1_8函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié)第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 第一章第一章 三、三、 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性對(duì)自變量的增量對(duì)自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx,0,0當(dāng)當(dāng)xxx0時(shí)，有時(shí)，有yxfxf)()(0函數(shù)函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)有下列等價(jià)命題有下列等價(jià)命題:一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義P50可正可負(fù)可正可負(fù)完整符號(hào)完整符號(hào)可見可見 ,

2、函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義與0 xx 定義：定義：)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列三條件連續(xù)必須具備下列三條件:存在存在 ;且且有定義有定義 ,存在存在 ;書書P54、P50左、右連續(xù)左、右連續(xù)0 xx0的區(qū)別在該點(diǎn)有定義在該點(diǎn)有定義)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)(

3、)(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù),0,0當(dāng)當(dāng)xxx0時(shí)時(shí), 有有yxfxf)()(0函數(shù)函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題連續(xù)有下列等價(jià)命題:增量為增量為0continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx假設(shè)假設(shè))(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上則稱它在該區(qū)間上延續(xù)延續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上連續(xù)上連續(xù) .( 有理整函數(shù)有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)

4、)()()(xQxPxR在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只需只需,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx例例. 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即即0lim0yx這說明這說明xysin在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .同樣可證同樣可證: 函數(shù)函數(shù)xycos在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .0在在在在二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)

5、(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形則下列情形這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)0 x之一函數(shù)之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為間斷點(diǎn)稱為間斷點(diǎn) . 在在無定義無定義 ;間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf假設(shè)假設(shè)稱稱0 x, )()(00 xfxf假設(shè)假設(shè)稱稱0 x第二類間斷點(diǎn)第

6、二類間斷點(diǎn):)(0 xf及及)(0 xf中至少一個(gè)不存在中至少一個(gè)不存在 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn)為振蕩間斷點(diǎn) .xytan) 1 (2x為其無窮間斷點(diǎn)為其無窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn)為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1)(lim1fxfx顯然顯然1x為其可去間斷點(diǎn)為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxf

7、y(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn)為其跳躍間斷點(diǎn) .定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)三、三、 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明利用極限的四則運(yùn)算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商商(分母不為分母不為 0) 運(yùn)算運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如

8、例如,xysin在在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin(遞減遞減).(證明略證明略)在在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增遞增(遞減遞減)也連續(xù)單調(diào)也連續(xù)單調(diào)定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.證證: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點(diǎn) x.)(00ux,)(0連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)uufy . )()(lim00ufufuu于是于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)

9、合函數(shù)故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點(diǎn) x又如又如, 且且即即例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈?zhǔn)怯蛇B續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,xyoxy1sin例例1 . 設(shè)設(shè))()(xgxf與均在均在,ba上連續(xù)上連續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 ,可知可知)(, )(xx也在也在,ba上上延續(xù)延續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 例例2

10、. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那那么么, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln闡明闡明: 當(dāng)當(dāng), ea 時(shí)時(shí), 有有0 x)1ln(x1xexx例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e闡明闡明: 假假設(shè)設(shè),0)(lim0 xuxx則有則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 x

11、uxvxxx21,41,)(xxxxx例例5. 設(shè)設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時(shí)連續(xù)故此時(shí)連續(xù);而而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故故 )(xfx = 1為第一類間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn) .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時(shí)xfx在點(diǎn)在點(diǎn) x = 1 不連續(xù)不連續(xù) , 四、四、 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù)

12、連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù)一切初等函數(shù)在一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閆nnx,2因此它因此它 無無 連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)而而 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)義區(qū)間內(nèi)連續(xù)闡明闡明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處

13、是否連續(xù)需討論其分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性左、右連續(xù)性.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一左右極限至少有一個(gè)不存在個(gè)不存在在點(diǎn)在點(diǎn)間斷的類型間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式連續(xù)的等價(jià)形式思考與練習(xí)思考與練習(xí),)(0連續(xù)在點(diǎn)若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)續(xù)? 反例反例, 1,1)(xf x 為有理數(shù)為有理數(shù) x 為無理數(shù)為無理數(shù))(xf處處間斷處處間斷,)(, )(2xfxf處處連續(xù)處處連續(xù) .反之是否成立反之是否成立?提示提示:“反之反之” 不成立不成立 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn)是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè)設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,