 ABCD中, CB= CD ADL BD且E、F分別是 AB BD的中點(diǎn).求證:FD的中點(diǎn).(I )直線(xiàn)EF/平面ACD(n )平面EFCL平面BCD11.如圖，平面ABEFL平面 ABCD四邊形 ABEF與 ABCDfE是直角梯形，

15、/ BAD=Z FAB= 90°,BC/ AD BC -AD,BE/AF,BE 丄AF , G, H分別為 FA2 2iA必一一Vsc(I )證明：四邊形 BCHG平行四邊形；(n)C D F, E四點(diǎn)是否共面？為什么？(川)設(shè)AB= BE證明：平面 ADEL平面CDE專(zhuān)題七立體幾何參考答案練習(xí)一、選擇題：1. B 2. D 3. C 4. B二、填空題：5. 10 6 . ACL BD或能得出此結(jié)論的其他條件 )7.、；或、8 .三、解答題：9. ( I )解：連接 MB MC三棱錐P- ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是 1的等邊三角形, MBMC 2-，且底面厶ABC也是邊長(zhǎng)為1的等邊

16、三角形.、22/ N為 BC的中點(diǎn)， MNL BC在 Rt MNB中 MN . MB2 BN2(n)證明： M是 PA的中點(diǎn)，:.PAL MB 同理 PAI MC/ MBH MC- M - PA丄平面 MBC 又 BC 平面 MBC： PAI BC10.證明：(I ) / E F分別是AB BD的中點(diǎn)，已尸是厶ABD的中位線(xiàn)， EF/ AD又EF 平面ACD AD 平面ACD：直線(xiàn) EF/平面ACD(n ) EF/ AD ADL BD EFL BD/ CB= CD F是 BD的中點(diǎn)， CFL BD/ CFH EF= F,. BDL平面 CEF/ BD 平面BCD：平面 EFCL平面BCD11. ( I )由題意知,FG= GA FH- HD GH/ AD GH AD,1又 BC/ AD BC - ADGH/ BC, GH= BC2四邊形BCHG平行四邊形.（n ）C D, F , E四點(diǎn)共面理由如下：1由 BE/ AF, BF AF，G是 FA的中點(diǎn)，2得 BE/ FG 且 BE= FG EF