第十章 曲線積分與曲面積分 習 題 課

1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分習習 題題 課課 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 典型例題典型例題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步（三）場論初步 一、主要內(nèi)容上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分對坐標的對坐標的曲面積分曲面積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標的對坐標的曲線積分曲線積分定義定義計算計算定義定義計算計算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系（一）（

2、一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 聯(lián)聯(lián)系系dsqpqdypdxll)coscos( 計計算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定)( dtqpqdypdxl),(),(二代一定 (與方向有關)上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通

3、開開區(qū)區(qū)域域d上上),(),(yxqyxp具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . lqdypdxd與路徑無關與路徑無關內(nèi)內(nèi)在在)1( cdcqdypdx閉曲線閉曲線, 0)2(qdypdxduyxud 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xqypd ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系

4、 rdxdyqdzdxpdydz計計 算算一代,二換,三投(與側(cè)無關) 一代,二投,三定向 (與側(cè)有關) dsrqp)coscoscos( dszyxf),( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計算計算計算計算計算計算green公式公式stokes公式公式guass公式公式（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回點函數(shù)點函數(shù))(,)(lim)(10mfmfdmfn

5、ii .)()(,1 badxxfdmfbar 時時上區(qū)間上區(qū)間當當.),()(,2 ddyxfdmfdr 時時上區(qū)域上區(qū)域當當積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 dvzyxfdmfr),()(,3 時時上區(qū)域上區(qū)域當當.),()(,3 dszyxfdmfr 時時上空間曲線上空間曲線當當.),()(,3 sdszyxfdmfsr 時時上曲面上曲面當當曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 ldsyxfdmflr 時時上平面曲線上平面曲線當當曲線積分曲線積分上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回計算上的聯(lián)

6、系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyd)( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baldsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baldxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyddxdyyxzyxfdxdyzyxr),(,),(其中其中dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos(

7、 dsqpqdypdxl)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(投影投影面元素面元素dxdy上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與

8、曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx斯托克斯公式斯托克斯公式上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 dldxdykarotsda)( dldxdyadivdsna)(green公式,guass公式,stokes公式之間的關系 dsnarotdsa)( rqpzyxdxdydzdxdydzrdzqdypdx dvadivdsna)(dvzryqxprdxdyqdzdxpdydz)( dldxdyypxqqdypdx)( dldxdyyqxppdyqdx)(或推廣推廣為平面向量場為平面向量場)(ma為空間

9、向量場為空間向量場)(ma上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zryqxpadiv rdxdyqdzdxpdydzkypxqjxrzpizqyrarot)()()( rdzqdypdx散度散度（三）（三）場論初步場論初步上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例 1 1 計算計算 ldyyxdxxyxi)()2(422, ,其中其中l(wèi)為由點為由點)0 , 0(o到點到點)1 , 1(a的曲線的曲線xy2sin . .思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxy

10、xqdypdxi閉合閉合非閉非閉閉合閉合 ddxdyypxqi)(非閉非閉補充曲線或用公式補充曲線或用公式二、典型例題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例 2 2 計計算算 lxxdymyedxmyyei)cos()sin(, ,其其中中l(wèi)為為由由點點)0 ,(a到到點點)0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. .解解myemyyey

11、ypxx cos)sin(yemyexxqxxcos)cos( xqyp 即即( (如下圖如下圖) )上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回xyo)0 ,(aamdxdyypxqdamoa )( ddxdym,82am 0)(00 medxxaao, 0 082 am.82am amoaaoaoaoli amoaaoi上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回曲面面積的計算法曲面面積的計算法sdxy),(yxfz xyoz dss xydyxdxdyzz221dsyxfsbal ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz slabab上頁上頁下頁下頁返回返回

12、上頁上頁下頁下頁返回返回曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 ldyxdsyxfdffs),()11(22 xzyo),(yxfz ld如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx內(nèi)內(nèi)的的側(cè)側(cè)面面積積. .解解由對稱性由對稱性 lldsyxzdss2218, 1:3232 yxl)20(,sin,cos33 ttytx參數(shù)方程為參數(shù)方程為上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttscossin3sincos182066 tdt

13、tttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回在第一卦限部分的上側(cè)在第一卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計算計算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi例例xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關系利用兩類曲面積分之間的關系,1 , 1, 1 n的法向量為的法向量為.31cos,31cos,31cos 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回dszzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi),(31),

14、(231),(31 dszyx)(31 xyddxdy3131.21 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回向量點積法向量點積法 ,1,),(:yxffyxfz 法向量為法向量為設設 rdxdyqdzdxpdydzidxdyffrqpyx1 , dsna0, dxdydzdxdydzrqp.1,dxdyffrqpxoyyx 面投影面投影在在將將上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回所截部分的外側(cè)所截部分的外側(cè)被平面被平面錐面錐面為為其中其中計算計算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzi例例解解,2222yxyfyxxfyx d 利用向量點積法利用向量點

15、積法上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyddxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyi 1 ,2222241:22 yxdxy上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例 6 6 計算曲面積分計算曲面積分yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 , ,其中其中 是由曲線是由曲線)31(01 yxyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角恒大于軸正向的夾角恒大于2 . .解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖)

16、)上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回xyzo132 * *i且有且有dxdydzzryqxp)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzdxzdydxdz3122 3120202dydd上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 i故故.34 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 設設l為為230,0 yxx, ,則則 lds4的值為的值為( ).( ). (a) (a)04x， (b) (b

17、),6 (c) (c)06x. .2 2、 設設l為直線為直線0yy 上從點上從點),0(0ya到點到點),3(0yb的的有向直線段有向直線段, ,則則 ldy2=( ).=( ). (a (a)6; (b) )6; (b) 06y; (c)0.; (c)0.3 3、 若若l是上半橢圓是上半橢圓 ,sin,costbytax取順時針方向取順時針方向, ,則則 lxdyydx的值為的值為( ).( ). (a (a) )0 0; (b); (b)ab2 ; (c); (c)ab . .測驗題測驗題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回4 4、設、設),(,),(yxqyxp在單連通區(qū)域

18、在單連通區(qū)域d內(nèi)有一階連續(xù)內(nèi)有一階連續(xù) 偏導數(shù)偏導數(shù), ,則在則在d內(nèi)與內(nèi)與 lqdypdx路徑無關的條件路徑無關的條件 dyxypxq ),(,是是( ).( ). (a) (a)充分條件充分條件; (b); (b)必要條件必要條件; (c); (c)充要條件充要條件. .5 5、設、設 為球面為球面1222 zyx, ,1 為其上半球面為其上半球面, ,則則 ( ) ( )式正確式正確. . (a) (a) 12zdszds; ; (b) (b) 12zdxdyzdxdy; ; (c) (c) 1222dxdyzdxdyz. .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回6 6、若、若

19、 為為)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 則則 ds等于等于( ).( ). (a) (a) rrdrrd022041 ;(b);(b) 2022041rdrrd ; ; (c)(c) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 為球面為球面2222rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,則則 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryx22222; ; (b) (b) 2 2 xyddxdyyxryx22222; ; (c) 0(c) 0 . .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回8 8、曲面積分、曲面積分 dxd

20、yz2在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于( ).( ).(a)(a) 向量向量iz2穿過曲面穿過曲面 的流量；的流量；(b)(b) 面密度為面密度為2z的曲面的曲面 的質(zhì)量；的質(zhì)量；(c)(c) 向量向量kz2穿過曲面穿過曲面 的流量的流量 . .9 9、設、設 是球面是球面2222rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,xyd是是xoy面面 上的圓域上的圓域222ryx , ,下述等式正確的是下述等式正確的是( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryxzdsyx2222222； (b) (b) xyddxdyyxdxdyyx)()(2222； (c) (c) xyddxdyyxrzdxdy2222.

21、 .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回1010、若、若 是空間區(qū)域是空間區(qū)域 的外表面的外表面, ,下述計算中運用奧下述計算中運用奧- -高高 公式正確的是公式正確的是( ).( ). (a) (a) 外側(cè)外側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (b) (b) 外側(cè)外側(cè)zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (c) (c) 內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回二、計算下列各題二、計算下列各題: :1 1、求、求 z

22、ds, ,其中其中 為曲線為曲線 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中l(wèi)為上為上 半圓周半圓周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆時針方向沿逆時針方向 . .三、計算下列各題三、計算下列各題: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面hzz 及及0 之間的圓柱面之間的圓柱面222ryx ；上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回2 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 為錐面為錐面)0(22hzyxz 的外側(cè)；的外側(cè)；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 為曲面為曲面9)1(16)2(5122