圓錐曲線的幾何性質(zhì)

1、x圓錐曲線的幾何性質(zhì)X2、橢圓的幾何性質(zhì)（以一+a=11、 ABF2的周長(zhǎng)為4a（定值）證明：由橢圓的定義AF1 AF2 2aBF1BF2 2aAF,AF2BF2、焦點(diǎn)PFiF2中:）S汗F1F2=b2?tan2（2）（SE，2）證明：（1 ）在 ARF?中cosPFi |2 |PF2I2 4c22 PFjPF2 cosPFiPF2PFiPF2(2)( SZPF1F2 )2 b21 cosmax2chmaxbcmaxx22Spf1 F2x4、以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y 2=a 2內(nèi)切x證明：取PR的中點(diǎn)M，連接0M。令圓M的直徑PR，半徑為r 0M = 1|PF2I 1 2a

2、 IPFi2 2a IPF- a r2 1圓M與圓0內(nèi)切以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切5、任一焦點(diǎn)PFiF2的內(nèi)切圓圓心為I，連結(jié)PI延長(zhǎng)交長(zhǎng)軸于則 IIR I : IP 匸e證明：連接F1I,F2I由三角形內(nèi)角角平分線性質(zhì)有IRF-jR F2R F-jR F2R 2cPI PFi PF2 PFi PF2 2aIRPI6、以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離。證明：令A(yù) x1, y1,B X2,y2到準(zhǔn)線的距離為di,d2以為直徑的圓的圓心為 M到準(zhǔn)線的距離為 d 。 *yaf2BF2ed-ied2AF2 BF2 e di d2AB 2Re d11d2 R -e d-

3、id2212d 1 di d2xFiR p d 以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離7、A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),P在橢圓上，則:(I PA 1+ IPF2 I) max=2a+IAFi I(I PA I+ IPF2 I) min=2a-IAFi證明：連接AP,AFi, PFiPAFixPAP PF2APAFi AP PFi】PFi2aAPPFiAFi.2aAFiAPPF2 2aAFi=2a+I AFi I(I PA I + I PF2 I ) min =2a- I AFi(I PA I+ IPF2 I ) maxI& A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則(I PA I+PF2)min = A到右準(zhǔn)

4、線的距離ePF證明：設(shè)到右準(zhǔn)線的距離d,由橢圓的第二定義有-PFPF2)min = ePA d.=A到右準(zhǔn)線的距離min9、焦點(diǎn)PFi F2的旁心在直線 x= a 上。證明：令。1與ZPF1F2三邊所在的直線相切于PMPNF2NF2APFiFMF2NPNF2NF1MFiAxF1A PFiPFiPNPN2a 2c 2F1F2F2NF2NF2NF2AF2aF2NF2AF2A 即為橢圓頂點(diǎn)。xy k2X2aX c2yb2b2x2 a2(k2x2 2k2cx c2k2) a2b2(ba2k2)x22 22a k cx212C2a2b20X1X2b22| 2a kX1X222 2b2 a2k2AFaex

5、1111 12a eX1X2BFaex2AFBFa ex a ex22a ae人2X2e X1X2a2b2-222a k c2,2 2a k c2a e 2b2c 2,22 2a k c 2a ae222 eb2 a2k22a2k2c2,2 2 2 2a k c a b口2b a k2a22a2k2ca aerb22| 2a k_2a2k2c b(E)a22 2a k2.2 22 22 a k c a b2 2a kb22a3k2 2ab2 a4k2 a2b22ak2c22a2k2c2 c4k2 b2c22ak2 a2k2b4c2 ov2ab222c2ak2 2a221 ck2b2 a22a

6、k 12 2b k 12a了 2：當(dāng)AB的斜率存在時(shí),12、AB是橢圓的任意一弦,P是AB中點(diǎn),AF則KabBF?KoP證明：令A(yù) X1, y1,B X2,y2,P xo,yoab2ab2b22 a2ab2（定值）AFBF222X1y1a2b222X2y22 ab2X1X2則2XokABy1y2X1X2% y22X1X2kOP13、橢圓的短軸端點(diǎn)為B1、交長(zhǎng)軸于N、M兩點(diǎn),yo.X1X2y1y2 .y1 y2b2x1y2X2kABkoPbl2akABkOPB2，P是橢圓上任一點(diǎn),則有 I OM I* ION I =a 2證明：B1 0,b ,B2 0, b , N x10 ,P x0, y0

7、, M連結(jié)x20.2bx1x2a2y1 y2B1P、B2P 分別b2XuuuvB2PXo，youuu/B1PX0, yoUUULVb , B2M uuuv b ,B1NX2,/由于/由于b2、uurPF1M共線Xi,bXoX2uuuuc Xo, yo ,PF2yo bX2bXoyo bXo,yoXoX1yobXibXoyo bOMONXo2b2X02b2yo2 b2yo2 b2B1、P、N共線AB2Xo2a2 yo b22Xoab2b2yo2b2Xo b2 yo2 OM14、橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 A1、A 2，P是橢圓上任一點(diǎn),連結(jié)A1P、A2P并延長(zhǎng)，交一準(zhǔn)線于 N、M兩點(diǎn),證明：令M2 a ,

8、y1c2M a ,N 一 c,y2,P Xo,youjLruiuuAPXoa,yo PXoa, yo ,ujiur2 auuuua2AMa, y1AN-a,y2與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)張角為則M、Ncc9ooa,o A由于A1、P、M共線Xoa2 ayo*yi2.ayo (一cX aa)由于A2, p, n共線Xo a2 acyoy2y2a2yo ( a)cXo aym2,a yo ( a)cXo ayo2(a-caXob2yma2 2 a c 2 c2Xo2 a2 c2 ab2uuuia2FMcycuuuiuuub4FMFN-ymuuua2cFNcy2uuuuuurcFMFNa)2yo2Xo2yo4

9、2 2a a c2Xo2yo2ab2 2 a點(diǎn)張角為9o o15、過(guò)橢圓準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作橢圓和切線，切點(diǎn)弦AB過(guò)N與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦Mx該準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)。a2證明：設(shè)M上-,yoc2aX則AB的方程為弓嚳 1即轡 1必過(guò)點(diǎn)c,obc b16、橢圓的光學(xué)性質(zhì):過(guò)一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)。證明:設(shè) P xo, yo，則過(guò)P點(diǎn)的切線Ixoxyoyb21，直線I的法線x交軸于Q直線I的法向量為：nxo yoLULTUULUPF1c Xo, yo , PF2Xo,yo PF2Xo2yo2cxo2xo2cxob2.22b Xo2a422a c xo2a22a cxocxo 2同理PFi2acxo 2

10、22aUULTPFicxo2Xo2a2yo2cXo Xo2ab2b2Xo2ar ujunn PF2COS F2 PQcos F2PQrn utuu PF2UJIUPF車(chē)na2 cxd2aa2 cxo2a-rnr n uuuu PF2UJUPF2u tncXoa2a cXo2a-rncxo同理a22 a2acxo2 acot2（1）焦點(diǎn)三角形面積：S過(guò)作/ F1PF2的內(nèi)角平行線的重線垂足M的軌跡是以焦半徑為直徑作圓長(zhǎng)的焦半徑為直徑作圓與以焦點(diǎn)為直徑作圓與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交x222a內(nèi)切，小的圓與 xy2 a2外切。xB(6)焦點(diǎn)弦為直徑的圓被相應(yīng)準(zhǔn)線截得圓弧所對(duì)的圓心角為定值/MCN = 2a

11、rccos(7)、A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)P為雙曲線上動(dòng)點(diǎn)PA+ PF2min = AF1 2a(8)、如圖：A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),PF2min等于A到右準(zhǔn)線的距離x(9)、焦點(diǎn)到漸近線的距離等于b(10)、雙曲線上的任上點(diǎn)到兩漸近線的距離之積等于定值2-2a bc2(11 )、P 是弦 AB 中點(diǎn) Kab . Kop =(12 )、P為雙線上任一點(diǎn)過(guò) P點(diǎn)作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值(13)、過(guò)P的切線平分/ F1PF2 (光學(xué)性質(zhì))即經(jīng)過(guò)一焦點(diǎn)的光線被雙曲線反射，反射光線的下長(zhǎng)線過(guò)另一焦點(diǎn)(14 )雙曲線與漸近線把平面分成5部分2x雙曲線上的點(diǎn)令a2 y b2漸近線上的點(diǎn)2 y b22x區(qū)域的點(diǎn)a2 y b22x區(qū)域的點(diǎn)a2 y b2區(qū)域的點(diǎn)02x2a過(guò)漸近線上的點(diǎn)沒(méi)有與兩支都相切的切線過(guò)區(qū)域的點(diǎn)作切線分別(除中心)只能作一條切線，過(guò)中心無(wú)切線,與雙曲線交于 C、D兩點(diǎn)，則AC=BDA、B兩點(diǎn),、拋物線的幾何性質(zhì)均以拋物線2y 2 px p 0為例/（1）如圖：A為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),PA + PFmin等于A到準(zhǔn)線的距離過(guò)拋物線2y 2px p 0 焦點(diǎn) F 作弦 AB，其中 A （xi,yi）,B（X2,y2）則有:yi y2p2X