拋物線知識點歸納總結(jié)與金典習題

1、拋物線2y 2px(p 0)2y(p2px0)2x(p2py0)2x(p2py0)定義yiF范圍x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0對稱性關于x軸對稱關于y軸對稱隹占八、八、(尹)(r0)焦點在對稱軸上(0鳶)(0,號)1I0x平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫 做拋物線的焦點，直線I叫做拋物線的準線。 M |MF 1=點M到直線I的距離頂點離心率e=1準線方程準線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的距離相等。頂點到準 線的距離 焦點到準 線的距離焦半徑A(xi, yi)AF x1AF x1AF yi 2AFyi 10(0,0)焦點弦長(

2、Xi X2) p(Xi X2) p(yi y2) p(yi y2) p焦點弦AB的幾條性質(zhì)A(xi, yi)b(x2, y2)yAi, yi亠XX2, y2以AB為直徑的圓必與準線丨相切若AB的傾斜角為，則|ab2p .2 sin若AB的傾斜角為 ，則AB2p2cosX1X22yMp11 AF BF AB 2AF BF AF ?BF AF ?BF p切線方程yoy p(x Xo)p(x X0)XoX p(y yo)X0Xp(y y。)1. 直線與拋物線的位置關系 直線，拋物線，消y得：(1)(2)當k=0時，直線I與拋物線的對稱軸平行，有一個交點； 當k工0時， > 0,直線I與拋物線相

3、交，兩個不同交點； =0,直線I與拋物線相切，一個切點； V 0，直線I與拋物線相離，無公共點。(3)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線必相切嗎？（不一定）2.關于直線與拋物線的位置關系問題常用處理方法聯(lián)立方程法:y2 kX bk2x2 2(kb p)x b2 Oy 2px設交點坐標為A(x1, y1), B(x2, y2)，則有 0,以及x1 x2, x1x2，還可進一步求出yiy kxi b kx2 b k(xi X2) 2b2 2yi y2(kxi b)(kx2 b) k X1X2 kb(xiX2) b在涉及弦長，中點，對稱,相交弦AB的弦長面積等問題時，常用此法，比如a.AB

4、Ji k2XiX2Vi k J(xi X2)4xiX2vi k -j-Tlalb.AB * 占 yiy2y2)2 4yiy2di k2lal中點 M (Xo, y。),XoXiX22yoy- y22點差法:設交點坐標為A( X-i, y1)，B(x2, y2)，代入拋物線方程，得2y-2 pxi(yi y2)(yi y2) 2p(xiX2)2y22px2將兩式相減，可得yi y22pXi X2 yi y2a.在涉及斜率問題時,kAB2pyiy2b.在涉及中點軌跡問題時，設線段AB的中點為M (xo, yo)，y-y2XiX22p 2p pyi y2 2yo yo即kAB_P_yo同理，對于拋物

5、線 X2 2py(p 0)，若直線丨與拋物線相交于 A、B兩點，點x1 x2 2x0M(X0,y0)是弦AB的中點，則有kABA. y2= 3X2p 2p p(注意能用這個公式的條件：1)直線與拋物線有兩個不同的交點，2)直線的斜 率存在，且不等于零)、拋物線的定義及其應用例1、設P是拋物線y2= 4X上的一個動點.(1)求點P到點A -1,1)的距離與點P到直線X = 1的距離之和的最小值;若B(3,2)，求I PB +1 PF的最小值.例2、(2011 山東高考)設M(x0, y0)為拋物線C： x2= 8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，貝U

6、 y0的取值 范圍是()A (0,2)B. 0,2 C . (2，+X) D . 2，+X)二、拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)2例3、拋物線y = 2px(p>0)的焦點為F,準線為I ,經(jīng)過F的直線與拋物線交于 A B兩點，交準線于 C點，點A在X軸上方，AKL l，垂足為K,若| BC = 2| BF| ,且|AF| = 4,則 AKF的面積是(A. 4.3 羽C . 4/3A B,交其準線I例4、過拋物線y2= 2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點 于點C,若| BC = 2| BF，且|AF| = 3則此拋物線的方程為22 9B. y = 9x C . y =歹 D三、拋

7、物線的綜合問題例5、(2011 江西高考)已知過拋物線一 2px( p>0)的焦點，斜率為2/2的直線 交拋物線于 A(X1, y" , B(X2, y2)( X1<x2)兩點，且 | AB = 9.(1)求該拋物線的方程；uuu uur uuu(2) O為坐標原點，C為拋物線上一點，若 OC = OA +入OB，求入的 值.例6 (2011 湖南高考)(13分)已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P 到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1) 求動點P的軌跡C的方程；(2) 過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線I 1, I 2,設I 1與軌跡C相交于點A,uuu uuuB,

8、 I 2與軌跡C相交于點D, E,求 AD EB 的最小值例7、已知點M(1 , y)在拋物線C： y2 = 2px( p>0)上，M點到拋物線C的焦點F的1距離為2,直線I : y =-於+ b與拋物線C交于A, B兩點.求拋物線C的方程; 若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程.練習題 1.已知拋物線X2 = ay的焦點恰好為雙曲線 y2 - x2= 2的上焦點，貝U a等于A. 1B. 4D. 162. 拋物線y= 4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是（17A W15B - W3 . （2011 遼寧高考）已知F是拋物線 x的焦點，A, B是該拋物線上的兩點, |

9、AF + |BF = 3,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 （B.51 C. 54.已知拋物線卜2px,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是）A.相離B.相交 C .相切D.不確定（2012 宜賓檢測）已知F為拋物線仁8x的焦點，過F且斜率為1的直線交物線于 A、 B 兩點，貝U | FA | FB|的值8y2)A . 4 型在y = 2x2上有一點P,它到A(1,3)D. 16的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是A. ( 2,1).（2,1）D. （ 1,2）7.設拋物線y2= 8x的焦點為F,準線為l , P為拋物線上一點，足.如果直線AF的斜率為U3,那么| PF =（

10、A.砸 B . 8 C .琲& （2011 陜西高考）設拋物線的頂點在原點，準線方程為B . (1,2) CPAI I ,A為垂.16x = 2,則拋物線的方程是A . y2= 8x B . y2= 8xC . y2= 4xD . y2= 4x9 . （2012 永州模擬）以拋物線x2 = 16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切 的圓的方程為.10 .已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 y軸，拋物線上一點q 3, m）到焦點的距離是5,則拋物線的方程為 .11 .已知拋物線y2 = 4x與直線2X+ y 4= 0相交于A B兩點，拋物線的焦點為uuuuuuF,那么 | FA | + |

11、 FB | =.12. 過拋物線y2 = 4X的焦點作直線交拋物線于 A(xl, y1) , B(x2, y 2)兩點,若x1 + x2 = 6,那么I AB等于13. 根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：(1)拋物線的焦點是雙曲線16 X2 9y2= 144的左頂點；過點P(2 , 4).14 .已知點A( 1,0) , B(1 , 1)，拋物線 C: y2 = 4x, O為坐標原點，過點 AUULU 的動直線I交拋物線C于M P兩點，直線mb交拋物線C于另一點Q若向量OMuuun與OP的夾角為;，求 POM勺面積.、拋物線的定義及其應用 例1、(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是

12、x 1. 由拋物線的定義知：點P到直線X= 1的距離等于點P到焦點F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點 P,使點P到點A( 1,1)的距離與點P到 F(1,0)的距離之和最小.顯然，連結(jié)AF交曲線于P點，則所求的最小值為|AF , 即為寸5.(2)如圖，自點B作BQ垂直準線于Q,交拋物線于點P1,則|P1Q = | P1F|.則有 | PB +| PF > | P1B| +|P1Q = | BQ = 4.即 | PB +| PF 的最小值為 4.例2、解析：圓心到拋物線準線的距離為 P,即p=4,根據(jù)已 知只要|FM>4即 可.根據(jù)拋物線定| FM = y0+2由y0+ 2&

13、gt;4,解得y0>2,故y0的取值范圍是(2 ,二、拋物線的標準方程和幾何性質(zhì) 例3、設點A(xi, yi)，其中yi>0.由點B作拋物線的準線的垂線，垂足為 Bi.則有| BB| 1| BF| = | BB| ;又 | CB = 2| FB，因此有 | CB = 2| BB| , cos/ CBB=BCp = 2，nnpCBB=亍 即直線AB與X軸的夾角為 亍又|AF| = |AK| = X1 + 2 = 4,因此y-n114s in 3=2 寸3,因此 AKF 的面積等于 y1 =4X 2/3 = 4f3.例4.分別過點A、B作AA、BB垂直于I ,且垂足分別為A、Bi,由已

14、知條件| Bq=2| BF| 得| Bq = 2| BB| ,BCB= 30°，又 | AA| = | AF| = 3,|Aq = 2|AA| = 6, |CF =|Aq |AF = 6-3 = 3, a F 為線段 AC 的中點.故13點F到準線的距離為p=AAU3,故拋物線的方程為y2= 3x.三、拋物線的綜合問題 例5、(1)直線AB的方程是y = 22(x 2)，與y2 = 2px聯(lián)立，從而有4x2 5px + p = 0,所以：X1 + X2= ，由拋物線定義得：| AB = X1 + X2+p= 9, 所以p=4,從而拋物線方程是y2= 8X.2 2 2 由 p=4,4X

15、 5px+p = 0 可簡化為 X 5X + 4 = 0,從而 xi= 1, X2= 4, yi= 22, y2= 4)2,從而 A(1 , 22) , B(4,4 眾);uuu設 OC = (X3, y3) = (1 , 22) + 入(4,42) = (4 入 + 1,42 入22).又 yi= 8x3,即2 羽(2 入一1) 2 = 8(4 入+ 1). 即(2入1)2= 4入+ 1.解得入=0,或入=2.例& (1)設動點P的坐標為(X, y),由題意有 X12+y2 | x| = 1.化簡得y2= 2x + 2|x|. 當 X>0 時，y2 = 4x；當 x<0

16、時，y= 0.所以，動點P的軌跡C的方程為y2= 4x(x>0)和y= 0(x<0).(2)由題意知，直線y=k(xy= k X 11) 由 y2 = 4x,得 k2x2 (2 k2+4)x + k2= 0.(7設 A(xi, yi) , B(X2,4帕，則X1, X2是上述方程的兩個實根，于是 X1 + X2 = 2 +己XlX2= 1.(81因為11丄12，所以12的斜率為一-設D(X3, y3), E(X4, y4)，則同理可得l 1的斜率存在且不為0,設為k，則11的方程為2X3+ X4 = 2 + 4k , X3X4= 1.=(Xl + 1)(X2 + 1) + ( X3

17、 + 1) ( X4 + 1)(11= X1X2 +(X1 + X2) + 1+X3X4+(X3 + X4) + 142211 21=1 + (2 + 卩)+1 + 1 + (2 + 4k) + 1 = 8 + 4( k + 丙 >8+ 4X 貧/k = 16.uuu-EB 取最小值16.uuu當且僅當k2=右，即k=± 1時，AD例7、(1)拋物線y2 = 2px( p>0)的準線為px= 2,由拋物線定義和已知條件可知|MF = 1 ( P) = 1+ P = 2,解得p= 2,故所求拋物線C的方程為y2= 4x.1 y; X + b,2(2)聯(lián)立2消去X并化簡整理得

18、y + 8y 8b= 0.y2= 4x依題意應有= 64+ 32b>0,解得b> 2.設A(X1, y” , B(X2,帕，則y1+七 =8, y1y2= 8b,設圓心 qxo, yo)，則應用 Xo= , yo= ；y = 4.因為以AB為直徑的圓與X軸相切，所以圓的半徑為r = |yo| = 4.又 | AB = X1 X22+y1 y22 = 1 + 4屮一屮2y/5_yi+y_2 4yiy2 =_64+ 32b所以 |AB = 2r = 5 64+ 32b= 8,解得 b= 8.所以 X1 + X2=2b 2y1 + 2b 2y2=4b+ 16= 48,5(x¥)

19、2+ (y+4)2= 16.則圓心Q的坐標為（24， 4）.故所求圓的方程為練習題:1 .解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點坐標為（0 ,a4），雙曲線的上焦點為（0,2）,依題意則有4 = 2解得a= 8.2.解析：拋物線方程可化為x2=4,其準線方程為y=116.設 Mx。，y。），貝仙1611516拋物線的定義，可知7 yo= 1?yo= 応.16163.解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點到y(tǒng)軸的距離為:1_“13152(| AF + |BF) -4=2-4=4.4 .解析：設拋物線焦點弦為 AB,中點為M準線I , Ai、Bi分別為A B在直線I 上的射影，則 |AA|

20、=|AF ,| BB| = | BF，于是 M到 l 的距離 d=-(| AA| + | BB|)1 1=2(| AF +1 BF) = 2| AB =半徑，故相切.5.解析：依題意F（2,0），所以直線方程為y= X 2由yrX2， ，消去yy = 8x2得 x 12x + 4= 0.設 A(xi, yi)，B(X2, y?)，則 | FA| | FE| = |( xi + 2) (X2+ 2)| = |xi X2|(xi + X2)2 4xiX2= p 144 16 = 8/2.6.解析：如圖所示，直線I為拋物線y= 2x2的準線，F(xiàn)為其焦點，PN丄I , AN 丄 I，由拋物線的定義知，

21、I PF = | PN ,二| AP +1 PF = I AP +1 PN > I AN|，當且僅當A P、N三點共線時取等號. P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為1,則可排除A、C D.答案：B7.解析：設拋物線y2= 8x的焦點為F,準線為I，P為拋物線上一點，PA11，A 為垂足.如果直線AF的斜率為3,那么I PF =A. 4書C. 8羽x軸正，半軸上的標準方則圓心為(0,4)，半徑r =ay =才 T 3， m 在拋&解析：由準線方程x = 2,可知拋物線為焦點在 程，同時得P = 4，所以標準方程為y 2= 2px = 8x 9 .解析：拋物線的焦點為F(O,4)，準線為y= 4,8.所以，圓的方程為x2+ (y 4)2= 64.10 .解析：設拋物線方程為x2 = ay(aM0)，則準線為a物線上， 9 = am而點Q到焦點的距離等于點 Q到準線的距離，二| m-(別99 a=5.將代入，得|匚+ -| = 5